Tartalom
4. Halmazok, függvények, sorozatok ... 25 2. 2. Valós számok ... 30 1. I. Testaxiómák ... 31 2. II. Rendezési axiómák ... 31 3. III. Az arkhimédészi axióma ... 32 4. IV. A Cantor-axióma ... 34 5. Tizedestörtek. A számegyenes ... 37 6. Korlátos számhalmazok ... 40 7. Hatványozás ... 44 8. Első függelék: A testaxiómák következményei ... 46 9. Második függelék: A rendezési axiómák következményei ... 47 3. 3. Végtelen számsorozatok (I.) ... 49 1. Feladatok ... 50 2. Konvergens és divergens számsorozatok ... 50 3. Végtelenhez tartó sorozatok ... 53 4. A határérték egyértelműsége ... 55 5. Néhány konkrét sorozat határértéke ... 57 4. 4. Végtelen számsorozatok (II.) ... 59 1. A határérték alaptulajdonságai ... 59 2. Határérték és egyenlőtlenségek ... 61 3. Határérték és műveletek ... 62 4. Alkalmazások ... 67 5. 5. Végtelen számsorozatok (III.) ... 70 1. Monoton sorozatok ... 70 2. A Bolzano–Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium ... 74 6. 6. Végtelen sorok (I.) ... 79 7. 7. Megszámlálható halmazok ... 87 8. 8. Valós változós, valós értékű függvények ... 92 1. Függvények és grafikonok ... 92 2. Valós függvények globális tulajdonságai ... 96 3. Függelék: A koordinátageometria alapfogalmai ... 103 9. 9. Függvények folytonossága és határértéke ... 105 1. ... 108 2. Függvény határértéke ... 109 3. Az átviteli elv ... 120 4. Határérték és műveletek ... 125 5. Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények ... 132 6. Egyenletes folytonosság ... 138 7. Monotonitás és folytonosság ... 142 8. Konvexitás és folytonosság ... 147 9. A függvénygrafikon ívhossza ... 151 10. Függelék: A 9.80. Tétel bizonyítása ... 155 10. 10. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények) ... 157 1. Polinomfüggvények és racionális törtfüggvények ... 157 2. Exponenciális függvények és hatványfüggvények ... 159 3. Logaritmusfüggvények ... 168 4. Trigonometrikus függvények ... 173 5. A trigonometrikus függvények inverzei ... 183 6. A hiperbolikus függvények és inverzeik ... 187 7. Első függelék: Az addíciós képletek bizonyítása ... 1948. Második függelék: Néhány szó a komplex számokról ... 195 11. 11. Differenciálszámítás ... 197 1. A differenciálhatóság fogalma ... 197 2. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai ... 204 3. Magasabb rendű differenciálhányadosok ... 216 4. A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata ... 220 5. Középértéktételek ... 231 6. A differenciálható függvények vizsgálata ... 235 12. 12. A differenciálszámítás alkalmazásai ... 247 1. A L’Hospital-szabály ... 247 2. Polinomapproximáció ... 249 3. A határozatlan integrál ... 260 4. Differenciálegyenletek ... 266 5. A láncgörbe ... 273 6. A deriváltfüggvények tulajdonságai ... 276 7. Első függelék: A 12.20. Tétel bizonyítása ... 279 8. Második függelék: Még egyszer a trigonometrikus függvények értelmezéséről ... 281 13. 13. A határozott integrál ... 283 1. A határozott integrál fogalmára vezető problémák ... 283 2. A határozott integrál (Riemann-integrál) értelmezése ... 287 3. Az integrálhatóság szükséges és elégséges feltételei ... 293 4. A folytonos és a monoton függvények integrálhatósága ... 302 5. Integrálhatóság és műveletek ... 305 6. Függvények integrálhatóságára és az integrál értékére vonatkozó további tételek ... 307 7. Az integrál értékére vonatkozó egyenlőtlenségek ... 312 14. 14. Integrálszámítás ... 319 1. Az integrálás és a differenciálás kapcsolata ... 319 2. A parciális integrálás szabálya ... 325 3. A helyettesítéses integrálás ... 330 4. Az elemi függvények integrálása ... 333 5. Elemi függvények nem elemi integrállal ... 341 6. Függelék: A határozott integrálokra vonatkozó integráltranszformációs formula (14.22. Tétel) bizonyítása ... 344 15. 15. Az integrálszámítás alkalmazásai ... 348 1. A terület és térfogat általános fogalma ... 349 2. Területszámítás ... 352 3. Térfogatszámítás ... 358 4. Ívhossz-számítás ... 361 5. Polárkoordináták ... 371 6. A forgási felületek felszíne ... 375 16. 16. Korlátos változású függvények ... 380 17. 17. A Stieltjes-integrál ... 386 18. 18. Az improprius integrál ... 395 1. Az improprius integrál értelmezése és kiszámítása ... 395 2. Az improprius integrálok konvergenciája ... 405 3. Függelék: A 18.13. Tétel bizonyítása ... 411 19. 19. Megoldási ötletek, megoldások ... 414 1. Megoldási ötletek ... 414
