Valós analízis I-II.
Laczkovich, Miklós
T. Sós, Vera
Valós analízis I-II.
írta Laczkovich, Miklós és T. Sós, Vera
Publication date 2006 Publication date 2012
Szerzői jog © 2014—2021 Laczkovich Miklós, T. Sós Vera, Typotex A kiadvány a Magyar Tudományos Akadémia támogatásával készült.
Engedély nélkül semmilyen formában nem másolható!
A Nemzeti Tankönyvkiadónál 2006-ban megjelent Analízis I–II. átdolgozott és bővített kiadása.
Szakmai bírálók:
Elekes György és Kós Géza Gémes Margit (20. fejezet)
Számítástechnikai függelék Simonovits Miklós munkája Typotex Elektronikus Kiadó Kft.
Tartalom
I. Valós analízis I. ... 1
Előszó ... vi
Rövid történeti bevezetés ... viii
1. 1. Alapfogalmak ... 18
1. Néhány szó a matematikáról általában ... 18
2. Logikai alapfogalmak ... 18
3. Bizonyítási módszerek ... 20
4. Halmazok, függvények, sorozatok ... 25
2. 2. Valós számok ... 30
1. I. Testaxiómák ... 31
2. II. Rendezési axiómák ... 31
3. III. Az arkhimédészi axióma ... 32
4. IV. A Cantor-axióma ... 34
5. Tizedestörtek. A számegyenes ... 37
6. Korlátos számhalmazok ... 40
7. Hatványozás ... 44
8. Első függelék: A testaxiómák következményei ... 46
9. Második függelék: A rendezési axiómák következményei ... 47
3. 3. Végtelen számsorozatok (I.) ... 49
1. Feladatok ... 50
2. Konvergens és divergens számsorozatok ... 50
3. Végtelenhez tartó sorozatok ... 53
4. A határérték egyértelműsége ... 55
5. Néhány konkrét sorozat határértéke ... 57
4. 4. Végtelen számsorozatok (II.) ... 59
1. A határérték alaptulajdonságai ... 59
2. Határérték és egyenlőtlenségek ... 61
3. Határérték és műveletek ... 62
4. Alkalmazások ... 67
5. 5. Végtelen számsorozatok (III.) ... 70
1. Monoton sorozatok ... 70
2. A Bolzano–Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium ... 74
6. 6. Végtelen sorok (I.) ... 79
7. 7. Megszámlálható halmazok ... 87
8. 8. Valós változós, valós értékű függvények ... 92
1. Függvények és grafikonok ... 92
2. Valós függvények globális tulajdonságai ... 96
3. Függelék: A koordinátageometria alapfogalmai ... 103
9. 9. Függvények folytonossága és határértéke ... 105
1. ... 108
2. Függvény határértéke ... 109
3. Az átviteli elv ... 120
4. Határérték és műveletek ... 125
5. Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények ... 132
6. Egyenletes folytonosság ... 138
7. Monotonitás és folytonosság ... 142
8. Konvexitás és folytonosság ... 147
9. A függvénygrafikon ívhossza ... 151
10. Függelék: A 9.80. Tétel bizonyítása ... 155
10. 10. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények) ... 157
1. Polinomfüggvények és racionális törtfüggvények ... 157
2. Exponenciális függvények és hatványfüggvények ... 159
3. Logaritmusfüggvények ... 168
4. Trigonometrikus függvények ... 173
5. A trigonometrikus függvények inverzei ... 183
6. A hiperbolikus függvények és inverzeik ... 187
Valós analízis I-II.
