folytonossága és határértéke
2. Belátjuk, hogy
Ugyanis , ezért esetén
Ebből
Mivel esetén , ezért , hacsak
.
3. Legyen
Ez a függvény a folytonosság és a határérték létezése szempontjából a következő különös jelenséget mutatja:
9. Függvények folytonossága és határértéke
a) Az függvénynek minden helyen létezik határértéke és ez (pedig nem azonosan ).
b) Az függvény minden irracionális helyen folytonos.
c) Az függvény egyetlen racionális helyen sem folytonos.
Az a) állítás igazolásához azt kell belátnunk, hogy ha tetszőleges érték, akkor minden -hoz létezik
pontokban teljesül. Mármost, ha a intervallum egy tetszőleges pontja, akkor a (9.7) alatti véges sok szám között van olyan, amely -tól különböző, és ezek között -hoz legközelebb van. Legyen ez , és legyen . Az intervallumban tehát nincs -tól különböző (9.7) alatti szám, ezért
, ha , vagyis -hoz jó a érték. Mivel
tetszőleges volt, ezzel beláttuk, hogy .
b) Mivel egy irracionális helyen , ezért , tehát a függvény minden irracionális helyen folytonos.
c) Mivel egy racionális helyen , ezért , vagyis a racionális pontokban a függvény nem folytonos.
9.9. Megjegyzés. A 3. példában definiált függvényt – felfedezőjéről – Riemann1-függvénynek nevezzük. E függvény tehát minden irracionális helyen folytonos, és minden racionális helyen nem folytonos.
Bebizonyítható azonban, hogy nem létezik olyan függvény, amely minden racionális helyen folytonos és minden irracionális helyen nem folytonos (lásd a 9.17. feladatot [120]).
A jobb és bal oldali folytonosság fogalmaihoz hasonlóan a határértéknek is vannak féloldali megfelelői.
9.10. Definíció. Legyen értelmezve egy nyílt intervallumban. Az függvény jobb oldali határértéke létezik az helyen és az értéke , ha minden -hoz létezik , amelyre teljesül, hogy ,
ha .
Jelölés: vagy , ha , illetve még rövidebben .
Hasonlóan értelmezhető és jelölhető a bal oldali határérték.
9.11. Megjegyzés. A fenti jelölésekben és természetesen nem számok, csupán szimbólumok, amelyek a definícióban megadott tulajdonság rövid jelölését teszik lehetővé.
A következő tétel nyilvánvaló a definíciókból.
9.12. Tétel. akkor és csak akkor, ha és mindegyike létezik, és .
1Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) német matematikus
9.7. ábra
A sorozatok határértékének tárgyalásához hasonlóan a függvények viselkedésének leírásához is szükségünk lesz a végtelenhez és a mínusz végtelenhez tartás fogalmaira.
9.13. Definíció. Legyen értelmezve egy -t tartalmazó nyílt intervallumban, kivéve esetleg -t magát. Az függvény határértéke az helyen , ha minden számhoz létezik úgy, hogy , valahányszor
.
Jelölés: , illetve , ha .
A állítás a grafikon következő tulajdonságát jelenti: tetszőleges -hez létezik olyan , hogy grafikonjának az halmaz feletti része az vízszintes egyenes felett van.
Hasonlóan értelmezzük azt, hogy határértéke az pontban . Szükségünk lesz még a végtelenhez tartás féloldali változatára is.
9.14. Definíció. Legyen értelmezve egy nyílt intervallumban. Az függvény jobb oldali határértéke az helyen , ha minden számhoz létezik úgy, hogy , ha .
Jelölés: ; vagy , ha ; illetve .
Hasonlóan értelmezzük azt, hogy ; illetve, hogy .
De még mindig nem végeztünk a határérték fogalmának különböző variációival.
9. Függvények folytonossága és határértéke
9.8. ábra
9.15. Definíció. Legyen értelmezve egy félegyenesen. Azt mondjuk, hogy az függvény határértéke -ben , ha minden -hoz létezik olyan , amelyre teljesül, hogy , ha .
Jelölés: , illetve , ha .
Hasonlóan értelmezzük azt, hogy határértéke -ben .
És végül egy további típus, amelyben mind a „hely”, mind pedig az „érték” végtelen.
9.16. Definíció. Legyen értelmezve egy félegyenesen. Azt mondjuk hogy az függvény határértéke -ben , ha minden -hez létezik úgy, hogy , ha .
Ez utóbbi fogalomnak három további variációját kapjuk, ha a -ben értelmezett , illetve a -ben értelmezett és határértékeket definiáljuk.
Összefoglalva, a határérték alábbi változatait értelmeztük.