Valós analízis I. 20. 20. Függelék: Számítástechnika és analízis ... 441 1. 20.1. Bevezetés a Függelékhez ... 441 1.1. Angol vagy magyar? ... 441 1.2. Milyen matematikai programcsomagokat használjunk? ... 443 1.3. A BASIC, illetve a PASCAL beszerzése ... 444 1.4. Melyik programnyelvet használjuk? ... 444 1.5. Mikor használjunk MAPLE-t, mikor BASIC, mikor PASCAL programot? ... 444 1.6. A kötelező óvatosság ... 445 2. 20.2 BASIC programok: Kezdőlépések ... 446 2.1. Rövid összefoglaló a BASIC-ről ... 446 3. 20.3 Kedvcsináló BASIC programokhoz ... 447 3.1. 20.3.1 Sorozatok szemléltetése, határértéke ... 447 3.2. 20.3.2 Egy rekurzió határértéke ... 448 3.3. 20.3.3 Függvények ábrázolása ... 448 4. 20.4 Mit tud a BASIC? ... 450 4.1. határértéke ... 450 4.2. 20.4.1 Sorösszegzéssel kapcsolatos programok ... 452 4.3. 20.4.2 Rekurziók: A Newton-algoritmus ... 453 4.4. 20.4.3 Rekurzió közelítésére ... 454 4.5. 20.4.4 Stirling-formula ... 455 4.6. 20.4.5 Függvények ábrázolása II. ... 456 4.7. 20.4.6 Görbeseregek ábrázolása ... 458 5. 20.5 Rövid kirándulás a Pascal programnyelvbe. ... 459 6. 20.6 MAPLE: Első lépések ... 461 6.1. A HELP ... 461 6.2. Input-Output formátum ... 461 6.3. 20.6.1 Szimbolikus számolások, algebrai műveletek ... 462 6.4. 20.6.2 Határérték, konvergenciasebesség és a MAPLE ... 463 6.5. 20.6.3 Függvényábrázolás a MAPLE segítségével I ... 463 6.6. 20.6.4 Konvergenciasebesség II. ... 465 6.7. 20.6.5 Rajzolás, függvényábrázolás MAPLE-lel II ... 466 6.8. 20.6.6 Paraméteres görbe kirajzolása ... 470 6.9. 20.6.7 Differenciálás ... 470 6.10. 20.6.8 Racionális törtfüggvények ... 471 6.11. 20.6.9 A MAPLE, függvényábrázolás és az egyenlőtlenségek ... 472 6.12. 20.6.10 Polinomközelítés (lokális) ... 473
7. 20.7 MAPLE és a „komolyabb” kérdések ... 474 7.1. Határozatlan integrál, primitív függvény ... 474 7.2. 20.7.2 Még mit érdemes tudnunk a MAPLE-ről? Kiegészítés és ismétlés ... 475 7.3. 20.7.3 Implicitplot ... 475 7.4. 20.7.4 Plot3d ... 476 8. 20.8 Mit tud még a MAPLE? ... 477 8.1. 20.8.1 Lehet-e MAPLE-ben programokat írni? ... 477 8.2. 20.8.2 Globális polinomközelítés ... 477 8.3. 20.8.3 A Lagrange interpoláció ... 479 8.4. 20.8.4 Differenciálegyenletek megoldása ... 480
Előszó
Az analízis nélkülözhetetlen alapját képezi mind a matematika egészének, mind pedig a természettudományoknak, sőt egyre inkább a társadalomtudományoknak is. Az analízis elméletét (a differenciál- és integrálszámítást) éppen az az igény hozta létre, hogy – Galilei meglátását követve – a világegyetemet a matematika nyelvén írhassuk le. A precíz elmélet kidolgozása csaknem 300 évet vett igénybe, elsősorban a határérték és a folytonosság lényegét megragadó alapfogalmak kialakítása miatt. E fogalmak elsajátítása általában komoly nehézségekkel járhat; ez is oka annak, hogy az analízis a középiskolai anyagban alig szerepel.
Ugyanakkor a felsőoktatásban, mindazokon a szakokon, ahol a matematika része a tantervnek – így az egyetemek különböző irányú (egy- vagy többszakos, alkalmazott stb.) matematika tanári és matematikus képzéseiben –, az analízis alapozó tárgyként, illetve törzsanyagként jelenik meg. Könyvünket elsősorban a fenti szakok bevezető analízis tankönyvének szánjuk. Ezen felül, elképzelésünk szerint a könyv mindazokon a szakokon is hasznos lehet, amelyeken az analízis a tanterv szerves része, így a műszaki és közgazdasági egyetemeken, illetve a főiskolákon. A könyv megírásában felhasználtuk mindazokat a tapasztalatokat, amelyeket az ELTE-n több évtizeden át tartott előadásaink során gyűjtöttünk.
