Rövid történeti bevezetés
1. Monoton sorozatok
A 3.13.. Tételben bebizonyítottuk, hogy egy sorozat konvergenciájának szükséges feltétele a sorozat korlátossága, és a sorozat példáján azt is láttuk, hogy a korlátosság nem elégséges feltétele a konvergenciának.
Az alábbiakban bebizonyítjuk azonban, hogy a sorozatok egy lényeges osztályánál, az ún. monoton sorozatok körében a korlátosságból már következik a konvergencia. Mivel a korlátosságot általában egyszerűbb eldönteni, mint közvetlenül a konvergenciát, a tétel sok esetben jól használható módszert ad a konvergencia eldöntésére.
Ezen túlmenően, mint majd látni fogjuk, a tétel elvi szempontból is jelentős, és a Cantor-axiómával van szoros kapcsolatban.
5.1. Definíció. Az sorozatot monoton növekedőnek nevezzük, ha
Amennyiben itt helyett mindenütt áll, a sorozatot monoton csökkenőnek, ha , illetve áll, szigorúan monoton növekedőnek, illetve szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük.
Az sorozatot monoton sorozatnak nevezzük, ha a fenti esetek valamelyike áll fenn.
5.2. Tétel. Ha az sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens. Ha monoton növekedő, akkor
ha pedig monoton csökkenő, akkor
Bizonyítás. Legyen például monoton növekedő, korlátos, és
Mivel az számhalmaz legkisebb felső korlátja, ezért minden -ra nem felső korlát, azaz létezik olyan , amelyre
A sorozat monoton növekedő, ezért
és így
Beláttuk, hogy minden -hoz létezik olyan , amelyre teljesül, hogy
ami éppen azt jelenti, hogy .
Az 5.2. Tételt kiegészíthetjük a következővel.
5.3. Tétel. Ha az sorozat monoton növekedő és nem korlátos, akkor ; ha monoton
csökkenő és nem korlátos, akkor .
Bizonyítás. Legyen monoton növekedő és nem korlátos. Ha monoton növekvő, akkor alulról korlátos, hiszen alsó korlátja. Így az a feltétel, hogy nem korlátos, azt jelenti, hogy felülről nem korlátos. Ekkor minden -hez létezik ( -től függő) , amelyre . De a monoton növekedés miatt , ha , vagyis . Hasonlóan látható be a monoton csökkenő sorozatokra vonatkozó állítás.
Az előző tételben elég feltenni, hogy a sorozat -re monoton, hiszen véges sok elem nem befolyásolja a sorozat konvergenciaviselkedését.
Azt, hogy az sorozat monoton növekedő (illetve csökkenő) és -hoz tart, gyakran a következőképpen jelöljük:
Az 5.2. Tétel segítségével néhány fontos, gyakran előforduló sorozat konvergenciáját igazolhatjuk.
5.4. Tétel. Az sorozat szigorúan monoton növekedő és korlátos, tehát konvergens.
Bizonyítás. A számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint
Itt mindkét oldalt -edik hatványra emelve azt kapjuk, hogy
amivel beláttuk, hogy a sorozat szigorúan monoton növekedő.
A felülről való korlátosság bizonyításához azt fogjuk megmutatni, hogy minden pozitív és egészre
5.1. egyenlet - (5.1)
Valóban, ismét a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenséget alkalmazva
azaz
5.2. egyenlet - (5.2)
Mármost esetén reciproka
5. Végtelen számsorozatok (III.)
ezért (5.2) mindkét oldalát -mel osztva megkapjuk (5.1)-et. Ezzel beláttuk, hogy az számok mindegyike felső korlátja a sorozatnak.
Az sorozat határérértékét -vel jelöljük1, tehát
5.3. egyenlet - (5.3)
Mint a későbbiek során látni fogjuk, ez a konstans az analízisben és a matematika más fejezeteiben jelentős szerepet játszik.
