folytonossága és határértéke
4. Trigonometrikus függvények
7E sorozat határértékét Euler-konstansnak nevezzük. Régóta megoldatlan probléma, hogy az Euler-konstans racionális szám-e vagy sem.
8Lásd a Számítástechnika és analízis c. függeléket (6. feladat [0]) is.
10. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények)
10.4. ábra
A trigonometria úgy definiálja a -nél kisebb szög koszinuszát (illetve szinuszát), mint az hegyesszögű derékszögű háromszögben az szög melletti (illetve az -szel szemben levő) befogónak és az átfogónak a
hányadosát. Legyen és . Ekkor az és
pontok egy derékszögű háromszöget határoznak meg, amelynek az csúcsnál fekvő szögét az és félegyenesek határolják. A körvonalnak e szögtartományba eső részíve megegyezik a függvénynek az
intervallum feletti grafikonjával, ennek hossza pedig (lásd a 9.77. Definíciót). Ha
, akkor tehát a szög ívmértéke , és így , és
. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha a körvonalra az pontból pozitív irányban felmérünk egy hosszúságú körívet, akkor az így kapott pont koordinátái . Itt a
„pozitív irány” az óramutató járásával ellenkező irányt jelenti, vagyis azt, hogy az ív felmérését a felső félsíkban9 kezdjük.
A fenti megállapítást fogjuk és definíciójaként elfogadni.
10.20. Definíció. Az origó középpontú és egység sugarú kör pontjából kiindulva mérjük fel az hosszúságú körívet pozitív, illetve negatív irányban aszerint, hogy vagy . (Ha , akkor szükségképpen többször futjuk be a kört.) Az így kapott pont első koordinátáját -szel, második koordinátáját pedig -szel jelöljük. Ezzel a és függvényeket az egész számegyenesen értelmeztük.
10.21. Megjegyzés. A 9.82. Megjegyzésben láttuk, hogy esetén van olyan , amelyre . Így a körre felmért hosszúságú ív végpontja éppen az
pont. Következésképpen és . A összefüggés azt jelenti,
hogy a intervallumban a függvény nem más, mint az függvény inverze.
Gyakran van szükség a és hányadosokra, amelyekre a , illetve
rövidítéseket használjuk.
9vagyis az félsíkban
A trigonometrikus függvények tulajdonságai. Amint azt már megjegyeztük, a körre bármely pontból egy hosszúságú ívet felmérve a kör átellenes pontjába jutunk, amelynek a koordinátái . Ezért
10.25. egyenlet - (10.25)
minden -re. Mivel , ezért és . Így (10.25) alapján
10.26. egyenlet - (10.26)
minden egész számra. A definícióból azonnal következik, hogy
minden -re, azaz és mindketten periodikus függvények periódussal. Mivel a körvonal egy pontja, ezért
10.27. egyenlet - (10.27)
minden -re. A körvonal szimmetrikus a vízszintes tengelyre. Ha tehát egy hosszúságú körívet pozitív, illetve negatív irányban felmérünk az pontból, akkor a vízszintes tengelyre nézve szimmetrikus pontokba
jutunk. Ez azt jelenti, hogy , azaz
10.28. egyenlet - (10.28)
minden -re. Más szóval, a függvény páros, a függvény pedig páratlan. A (10.28)és (10.25) azonosságokat összevetve azt kapjuk, hogy
10.29. egyenlet - (10.29)
minden -re. Ebbe -et helyettesítve adódik, amiből (10.25) alapján
10.30. egyenlet - (10.30)
Mivel , ezért ugyancsak (10.25) alapján
10.31. egyenlet - (10.31)
A körvonal az origón átmenő -os egyenesre is szimmetrikus. Ha az pontból pozitív irányban felmért hosszúságúívet tükrözzük erre az egyenesre, akkor a pontból negatív irányban felmért hosszúságúívet kapjuk. Mivel , ezért a tükrözöttív végpontja ugyanaz, mint az
pontból negatív irányban felmért hosszúságúív végpontja, vagyis az pontból pozitív irányban felmért hosszúságúív végpontja. Ezzel beláttuk, hogy a pont – vagyis a
pont tükörképe – megegyezik a ponttal, tehát
10. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények)
10.32. egyenlet - (10.32)
minden -re. Az alábbi azonosságok a és függvényekre vonatkozó ún. addíciós képletek.
10.33. egyenlet - (10.33)
Az addíciós képletek bizonyítását illetően lásd a fejezet első függelékét. Az ott közölt bizonyítás az origó körüli elforgatások tulajdonságain alapszik. Később, a differenciálszámítás felhasználásával adunk egy olyan bizonyítást is, amely nem használ geometriai fogalmakat, és nem támaszkodik a szemléletre (lásd a 12. fejezet második függelékét).
Az alábbi azonosságok az addíciós képletek egyszerű következményei.
10.34. egyenlet - (10.34)
10.35. egyenlet - (10.35)
10.36. egyenlet - (10.36)
10.37. egyenlet - (10.37)
Most rátérünk a és függvény analitikus tulajdonságaira.