Nagy súlyt helyeztünk az analízis alapjainak tárgyalására: mielőtt rátérnénk a tulajdonképpeni analízis témájára, összefoglaljuk mindazt, amire az elmélet épül (logikai alapok, halmazok, valós számok), bár ezek egy része ismerős lehet a középiskolai tanulmányokból. Meggyőződésünk, hogy a szilárd alapokra nemcsak azoknak van szükségük, akik az analízis magasabb fejezeteit akarják elsajátítani, de azoknak is, akik alkalmazzák, és nem utolsósorban azoknak, akik az analízist – bármilyen szinten – tanítani fogják.
Az analízis centrális fogalmai a határérték, a folytonosság, a differenciálhányados és az integrál. Elsődleges célunk volt ezeknek a fogalmaknak a fokozatos, a szemléletre is támaszkodó kialakítása. A rájuk épülő elmélet tárgyalásában igyekeztünk szem előtt tartani és minél gyakrabban bemutatni a lehetséges alkalmazásokat, arra is figyelve, hogy e nehéz anyag megértését és elsajátítását a lehető legjobban elősegítsük. Többek között ezért sem követtük az absztrakt vagy általános (topológiai alapú, illetve többváltozós) felépítést.
A tárgyalt anyag egyes fejezetei lehetőséget adnak mélyebb és nehezebb eredmények bemutatására, amelyek nemegyszer átvezetnek a matematika egyéb területeire (differenciálgeometria, topológia, mértékelmélet stb.).
Hangsúlyozni szeretnénk, hogy az itt tárgyalt – klasszikus, zömében több mint 100 éves – eredmények is inspirálnak ma is intenzíven kutatott, számos nyitott kérdést tartalmazó témaköröket. A könyv jellegéből adódóan ennek bemutatására nem vállalkozhattunk, csupán egy-két megoldatlan probléma említésére szorítkoztunk.
Az anyag alapos elsajátítása csak sok, különböző szintű feladat megoldásával lehetséges. Könyvünkben több mint 500 feladatot tűztünk ki, de ezek között viszonylag kevés az ún. gyakorló- vagy típusfeladat. Ilyenek számos példatárban megtalálhatók (lásd például [9]), ezért nem tekintettük célunknak nagy számú gyakorlófeladat kitűzését. Azonban fontosnak láttuk a gondolkodtató, a fogalmak, eredmények, módszerek mélyebb megértését segítő feladatok szerepeltését. Ezek között jó néhány nehezebb, invenciót igénylő feladat is van, amelyeket ( ) jelöl. A feladatok egy részéhez megoldási ötleteket, illetve teljes megoldásokat is adunk: ezt (Ö), illetve (M) jelekkel jelöljük.
E könyv előzményeihez tartoznak T. Sós Vera Analízis című egyetemi jegyzete, amely több, mint 30 éven át került kiadásra, valamint Laczkovich Miklós analízis tárgyú előadásainak jegyzetei. Ez a könyv, amely Analízis I–II. címmel 2005-ben és 2007-ben a Nemzeti Tankönyvkiadónál megjelent könyv átdolgozott, bővített kiadása, természetesen számos vonatkozásban eltér a forrásaitól mind anyagában, mind pedig felépítésében.
A könyv jóval nagyobb anyagot tárgyal annál, mint ami a legtöbb tanterv számára feltétlenül szükséges, és a könyvben olyan témakörök is szerepelnek, amelyek eddig magyar nyelven csak korlátozott mértékben voltak hozzáférhetők. A 2005-ben, illetve 2007-ben megjelent könyv az elmúlt években az ELTE többféle képzésében szolgált tankönyvként. Az átdolgozott kiadásban figyelembe vettük az oktatásban összegyűjtött tapasztalatokat is.
A számítógépek elterjedése lehetőséget teremtett arra, hogy az analízis fogalmainak elsajátításához a számítógépet és a számítógépes grafikát is igénybe vehessük.
A könyv függeléke, amely Simonovits Miklós munkája, a számítástechnika analízisbeli alkalmazásaiból nyújt ízelítőt anélkül, hogy előzetes számítástechnikai ismeretekre támaszkodna. Itt példákat láthatunk egyes analízisbeli jelenségek (pl. függvények és sorozatok viselkedésének) illusztrálására, illetve az ezekkel való kísérletezésre. Köszönet illeti Gémes Margitot a függelék gondos lektorálásáért.
Szomorú kötelességünk megemlékezni a 2008-ban elhunyt Elekes Györgyről, aki a könyvünk előzményét képező 2005-ben és 2007-ben megjelent két kötet lektora volt. Amint azt e kötetek előszavában írtuk, Elekes György mindenre kiterjedő figyelme, lelkes, odaadó és hozzáértő munkája felbecsülhetetlen segítséget nyújtott számunkra.
Köszönetet mondunk Fried Katalinnak, a könyv tördelőjének és az ábrák készítőjének azért az áldozatos és nagyszerű munkáért, amellyel a könyv elkészítéséhez hozzájárult.
A szerzők 2012. április 21.