7. Első függelék: Az addíciós képletek bizonyítása ... 194
8. Második függelék: Néhány szó a komplex számokról ... 195
11. 11. Differenciálszámítás ... 197
1. A differenciálhatóság fogalma ... 197
2. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai ... 204
3. Magasabb rendű differenciálhányadosok ... 216
4. A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata ... 220
5. Középértéktételek ... 231
6. A differenciálható függvények vizsgálata ... 235
12. 12. A differenciálszámítás alkalmazásai ... 247
1. A L’Hospital-szabály ... 247
2. Polinomapproximáció ... 249
3. A határozatlan integrál ... 260
4. Differenciálegyenletek ... 266
5. A láncgörbe ... 273
6. A deriváltfüggvények tulajdonságai ... 276
7. Első függelék: A 12.20. Tétel bizonyítása ... 279
8. Második függelék: Még egyszer a trigonometrikus függvények értelmezéséről ... 281
13. 13. A határozott integrál ... 283
1. A határozott integrál fogalmára vezető problémák ... 283
2. A határozott integrál (Riemann-integrál) értelmezése ... 287
3. Az integrálhatóság szükséges és elégséges feltételei ... 293
4. A folytonos és a monoton függvények integrálhatósága ... 302
5. Integrálhatóság és műveletek ... 305
6. Függvények integrálhatóságára és az integrál értékére vonatkozó további tételek .. 307
7. Az integrál értékére vonatkozó egyenlőtlenségek ... 312
14. 14. Integrálszámítás ... 319
1. Az integrálás és a differenciálás kapcsolata ... 319
2. A parciális integrálás szabálya ... 325
3. A helyettesítéses integrálás ... 330
4. Az elemi függvények integrálása ... 333
5. Elemi függvények nem elemi integrállal ... 341
6. Függelék: A határozott integrálokra vonatkozó integráltranszformációs formula (14.22. Tétel) bizonyítása ... 344
15. 15. Az integrálszámítás alkalmazásai ... 348
1. A terület és térfogat általános fogalma ... 349
2. Területszámítás ... 352
3. Térfogatszámítás ... 358
4. Ívhossz-számítás ... 361
5. Polárkoordináták ... 371
6. A forgási felületek felszíne ... 375
16. 16. Korlátos változású függvények ... 380
17. 17. A Stieltjes-integrál ... 386
18. 18. Az improprius integrál ... 395
1. Az improprius integrál értelmezése és kiszámítása ... 395
2. Az improprius integrálok konvergenciája ... 405
3. Függelék: A 18.13. Tétel bizonyítása ... 411
19. 19. Megoldási ötletek, megoldások ... 414
1. Megoldási ötletek ... 414
1.1. 1. Fejezet ... 414
1.2. 2. Fejezet ... 414
1.3. 3. Fejezet ... 414
1.4. 4. Fejezet ... 415
1.5. 5. Fejezet ... 415
1.6. 6. Fejezet ... 415
1.7. 7. Fejezet ... 415
1.8. 8. Fejezet ... 416
1.9. 9. Fejezet ... 416
1.10. 10. Fejezet ... 417
1.11. 11. Fejezet ... 417
1.12. 12. Fejezet ... 418
1.13. 13. Fejezet ... 418
1.14. 14. Fejezet ... 419
1.15. 15. Fejezet ... 419
1.16. 16. Fejezet ... 420
1.17. 17. Fejezet ... 421
1.18. 18. Fejezet ... 421
2. Megoldások ... 422
2.1. 1. Fejezet ... 422
2.2. 2. Fejezet ... 422
2.3. 3. Fejezet ... 423
2.4. 4. Fejezet ... 424
2.5. 5. Fejezet ... 424
2.6. 6. Fejezet ... 424
2.7. 8. Fejezet ... 425
2.8. 9. Fejezet ... 425
2.9. 10. Fejezet ... 427
2.10. 11. Fejezet ... 428
2.11. 12. Fejezet ... 430
2.12. 13. Fejezet ... 431
2.13. 14. Fejezet ... 432
2.14. 15. Fejezet ... 432
2.15. 16. Fejezet ... 434
2.16. 17. Fejezet ... 435
2.17. 18. Fejezet ... 436
20. 20. Függelék: Számítástechnika és analízis ... 441
1. 20.1. Bevezetés a Függelékhez ... 441
1.1. Angol vagy magyar? ... 441
1.2. Milyen matematikai programcsomagokat használjunk? ... 443
1.3. A BASIC, illetve a PASCAL beszerzése ... 444
1.4. Melyik programnyelvet használjuk? ... 444
1.5. Mikor használjunk MAPLE-t, mikor BASIC, mikor PASCAL programot? 444 1.6. A kötelező óvatosság ... 445
2. 20.2 BASIC programok: Kezdőlépések ... 446
2.1. Rövid összefoglaló a BASIC-ről ... 446
3. 20.3 Kedvcsináló BASIC programokhoz ... 447
3.1. 20.3.1 Sorozatok szemléltetése, határértéke ... 447
3.2. 20.3.2 Egy rekurzió határértéke ... 448
3.3. 20.3.3 Függvények ábrázolása ... 448
4. 20.4 Mit tud a BASIC? ... 450
4.1. határértéke ... 450
4.2. 20.4.1 Sorösszegzéssel kapcsolatos programok ... 452
4.3. 20.4.2 Rekurziók: A Newton-algoritmus ... 453
4.4. 20.4.3 Rekurzió közelítésére ... 454
4.5. 20.4.4 Stirling-formula ... 455
4.6. 20.4.5 Függvények ábrázolása II. ... 456
4.7. 20.4.6 Görbeseregek ábrázolása ... 458
5. 20.5 Rövid kirándulás a Pascal programnyelvbe. ... 459
6. 20.6 MAPLE: Első lépések ... 461
6.1. A HELP ... 461
6.2. Input-Output formátum ... 461
6.3. 20.6.1 Szimbolikus számolások, algebrai műveletek ... 462
6.4. 20.6.2 Határérték, konvergenciasebesség és a MAPLE ... 463
6.5. 20.6.3 Függvényábrázolás a MAPLE segítségével I ... 463
6.6. 20.6.4 Konvergenciasebesség II. ... 465
6.7. 20.6.5 Rajzolás, függvényábrázolás MAPLE-lel II ... 466
6.8. 20.6.6 Paraméteres görbe kirajzolása ... 470
6.9. 20.6.7 Differenciálás ... 470
6.10. 20.6.8 Racionális törtfüggvények ... 471
6.11. 20.6.9 A MAPLE, függvényábrázolás és az egyenlőtlenségek ... 472
Valós analízis I-II.
6.12. 20.6.10 Polinomközelítés (lokális) ... 473
7. 20.7 MAPLE és a „komolyabb” kérdések ... 474
7.1. Határozatlan integrál, primitív függvény ... 474
7.2. 20.7.2 Még mit érdemes tudnunk a MAPLE-ről? Kiegészítés és ismétlés . 475 7.3. 20.7.3 Implicitplot ... 475
7.4. 20.7.4 Plot3d ... 476
8. 20.8 Mit tud még a MAPLE? ... 477
8.1. 20.8.1 Lehet-e MAPLE-ben programokat írni? ... 477
8.2. 20.8.2 Globális polinomközelítés ... 477
8.3. 20.8.3 A Lagrange interpoláció ... 479
8.4. 20.8.4 Differenciálegyenletek megoldása ... 480
II. VALÓS ANALÍZIS II. ... 481
Előszó ... cdlxxxiv TÖBBVÁLTOZÓS ANALÍZIS ... cdlxxxv 21. 21. függvények ... 486
1. Pontsorozatok konvergenciája ... 489
2. A ponthalmazelmélet alapjai ... 491
3. Határérték ... 503
4. Folytonosság ... 507
5. Parciális deriváltak ... 511
6. Differenciálhatóság ... 516
7. Többszörös differenciálás ... 529
8. A differenciálszámítás alkalmazásai ... 534
9. Függelék: Érintő és érintősík ... 544
22. 22. függvények ... 547
1. Határérték és folytonosság ... 547
2. Differenciálhatóság ... 549
3. Differenciálási szabályok ... 552
4. Implicit és inverz függvények ... 556
23. 23. Jordan-mérték ... 570
1. 23.1 A Jordan-mérték értelmezése és tulajdonságai ... 570
2. Néhány konkrét halmaz mértéke ... 579
3. A lineáris transzformációk és a Jordan-mérték ... 588
4. Függelék: A korlátos konvex halmazok mérhetősége ... 591
24. 24. Többváltozós függvények integrálása I. ... 593
1. A többváltozós integrál értelmezése ... 593
2. A többváltozós integrál Jordan-mérhető halmazokon ... 597
3. A többváltozós integrál kiszámítása ... 603
4. Függelék: Az integráltranszformáció tételének bizonyítása ... 612
25. 25. Többváltozós függvények integrálása II. ... 618
1. 25.1 A vonalintegrál ... 618
2. Feltételek a primitív függvény létezésére ... 624
3. Green tétele ... 635
4. Felület és felszín ... 644
5. Integráltételek három dimenzióban ... 647
26. 26. Végtelen sorok II. ... 653
1. Végtelen sorok és műveletek ... 653
2. Abszolút és feltételesen konvergens sorok ... 657
3. További konvergenciakritériumok ... 662
4. Végtelen sorok szorzása ... 670
5. Szummábilis sorok ... 674
6. Függelék: A végtelen sorok történetéből ... 677
27. 27. Függvénysorozatok és függvénysorok ... 679
1. Függvénysorozatok konvergenciája ... 679
2. Függvénysorok konvergenciája ... 687
3. Taylor-sorok és hatványsorok ... 696
4. Az Abel-szummáció ... 709
5. Fourier-sorok ... 712
6. További alkalmazások ... 723
7. Első függelék: A Cauchy–Hadamard-formula ... 731
8. Második függelék: Komplex sorok ... 734
9. Harmadik függelék: A Fourier-sorok történetéből ... 735
28. 28. Vegyes témák ... 739
1. Összegek becslése ... 739
2. Közelítő módszerek a határozott integrál kiszámítására ... 746
3. Paraméteres integrálok ... 754
4. Lebesgue szerint nullmértékű halmazok, és az integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma 767 5. A Lebesgue-tétel két alkalmazása ... 771
6. Az integrálszámítás néhány számelméleti alkalmazása ... 773
7. A Brouwer-féle fixponttétel ... 777
8. A Peano-görbe ... 783
29. 29. Megoldási ötletek, megoldások ... 786
1. Megoldási ötletek ... 786
1.1. 21. Fejezet ... 786
1.2. 22. Fejezet ... 787
1.3. 23. Fejezet ... 787
1.4. 24. Fejezet ... 787
1.5. 25. Fejezet ... 787
1.6. 26. Fejezet ... 787
1.7. 27. Fejezet ... 788
1.8. 28. Fejezet ... 792
2. Megoldások ... 793
2.1. 21. Fejezet ... 793
2.2. 22. Fejezet ... 795
2.3. 23. Fejezet ... 795
2.4. 25. Fejezet ... 796
2.5. 26. Fejezet ... 796
2.6. 27. Fejezet ... 797
2.7. 28. Fejezet ... 800
30. Tárgymutató ... 802
1. A, Á ... 802
2. B ... 803
3. C, Cs ... 804
4. D ... 805
5. E, É ... 806
6. F ... 808
7. G, Gy ... 809
8. H ... 810
9. I, Í ... 811
10. J ... 812
11. K ... 813
12. L ... 815
13. M ... 816
14. N, Ny ... 817
15. O, Ö ... 818
16. P ... 819
17. R ... 820
18. S, Sz ... 821
19. T ... 822
20. U, Ü ... 824
21. V ... 824
22. W ... 825
23. X ... 825
24. Y ... 825
25. Z ... 825
31. Jelölések ... 826
32. Irodalomjegyzék ... 834
Az egyenletek listája
1. (0.1) ... xi
2. (0.2) ... xv
3. (0.3) ... xv
4. (0.4) ... xvi
5. (0.5) ... xvi
1.1. (1.1) ... 22
1.2. (1.2) ... 27
2.1. (2.1) ... 35
2.2. (2.2) ... 35
2.3. (2.3) ... 36
2.4. (2.4) ... 37
2.5. (2.5) ... 37
2.6. (2.6) ... 37
2.7. (2.7) ... 39
2.8. (2.8) ... 40
2.9. (2.9) ... 44
2.10. (2.10) ... 45
2.11. (2.11) ... 45
3.1. (3.1) ... 51
3.2. (3.2) ... 51
3.3. (3.3) ... 54
3.4. (3.4) ... 57
3.5. (3.5) ... 58
4.1. (4.1) ... 64
4.2. (4.2) ... 68
4.3. (4.3) ... 68
5.1. (5.1) ... 71
5.2. (5.2) ... 71
5.3. (5.3) ... 72
5.4. (5.4) ... 72
5.5. (5.5) ... 73
6.1. (6.1) ... 81
6.2. (6.2) ... 83
6.3. (6.3) ... 84
7.1. (7.1) ... 87
8.1. (8.1) ... 93
8.2. (8.2) ... 97
8.3. (8.3) ... 98
8.4. (8.4) ... 99
8.5. (8.5) ... 99
8.6. (8.6) ... 100
8.7. (8.7) ... 100
8.8. (8.8) ... 100
8.9. (8.9) ... 102
8.10. (8.10) ... 104
8.11. (8.11) ... 104
9.1. (9.1) ... 105
9.2. (9.2) ... 107
9.3. (9.3) ... 108
9.4. (9.4) ... 108
9.5. (9.5) ... 112
9.6. (9.6) ... 114
9.7. (9.7) ... 114
9.8. (9.8) ... 121
9.9. (9.9) ... 123
9.10. (9.10) ... 124
9.11. (9.11) ... 126
9.12. (9.12) ... 128
9.13. (9.13) ... 129
9.14. (9.14) ... 130
9.15. (9.15) ... 136
9.16. (9.16) ... 136
9.17. (9.17) ... 138
9.18. (9.18) ... 140
9.19. (9.19) ... 140
9.20. (9.20) ... 140
9.21. (9.21) ... 140
9.22. (9.22) ... 147
9.23. (9.23) ... 148
9.24. (9.24) ... 149
9.25. (9.25) ... 152
9.26. (9.26) ... 152
9.27. (9.27) ... 153
9.28. (9.28) ... 155
9.29. (9.29) ... 156
10.1. (10.1) ... 157