Könnyen belátható, hogy egy szigorúan monoton növő sorozat limesze nagyobb, mint a sorozat bármely tagja.
Ha ezt összevetjük (5.1)-gyel és a 4.10. Tétellel, akkor azt kapjuk, hogy
5.4. egyenlet - (5.4)
minden -re. Ebből azt kapjuk, hogy ; illetve . Egyébként (5.4) alapján
és ez (elvben) lehetőséget ad arra,hogy értékét tetszőleges előírt pontossággal kiszámítsuk.2 Meg lehet mutatni (ha nem is a fenti becslés segítségével), hogy . Bebizonyítható, hogy irracionális szám.3
Az (5.4) becslés segítségével pontosabb információt kaphatunk a faktoriálisok nagyságrendjéről.
5.5. Tétel.
i. minden -re; valamint
ii. minden -re.
Bizonyítás. Mindkét állítást teljes indukcióval bizonyítjuk. Mivel , ezért . Tegyük fel, hogy
és . Az egyenlőtlenség bizonyításához elég azt megmutatni,
hogy
ami ekvivalens az egyenlőtlenséggel. Ezzel (i)-et beláttuk.
A (ii) egyenlőtlenséget bizonyítandó először is ellenőrizzük, hogy . Valóban,
, amiből . Tegyük fel, hogy és . Az
egyenlőtlenség bizonyításához elég azt megmutatni, hogy
1Ezt a jelölést Leonhard Euler (1707–1783) svájci matematikus vezette be.
2A gyakorlatban az (5.4) becslés nemigen használható. Ha ennek segítségével akarnánk -t 10 tizedesjegy pontossággal megadni, akkor egy -edik hatványt kellene kiszámítanunk. Később megadunk egy sokkal gyorsabb közelítési módszert. Idevonatkozó programokat és feladatokat találunk a Számítástechnika és analízis c. Függelékben. (L. 20. fejezet, 10. Program, illetve a 10. Feladat [0].)
3Sőt, azt is meg lehet mutatni, hogy ún. transzcendens szám, azaz nem gyöke semmilyen nem azonosan nulla egész együtthatós polinomnak. Később mindkét állítást belátjuk majd: irracionalitását a 11.87. [0] és 14.23. feladatokban [0], a transzcendenciáját pedig az integrálszámítás alkalmazásaként a II. kötet Az integrálszámítás néhány számelméleti alkalmazása című alfejezetében.
ami az egyenlőtlenséggel ekvivalens. Ezzel (ii)-t is igazoltuk.
Az sorozat pontos nagyságrendjét az ún. Stirling4-formula adja meg5, amely azt állítja, hogy
5.5. egyenlet - (5.5)
Ezt később be is bizonyítjuk az integrálszámítás egyik alkalmazásaként (14.15. Tétel).
Az 5.2. Tétel segítségével számos, rekurzióval megadott sorozatról is megállapítható, hogy konvergens.
5.6. Példa. Tekintsük a 3.1. Példa (15) sorozatát, vagyis azt az sorozatot, amely az , rekurzióval van megadva. Belátjuk, hogy a sorozat monoton növő. Az állítást teljes indukcióval fogjuk belátni. Mivel , ezért a bizonyítandó állítás -re igaz. Ha -re igaz, akkor
tehát -re is igaz. Ezzel beláttuk, hogy a sorozat (szigorúan) monoton növő.
Most megmutatjuk, hogy a sorozat felülről korlátos, nevezetesen felső korlátja. Az állítás szintén
teljes indukcióval következik, hiszen , és ha , akkor .
Ezzel beláttuk, hogy a sorozat monoton és korlátos, tehát konvergens. A határértékét a rekurzió segítségével
tudjuk meghatározni. Legyen . Mivel minden -re, ezért
amiből vagy . A második eset lehetetlen, hiszen a sorozat tagjai nemnegatívak. Így , azaz .
