IV. A Cantor-axióma

A valós számok eddig felsorolt tulajdonságai (az első 14 axióma és következményei) még nem karakterizálják a valós számokat, hiszen nyilvánvaló, hogy a racionális számok is rendelkeznek a fenti tulajdonságok mindegyikével. Másrészt vannak olyan tulajdonságok, amelyeket a valós számoktól elvárunk, de a racionális számok körében nem teljesülnek. Így például elvárjuk, hogy az egyenletnek legyen a valós számok körében megoldása, de tudjuk, hogy racionális megoldás nem létezik (1.1. Tétel).

Az utolsó, ún. Cantor¹-axióma centrális szerepet játszik az analízisben. Azt fejezi ki, hogy a valós számok összessége egy bizonyos értelemben „teljes”.

Az axióma kimondásához szükség van néhány elnevezésre, illetve jelölésre. Legyen . Azon számok összességét, amelyekre teljesül, -vel jelöljük és zárt intervallumnak nevezzük. Azon számok összességét, amelyekre teljesül, -vel jelöljük és nyílt intervallumnak nevezzük.

Legyen minden természetes számhoz hozzárendelve egy zárt intervallum. Az , , intervallumsorozatot egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatnak nevezzük, ha

; azaz, ha

teljesül minden -re. Immár megfogalmazhatjuk a Cantor-axiómát.

15. Minden egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatnak van közös eleme, azaz van olyan valós szám, hogy minden -re.

2.4. Megjegyzés. Lényeges, hogy az intervallumok zártak legyenek: egymásba skatulyázott nyílt

intervallumoknak nem mindig van közös eleme. Ha pl. ( ), akkor , de a

intervallumoknak nincs közös elemük. Valóban, ha , akkor . Így az arkhimédészi axióma szerint van olyan , amelyre , és erre az -re .

Vizsgáljuk meg, hogy az egymásba skatulyázott , , zárt intervallumsorozatnak mikor van pontosan egy közös eleme.

2.5. Tétel. Az , , egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatnak akkor és csak akkor van pontosan egy közös eleme, ha nincs olyan pozitív szám, amelynél minden nagyobb, azaz, ha minden -hoz

van olyan , amelyre .

Bizonyítás. Ha és mindketten közös elemek és , akkor , és így

minden -re. Más szóval, ha az , , intervallumsorozatnak egynél több közös pontja van, akkor van olyan pozitív szám, amelynél minden nagyobb.

Megfordítva, tegyük fel, hogy minden -re. Legyen az intervallumsorozat egy közös eleme. Ha minden -re, akkor is egy közös elem. Hasonlóan, ha

minden -re, akkor is egy közös elem. E két eset valamelyike biztosan fennáll, hiszen ha

valamely -re és valamely -re, akkor esetén

és , ami lehetetlen.

A Cantor-axiómával befejeztük a valós számok axiómarendszerének ismertetését. Az axiomatikus felépítés szellemében a valós számok rendszerén olyan struktúrát értünk, amely kielégíti az 1–15. axiómákat. Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy

1Georg Cantor (1845–1918) német matematikus

a valós számok arkhimédeszien rendezett testet alkotnak, amelyben teljesül a Cantor-axióma.

Amint már említettük, ilyen test valóban létezik. Az egyik lehetséges konstrukció rövid vázlatát megtaláljuk az 5.14. Megjegyzésben. Mielőtt rátérünk az analízis elméletének részletes felépítésére, egy fontos példát mutatunk a Cantor-axióma alkalmazására. Ha és pozitív egész, akkor -val jelöljük azt a nemnegatív számot, amelynek -adik hatványa . De egyáltalán nem magától értetődő, hogy ilyen szám valóban létezik. Mint láttuk, az első 14 axiómából a szám létezése nem is következik. Megmutatjuk, hogy a teljes axiómarendszerből létezése már levezethető.

2.6. Tétel. Ha és pozitív egész, akkor létezik pontosan egy olyan nemnegatív valós szám, amelyre .

Bizonyítás. Feltehetjük, hogy . A bizonyítást csak a speciális esetben végezzük el; az általános eset hasonlóan bizonyítható. (A tételre később egy másik bizonyítást is adunk, lásd a 9.59. Következményt.)

A keresett számot egy egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozat közös pontjaként fogjuk megkonstruálni. Legyenek és olyan nemnegatív számok, melyekre . (Ilyenek pl. és

, hiszen .)