10.2. (10.2) ... 157
10.3. (10.3) ... 158
10.4. (10.4) ... 160
10.5. (10.5) ... 160
10.6. (10.6) ... 161
10.7. (10.7) ... 163
10.8. (10.8) ... 163
10.9. (10.9) ... 164
10.10. (10.10) ... 164
10.11. (10.11) ... 165
10.12. (10.12) ... 165
10.13. (10.13) ... 166
10.14. (10.14) ... 167
10.15. (10.15) ... 168
10.16. (10.16) ... 169
10.17. (10.17) ... 169
10.18. (10.18) ... 169
10.19. (10.19) ... 171
10.20. (10.20) ... 171
10.21. (10.21) ... 171
10.22. (10.22) ... 172
10.23. (10.23) ... 172
10.24. (10.24) ... 172
10.25. (10.25) ... 175
10.26. (10.26) ... 175
10.27. (10.27) ... 175
10.28. (10.28) ... 175
10.29. (10.29) ... 175
10.30. (10.30) ... 175
10.31. (10.31) ... 175
10.32. (10.32) ... 176
10.33. (10.33) ... 176
10.34. (10.34) ... 176
10.35. (10.35) ... 176
10.36. (10.36) ... 176
10.37. (10.37) ... 176
10.38. (10.38) ... 177
10.39. (10.39) ... 177
10.40. (10.40) ... 178
10.41. (10.41) ... 178
Valós analízis I-II.
10.42. (10.42) ... 178
10.43. (10.43) ... 179
10.44. (10.44) ... 179
10.45. (10.45) ... 180
10.46. (10.46) ... 180
10.47. (10.47) ... 181
10.48. (10.48) ... 182
10.49. (10.49) ... 182
10.50. (10.50) ... 186
10.51. (10.51) ... 186
10.52. (10.52) ... 186
10.53. (10.53) ... 190
10.54. (10.54) ... 190
10.55. (10.55) ... 190
10.56. (10.56) ... 190
10.57. (10.57) ... 191
10.58. (10.58) ... 191
10.59. (10.59) ... 191
10.60. (10.60) ... 192
10.61. (10.61) ... 192
10.62. (10.62) ... 194
10.63. (10.63) ... 195
10.64. (10.64) ... 196
10.65. (10.65) ... 196
10.66. (10.66) ... 196
11.1. (11.1) ... 197
11.2. (11.2) ... 202
11.3. (11.3) ... 206
11.4. (11.4) ... 208
11.5. (11.5) ... 209
11.6. (11.6) ... 209
11.7. (11.7) ... 209
11.8. (11.8) ... 209
11.9. (11.9) ... 211
11.10. (11.10) ... 211
11.11. (11.11) ... 212
11.12. (11.12) ... 212
11.13. (11.13) ... 212
11.14. (11.14) ... 213
11.15. (11.15) ... 213
11.16. (11.16) ... 213
11.17. (11.17) ... 213
11.18. (11.18) ... 213
11.19. (11.19) ... 214
11.20. (11.20) ... 214
11.21. (11.21) ... 215
11.22. (11.22) ... 217
11.23. (11.23) ... 217
11.24. (11.24) ... 218
11.25. (11.25) ... 218
11.26. (11.26) ... 218
11.27. (11.27) ... 218
11.28. (11.28) ... 219
11.29. (11.29) ... 219
11.30. (11.30) ... 219
11.31. (11.31) ... 228
11.32. (11.32) ... 236
11.33. (11.33) ... 237
11.34. (11.34) ... 237
11.35. (11.35) ... 240
11.36. (11.36) ... 240
11.37. (11.37) ... 240
11.38. (11.38) ... 241
11.39. (11.39) ... 242
11.40. (11.40) ... 245
12.1. (12.1) ... 247
12.2. (12.2) ... 247
12.3. (12.3) ... 247
12.4. (12.4) ... 247
12.5. (12.5) ... 248
12.6. (12.6) ... 248
12.7. (12.7) ... 250
12.8. (12.8) ... 250
12.9. (12.9) ... 251
12.10. (12.10) ... 251
12.11. (12.11) ... 251
12.12. (12.12) ... 251
12.13. (12.13) ... 252
12.14. (12.14) ... 252