1.1. Feladatok
5.1. Bizonyítsuk be, hogy ha és , akkor létezik olyan sorozat, amelyre , szigorúan monoton növekedő és . Igaz-e az állítás akkor is, ha ?
5.2. Egy sorozat a monotonitás, korlátosság, konvergencia szempontjából (elvben) 8-féleképpen viselkedhet (mindegyik tulajdonsággal vagy rendelkezik, vagy sem). Valójában a 8 eset közül hány fordulhat elő?
5.3. Tegyük fel, hogy az sorozat tagjai kielégítik az egyenlőtlenséget minden -re. Bizonyítsuk be, hogy nem lehet oszcillálva divergens. (Ö)
5.4. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi, rekurzióval definiált sorozatok konvergensek, és határozzuk meg a határértékeiket!
a. , ( ), ahol adott;
b. , ( );
c. , ( );
4James Stirling (1692–1770) skót matematikus
5Egy idevonatkozó programot találunk a 20.4.4. alfejezetben.
5. Végtelen számsorozatok (III.)
d. , ( ) (Ö);
e. , ( ).
5.5. Legyen adott, és definiáljuk az sorozatot az rekurzióval.
Bizonyítandó, hogy . (Ö)6
5.6. Bizonyítsuk be, hogy az sorozat monoton csökkenő.7
5.7. Bizonyítsuk be, hogy minden -re. (Ö)
Láttuk, hogy a monoton sorozatok egyszerűen viselkednek konvergencia szempontjából. Azt is tudjuk (lásd a 4.5. Tételt), hogy egy sorozat átrendezése a sorozat konvergenciájának tényét és konvergencia esetén a határértéket nem változtatja meg. Ezért kézenfekvő megvizsgálni, hogy mely sorozatok rendezhetők monoton sorozattá?
Tetszőlegesen megadva véges sok számot, ezek nagyság szerinti sorrendbe, vagyis véges monoton sorozattá rendezhetők. Nyilvánvaló azonban, hogy nem minden végtelen sorozat rendezhető monoton sorozattá. Könnyű belátni például, hogy a sorozat nem rendezhető monoton sorozattá. A szigorú monotonitásra vonatkozó pontos kritériumot a következő tétel adja meg.
5.7. Tétel. Egy sorozat akkor és csak akkor rendezhető át szigorúan monoton növő sorozattá, ha a tagjai páronként különbözőek, és ha a sorozat vagy végtelenhez tart, vagy pedig konvergens és a tagjai kisebbek a határértékénél.
Bizonyítás. Egy szigorúan monoton sorozat tagjai páronként különbözőek, ez tehát szükséges ahhoz, hogy a sorozat ilyenné átrendezhető legyen. Tudjuk, hogy minden monoton növő sorozat vagy végtelenhez tart, vagy konvergens (5.2. és 5.3. Tételek). Az is világos, hogy ha egy szigorúan monoton növő sorozat konvergens, akkor a tagjai kisebbek a határértékénél. Ezzel az állítás „csak akkor” részét beláttuk.
Most tegyük fel, hogy az sorozat tagjai különbözőek és ; megmutatjuk, hogy átrendezhető szigorúan monoton növő sorozattá. Tekintsük az
intervallumokat. Ezek mindegyikében a sorozatnak csak véges sok tagja van. Ha most monoton növekedő sorrendben felsoroljuk az -beli tagokat, utánuk az -beli tagokat és így tovább, akkor megkapjuk a sorozat szigorúan monoton növő sorozattá való átrendezését.
Végül tegyük fel, hogy az sorozat tagjai különbözőek, véges, és minden -re.
Megmutatjuk, hogy átrendezhető szigorúan monoton növő sorozattá. Tekintsük most a
6Idevonatkozó számítástechnikai elemzést találunk a 20.4.2. alfejezetben.
7Idevonatkozó számítástechnikai elemzést találunk a 20. alfejezetben a 24. feladatban [0].