Tegyük fel, hogy egész, és az számokat már meghatároztuk úgy, hogy

2.1. egyenlet - (2.1)

teljesül. Két esetet különböztetünk meg. Ha

akkor legyen

Ha viszont

akkor legyen

Világos, hogy mindkét esetben , továbbá

Ezzel az és számokat minden -re definiáltuk. A definícióból következik, hogy az

intervallumok egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatot alkotnak, tehát a Cantor-axióma szerint van közös pontjuk. Ha egy közös pont, akkor , tehát

2.2. egyenlet - (2.2)

2. Valós számok

teljesül minden -re. Így (e3) alapján és mindketten közös pontjai az intervallumsorozatnak.

Belátjuk, hogy . A 2.5. Tétel szerint ehhez elég belátni, hogy minden számhoz van olyan ,

amelyre .

Az intervallumot úgy kaptuk, hogy az intervallumot „megfeleztük”, és vettük a keletkező

két fél intervallum egyikét. Ebből szemléletesen világos, hogy . Ez persze

definíciójából is azonnal következik, hiszen

Így teljes indukcióval adódik, hogy minden -re. Ebből azt kapjuk, hogy

2.3. egyenlet - (2.3)

minden -re. Legyen tetszőleges pozitív szám. Az arkhimédészi axióma szerint van olyan , amelyre kisebb -nál. Ezzel beláttuk, hogy alkalmas -re , tehát a 2.5. Tétel szerint .

A szám egyértelműsége nyilvánvaló. Ha ui. , akkor , tehát a és számok közül csak az egyiknek a négyzete lehet egyenlő -val.

Jegyezzük meg, hogy az 1.1. Tétel tulajdonképpen csak most vált teljessé. Az 1. fejezetben, a tétel kimondásakor nem foglalkoztunk azzal, hogy létezik-e a -vel jelölt szám. Az 1.1. Tétel bizonyításában voltaképpen csak azt láttuk be, hogy ha létezik , akkor nem lehet racionális szám. Igaz, hogy ennek a bizonyításában csak a testaxiómákat és a rendezési axiómákat használtuk fel (ellenőrizzük!).

4.1. Feladatok

2.1. Tekintsük a halmazt a (mod ) vett összeadással és szorzással. (Ezen azt értjük, hogy , ha és -mel való osztási maradéka megegyezik, és hasonlóan, , ha és -mel való osztási maradéka megegyezik.) Mutassuk meg, hogy ez a struktúra akkor és csak akkor elégíti ki a testaxiómákat, ha prím.

2.2. Adjunk meg olyan összeadást és szorzást a halmazon, amelyek kielégítik a testaxiómákat.

2.3. Legyen a valós számok egy olyan részhalmaza, amelyre . Tegyük fel, hogy ha és ,

akkor . Bizonyítsuk be, hogy test.

2.4. Bizonyítsuk be, hogy egy véges sok elemből álló testet nem lehet rendezni úgy, hogy kielégítse a rendezési axiómákat. (Ö)

2.5. Vezessük le a test- és rendezési axiómákból az abszolút érték felsorolt tulajdonságait.

2.6. Ellenőrizzük, hogy a valós számok halmazán az művelet kielégíti az első négy axiómát.

Mi lesz a nullelem? Adjunk meg olyan szorzást, amellyel együtt testet kapunk.

2.7. Ellenőrizzük, hogy a pozitív valós számok halmazán az művelet kielégíti az első négy axiómát. Mi lesz a nullelem? Adjunk meg olyan szorzást, amellyel együtt testet kapunk.

2.8. Ellenőrizzük, hogy a pozitív racionális számok halmazán az művelet kielégíti az első négy axiómát. Mi lesz a nullelem? Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan szorzás, amellyel együtt testet kapunk.

2.9. Ellenőrizzük, hogy a törtfüggvények halmaza a megadott műveletekkel és rendezéssel kielégíti a test- és rendezési axiómákat.

2.10. Igaz-e, hogy a törtfüggvények halmaza a megadott műveletekkel és rendezéssel kielégíti a Cantor-axiómát? (Ö)

2.11. A Cantor-axiómában megköveteltük, hogy az egymásba skatulyázott intervallumsorozat korlátos, zárt és nemüres intervallumokból álljon. Ellenőrizzük, hogy a Cantor-axióma állítása nem marad igaz, ha bármelyik feltételt elhagyjuk.