10.22. Tétel.
i. A függvény szigorúan monoton csökken a intervallumokban és szigorúan monoton
nő a intervallumokban ( ). A függvénynek a pontokon kívül nincs
gyöke.
ii. A függvény szigorúan monoton növő a intervallumokban és szigorúan
monoton csökkenő a intervallumokban ( ). A függvénynek a
pontokon kívül nincs gyöke.
10.5. ábra
Bizonyítás. (i) A 10.21.. Megjegyzés szerint a intervallumban a függvény nem más, mint az függvény inverze. Az függvény szigorúan monoton csökkenő -ben, ezért az inverz függvénye, ugyancsak szigorúan monoton csökkenő -ben. Így (10.25) alapján nyilvánvaló, hogy ha páros,
akkor szigorúan monoton csökkenő -ben, és szigorúan monoton nő
-ben. Ebből a függvény gyökeire vonatkozó állítás is nyilvánvaló.
A (ii) állítás (i)-ből következik a (10.32) azonosságok felhasználásával.
Az alábbi egyenlőtlenségek az alkalmazások szempontjából különösen fontosak.
10.23. Tétel. Minden -re fennállnak az
10.38. egyenlet - (10.38)
és
10.39. egyenlet - (10.39)
egyenlőtlenségek.
Bizonyítás. A (10.38) egyenlőtlenséget elég nemnegatív -ekre igazolni, hiszen mindkét oldal páros. Ha
, akkor , tehát ekkor az állítás igaz. Így feltehetjük, hogy .
Legyen és . Ekkor és értelmezése szerint a függvény
grafikonjának az intervallum feletti ívhossza éppen (hiszen annak a pontnak a koordinátái, amelyet úgy kapunk, hogy a körre felmérünk egy hosszúságú ívet; lásd a 10.4. ábrát). Így a 9.78. Tétel szerint
amivel (10.38)-at beláttuk.
A (10.39) egyenlőtlenséget szintén elég nemnegatív -ekre igazolni, hiszen a függvény páros. Ha , akkor
tehát ekkor (10.39) igaz. Ha viszont , akkor , és így
amivel (10.39)-et is beláttuk.
10.24. Tétel. Minden -re fennállnak az
10. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények)
10.40. egyenlet - (10.40)
és
10.41. egyenlet - (10.41)
egyenlőtlenségek.
Bizonyítás. A 10.23. Tétel és a (10.37) azonosságok felhasználásával
és
10.25. Tétel.
i. A és függvények mindenütt folytonosak, sőt Lipschitz-tulajdonságúak.
ii. A függvény szigorúan konkáv a intervallumokon és szigorúan konvex a intervallumokon ( ).
iii. A függvény szigorúan konkáv a intervallumokon és szigorúan konvex a intervallumokon ( ).
Bizonyítás. Az (i) állítás nyilvánvaló az előző tételből. Ha , akkor a (10.37) azonosságok közül az elsőt alkalmazva azt kapjuk, hogy
Ezzel beláttuk, hogy a függvény szigorúan gyengén konkáv a intervallumban. Mivel folytonos is, ezért itt szigorúan konkáv. Ebből (ii) állításai azonnal következnek a azonosság alapján.
Végül a (iii) állítás (ii)-ből következik a (10.32) azonosságok felhasználásával.
10.26. Tétel. Ha és , akkor
10.42. egyenlet - (10.42)
Bizonyítás. Mivel a függvény páros, elég az esetet tekinteni. A egyenlőtlenség nyilvánvaló (10.38)-ból.
10.6. ábra
Így csak azt kell belátnunk, hogy esetén
10.43. egyenlet - (10.43)
Az ábrán . A körhöz a pontban húzott érintő a vízszintes tengelyt a
pontban metszi. A pont tükörképe a vízszintes tengelyre . Az és háromszögek
hasonlóságából .
Írjunk be a kör ívébe egy tetszőleges poligont. Ezt az és szakaszokkal kiegészítve egy konvex sokszöget kapunk, amely része az konvex négyszögnek. A 9.81. Lemma szerint ebből következik, hogy a sokszög hossza legfeljebb hossza, vagyis . Mivel a ívbe írt poligonok hosszainak szuprémuma , ebből azt kapjuk, hogy , amivel (10.43)-at beláttuk.
10.27. Tétel. Fennállnak a
10.44. egyenlet - (10.44)
és
10. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények)
10.45. egyenlet - (10.45)
limeszrelációk.
Bizonyítás. A két állítás a (10.39) és (10.42) egyenlőtlenségekből következik a rendőrszabály alkalmazásával.
Most összefoglaljuk a és a függvények tulajdonságait. A függvény ott van értelmezve, ahol a nevező nem nulla, tehát az pontokban, ahol tetszőleges egész szám. A
és függvények addíciós képleteiből könnyű levezetni az alábbi azonosságokat: