folytonossága és határértéke
9. A függvénygrafikon ívhossza
Az analízis egyik alapfeladata a hosszúságok, területek és térfogatok mérése. A következőkben egy speciális esettel, a függvénygrafikonok hosszúságának értelmezésével foglalkozunk9.
A pontokat összekötő szakaszt -val jelöljük, azaz . A
szakasz hosszúsága (definíció szerint) a végpontjainak távolsága, azaz . Töröttvonalnak (vagy poligonnak) nevezzük azokat a halmazokat, amelyek csatlakozó szakaszok uniói. Egy töröttvonal tehát alakú, ahol a sík tetszőleges pontjai. A töröttvonal hossza az
alkotó szakaszok hosszainak összege, azaz .
Mivel „két pont között legrövidebb út az egyenes”, ezért egy görbe hossza (bárhogyan értelmezzük is) nem lehet kisebb a végpontjainak távolságánál. Ha a görbébe „beírjuk” a
töröttvonalat, akkor tehát az és pontokat összekötő részív hossza legalább , és így a teljes
görbe hossza legalább kell, hogy legyen. Másfelől – ismét a
szemléletre hivatkozva – azt várhatjuk, hogy egy „elég finom” beírt töröttvonal annyira „megközelíti” a görbét, hogy a hosszúsága is közel lesz a görbe hosszához. Mindezekből azt szűrhetjük le, hogy a görbe ívhossza egyenlő a beírt töröttvonalak hosszainak szuprémumával. Ezt a megállapítást fogjuk definícióként elfogadni.
Emlékeztetjük az olvasót, hogy az függvény grafikonját -fel jelöljük.
9.77. Definíció. Legyen tetszőleges függvény és legyen az
intervallum egy felosztása. Az függvény grafikonjának az felosztáshoz tartozó beírt poligonján az pontokat összekötő poligont értjük. A grafikon ívhossza az összes beírt poligon hosszaiból álló halmaz felső határa. (Ez lehet végtelen is.) Az grafikonjának ívhosszát -vel jelöljük. Így
Azt mondjuk, hogy rektifikálható, ha véges.
9Erre a trigonometrikus függvények értelmezésénel lesz szükségünk. Általánosabb görbék ívhosszának értelmezését és kiszámítását a 15. fejezetben fogjuk tárgyalni.
9. Függvények folytonossága és határértéke
9.17. ábra
Jegyezzük meg, hogy ha , akkor minden függvényre.
9.78. Tétel.
i. Tetszőleges függvényre
9.25. egyenlet - (9.25)
és így esetén .
ii. Ha monoton, akkor rektifikálható, és
9.26. egyenlet - (9.26)
Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy nem kisebb egyetlen beírt poligon hosszánál sem. Mármost az és pontokat összekötő szakasz is egy beírt poligon, amely az felosztáshoz
tartozik. Mivel e szakasz hossza , ezért (9.25) fennáll.
Most tegyük fel, hogy monoton növő, legyen az intervallum egy
felosztása, és jelöljük az pontot -vel minden -re. Ekkor monotonitását
felhasználva
minden -re, amiből
Mivel a felosztás tetszőleges volt, ezzel (9.26)-ot beláttuk. Ha monoton csökkenő, akkor hasonlóan okoskodhatunk, vagy az állítást visszavezethetjük a monoton növő függvény esetére a függvényre való áttéréssel.
9.79. Megjegyzés. Mivel nem minden monoton függvény folytonos, így az előző tétel (ii) állítása szerint vannak olyan függvények, amelyek nem mindenütt folytonosak, de a grafikonjuk mégis rektifikálható. Tehát a rektifikálhatóság általánosabb fogalom, mint amit az „ívhossz" szó szemléletesen sugall.
A következő tétel állítását úgy is kifejezhetjük, hogy az ívhossz additív.
9.80. Tétel. Legyen és . Ha rektifikálható, akkor
9.27. egyenlet - (9.27)
A tételt a fejezet függelékében bizonyítjuk.
A következőkben szükségünk lesz egy egyszerű geometriai tényre.
9.81. Lemma. Ha konvex sokszögek és , akkor kerülete nem nagyobb kerületénél.
Bizonyítás. A sokszöget egy oldalegyenesével levágva egy -t tartalmazó és -nél nem nagyobb kerületű sokszöget kapunk. Az eljárást folytatva a sorozatot kapjuk, amelyben mindegyik sokszög kerülete nem nagyobb az előzőnél.
A körvonal ívhossza. Jelöljük -val az origó középpontú egység sugarú körvonalat. A körvonalnak az felső félsíkba eső része legyen . Nyilvánvaló, hogy megegyezik a
intervallumon értelmezett függvény grafikonjával. Mivel a függvény monoton mind a , mind a intervallumon, ezért a fenti tételek szerint grafikonja rektifikálható.
A grafikon (vagyis a félkörív) ívhosszát -vel jelöljük.
Az előző két tételből a becslést olvashatjuk ki, ahol a érték a
felosztáshoz tartozó beírt poligon hossza. A félkörbe különböző más poligonokat beírva különböző alsó becsléseket kaphatunk -re, és ezek segítségével -t tetszőleges pontossággal megközelíthetjük (legalábbis elvben).
Ha a egységkört belefoglaljuk egy tetszőleges konvex sokszögbe, akkor a 9.81. Lemma szerint bármely -ba írt poligon hossza nem nagyobb hosszánál. Így e beírt poligonok hosszainak szuprémuma – vagyis – sem lehet hosszánál nagyobb.
Az így nyert alsó és felső becslések segítségével meg lehet mutatni, hogy .10 A szám – az -hez hasonlóan – irracionális11. Azt is meg lehet mutatni, hogy a szám – csakúgy, mint az – transzcendens, ennek a bizonyítása azonban meghaladja e könyv kereteit.
10Lásd a Számítástechnika és analízis című függeléket (l. 20.4.3. alfejezetet).
11Ezt később belátjuk az integrálszámítás számelméleti alkalmazásai között a II. kötetben.
9. Függvények folytonossága és határértéke
9.18. ábra
9.82. Megjegyzés. A trigonometrikus függvények értelmezéséhez szükségünk lesz arra a (szemléletesen nyilvánvaló) tényre, hogy a körre az pontból kiindulva tetszőleges hosszúságú ívet „felmérhetünk”.
Tekintsük azt az esetet, amikor . Azt kell belátnunk, hogy van olyan szám, amelyre
. Az jelöléssel ez azt jelenti, hogy az függvény a
intervallumban minden és közötti értéket felvesz.
9.83. Tétel. Az függvény szigorúan monoton csökkenő és folytonos -ben.
Bizonyítás. Ha , akkor a 9.80. Tétel szerint
Mivel , ebből következik, hogy szigorúan monoton csökkenő -ben.
Mivel a függvény monoton mind -ban, mind -ben, ezért (9.26) alapján
valahányszor vagy . Így
9.28. egyenlet - (9.28)
ha vagy . Mivel a függvény folytonos -ben, ezért
minden -re, amiből (9.28) alapján azonnal következik, hogy folytonos -ben.
Mármost az előző tétel, valamint a Bolzano–Darboux-tétel szerint az függvény minden és közötti értéket felvesz -ben, méghozzá pontosan egyszer. Mivel (hiszen ez volt definíciója) és , ezzel beláttuk, hogy ha , akkor a körre valóban felmérhetünk egy hosszúságú ívet. Mi a helyzet az egyéb hosszúságokkal? Mivel a félkörív hossza , ezért ha egy hosszúságú ívet felmérhetünk, akkor egy (vagy ) hosszúságú ívet is, és ekkor a körvonal átellenes pontjába jutunk.
9.1. Feladatok
9.103. Legyen olyan függvény, amelyre . Bizonyítsuk be, hogy konstans.
9.104. Bizonyítsuk be, hogy az függvény akkor és csak akkor lineáris (azaz alakú alkalmas és konstansokkal), ha
9.105. Bizonyítsuk be, hogy ha grafikonja rektifikálható, akkor korlátos -ben.
9.106. Bizonyítsuk be, hogy ha grafikonja rektifikálható, akkor -nek minden pontban létezik a jobb oldali határértéke, és minden pontban létezik a bal oldali határértéke.
9.107. Bizonyítsuk be, hogy sem a Dirichlet-függvény, sem a Riemann-függvény intervallum feletti grafikonja nem rektifikálható.
9.108. Legyen az függvény a következőképpen értelmezve: , ha ( ), és egyébként. Bizonyítsuk be, hogy grafikonja rektifikálható. Mennyi az ívhossza?
9.109. Bizonyítsuk be, hogy ha Lipschitz, akkor a grafikonja rektifikálható.
10. Függelék: A 9.80. Tétel bizonyítása
9. Függvények folytonossága és határértéke
Jelöljük az , illetve intervallum felosztásaihoz tartozó beírt poligonok hosszainak halmazát
-gyel, -vel, illetve -sel. Ekkor , és az ívhossz
definíciója szerint.
Mivel az és intervallumok egy-egy felosztása együtt az intervallum egy felosztását adják, ezért bármely -beli számnak és bármely -beli számnak az összege -ben van. Ez azt jelenti, hogy
. A 2.20. Tétel szerint , amiből azt kapjuk, hogy
Most belátjuk, hogy
9.29. egyenlet - (9.29)
Legyen az intervallum egy felosztása, és jelöljük az pontot
-vel. Ekkor az -hez tartozó poligon hossza . Ha a pont egyenlő az pontok
valamelyikével, mondjuk -val, akkor , illetve
az , illetve intervallum egy-egy felosztása, tehát
Mivel , ezért . Ha a pont az pontok egyikével sem egyenlő
és , akkor legyen és
. Jelöljük -val a pontot. Az és felosztásokhoz tartozó poligonhosszak
Mármost a háromszög-egyenlőtlenség szerint
amiből világos, hogy . Így minden
felosztásra, amiből (9.29.) nyilvánvaló.