Ez 15 variánsa egy olyan fogalomnak, amelyről érezzük, hogy egy egységes gondolaton alapszik. Annak érdekében, hogy ezt a közös gondolatot megfogalmazhassuk, bevezetjük a környezet fogalmát.
9.17. Definíció. Az valós szám környezeteinek nevezzük az alakú intervallumokat, ahol tetszőleges pozitív szám. Az valós szám jobb oldali, illetve bal oldali környezeteinek nevezzük az , illetve alakú intervallumokat, ahol tetszőleges pozitív szám.
Az valós szám pontozott környezeteinek nevezzük az alakú halmazokat, ahol tetszőleges pozitív szám. Az valós szám jobb oldali, illetve bal oldali pontozott környezeteinek nevezzük az
, illetve alakú intervallumokat, ahol tetszőleges pozitív szám.
Végül, a környezeteinek nevezzük a alakú félegyeneseket, ahol tetszőleges valós szám, továbbá a környezeteinek nevezzük az alakú félegyeneseket, ahol tetszőleges valós szám.
A fenti definícióban a „pontozott” jelző arra utal, hogy az illető pontot kihagytuk a környezetből, tehát a környezetet mintegy „kipontoztuk”. Mármost a környezet fogalmának segítségével megadhatjuk a határérték 15-féle értelmezésének egységes alakját, amely egyúttal a határérték-fogalom lényegét is jobban megragadja.
9.18. Definíció. Jelentse az valós számot, vagy az , , , illetve szimbólumok valamelyikét. Az egyes eseteknek megfelelően az pontozott környezetén értsük pontozott környezetét, jobb oldali pontozott környezetét, bal oldali pontozott környezetét, környezetét, illetve környezetét.
Jelentse a valós számot, vagy a , illetve szimbólumok valamelyikét.
Legyen értelmezve egy pontozott környezetében. Azt mondjuk, hogy , ha minden környezetéhez létezik -nak olyan pontozott környezete, amelyre teljesül, hogy , ha . Az olvasóra bízzuk annak belátását, hogy ebből a definícióból (speciális esetekként) valóban a felsorolt határérték-értelmezéseket kapjuk.
9.19. Példák. 1. , mert , ha .
, mert , ha .
2. , mert , ha .
3. , mert tetszőleges számra
4. , mert tetszőleges számra
és így akkor is, ha .
5. , mert , ha .
6. Belátjuk, hogy minden -re. Legyen adott. Ha és ,
akkor felhasználva az függvény monotonitását (2.27. Tétel) és a Bernoulli-egyenlőtlenséget, azt kapjuk, hogy
7. Legyen . Ekkor .
9. Függvények folytonossága és határértéke
9.9. ábra
Ugyanis
Ebből látható, hogy ha , akkor , vagyis .
Hasonlóan, ha , akkor , vagyis
. Ebből következik, hogy
Eszerint bármely -hoz a választás megfelel, ha .
8. Legyen , tehát
9.10. ábra
Nyilvánvalóan ; továbbá , hiszen , ha .
Most bebizonyítjuk, hogy
Valóban, , ha , vagyis ,
ha , tehát
Hasonlóan,
ha , tehát , ha . Ezzel beláttuk, hogy .
2.1. Feladatok
9. Függvények folytonossága és határértéke
9.9. Az alábbi függvényeknek a megadott helyen létezik a határértéke. Határozzuk meg -t, és minden környezetéhez adjuk meg egy olyan pontozott környezetét, amelyre teljesül, hogy esetén
.
a. , ;
b. , ;
c. , ;
d. , ;
e. , ;
f. , .
g. , ;
h. , ;
i. , ;
j. , ;
k. , .
9.10. Definiálhatjuk-e a függvényt -ben úgy, hogy ott folytonos legyen?
9.11. Legyen pozitív egész. Definiálhatjuk-e az függvényt -ban úgy, hogy ott folytonos legyen?
9.12. Bizonyítsuk be, hogy a Riemann-függvény értéke -ben
9.13. Tegyük fel, hogy az függvénynek minden pontban létezik a véges határértéke.
Bizonyítsuk be, hogy a függvény mindenütt folytonos.
9.14. Bizonyítsuk be, hogy ha periodikus és , akkor azonosan nulla.
9.15. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan függvény, amelynek minden pontban végtelen a határértéke. (Ö)
9.16. Bizonyítsuk be, hogy ha az függvénynek minden pontban nulla a határértéke, akkor van olyan pont, amelyben . (Ö)
9.17. Bizonyítsuk be, hogy ha az függvény minden racionális pontban folytonos, akkor van olyan irracionális pont is, amelyben folytonos. ( M)