12.15. (12.15) ... 252
12.16. (12.16) ... 253
12.17. (12.17) ... 253
12.18. (12.18) ... 254
12.19. (12.19) ... 254
12.20. (12.20) ... 254
12.21. (12.21) ... 255
12.22. (12.22) ... 255
12.23. (12.23) ... 255
12.24. (12.24) ... 255
12.25. (12.25) ... 255
12.26. (12.26) ... 256
12.27. (12.27) ... 256
12.28. (12.28) ... 257
12.29. (12.29) ... 258
12.30. (12.30) ... 259
12.31. (12.31) ... 261
12.32. (12.32) ... 266
12.33. (12.33) ... 267
12.34. (12.34) ... 269
12.35. (12.35) ... 271
12.36. (12.36) ... 271
12.37. (12.37) ... 273
12.38. (12.38) ... 273
12.39. (12.39) ... 273
12.40. (12.40) ... 274
12.41. (12.41) ... 274
12.42. (12.42) ... 276
12.43. (12.43) ... 279
12.44. (12.44) ... 280
12.45. (12.45) ... 280
12.46. (12.46) ... 280
12.47. (12.47) ... 280
12.48. (12.48) ... 280
12.49. (12.49) ... 280
12.50. (12.50) ... 281
13.1. (13.1) ... 284
13.2. (13.2) ... 284
13.3. (13.3) ... 289
13.4. (13.4) ... 289
13.5. (13.5) ... 289
Valós analízis I-II.
13.6. (13.6) ... 290
13.7. (13.7) ... 293
13.8. (13.8) ... 294
13.9. (13.9) ... 294
13.10. (13.10) ... 296
13.11. (13.11) ... 296
13.12. (13.12) ... 297
13.13. (13.13) ... 297
13.14. (13.14) ... 298
13.15. (13.15) ... 298
13.16. (13.16) ... 298
13.17. (13.17) ... 299
13.18. (13.18) ... 300
13.19. (13.19) ... 303
13.20. (13.20) ... 306
13.21. (13.21) ... 306
13.22. (13.22) ... 307
13.23. (13.23) ... 307
13.24. (13.24) ... 308
13.25. (13.25) ... 308
13.26. (13.26) ... 312
13.27. (13.27) ... 313
13.28. (13.28) ... 313
13.29. (13.29) ... 314
13.30. (13.30) ... 314
13.31. (13.31) ... 314
13.32. (13.32) ... 314
13.33. (13.33) ... 315
14.1. (14.1) ... 321
14.2. (14.2) ... 321
14.3. (14.3) ... 323
14.4. (14.4) ... 323
14.5. (14.5) ... 325
14.6. (14.6) ... 326
14.7. (14.7) ... 326
14.8. (14.8) ... 326
14.9. (14.9) ... 326
14.10. (14.10) ... 327
14.11. (14.11) ... 327
14.12. (14.12) ... 328
14.13. (14.13) ... 328
14.14. (14.14) ... 328
14.15. (14.15) ... 330
14.16. (14.16) ... 331
14.17. (14.17) ... 332
14.18. (14.18) ... 333
14.19. (14.19) ... 334
14.20. (14.20) ... 334
14.21. (14.21) ... 336
14.22. (14.22) ... 337
14.23. (14.23) ... 337
14.24. (14.24) ... 338
14.25. (14.25) ... 343
14.26. (14.26) ... 343
14.27. (14.27) ... 345
14.28. (14.28) ... 345
14.29. (14.29) ... 346
14.30. (14.30) ... 346
14.31. (14.31) ... 346
14.32. (14.32) ... 346
15.1. (15.1) ... 349
15.2. (15.2) ... 349
15.3. (15.3) ... 349
15.4. (15.4) ... 353
15.5. (15.5) ... 353
15.6. (15.6) ... 353
15.7. (15.7) ... 354
15.8. (15.8) ... 355
15.9. (15.9) ... 356
15.10. (15.10) ... 357
15.11. (15.11) ... 358
15.12. (15.12) ... 358
15.13. (15.13) ... 359
15.14. (15.14) ... 366
15.15. (15.15) ... 367
15.16. (15.16) ... 367
15.17. (15.17) ... 367
15.18. (15.18) ... 367
15.19. (15.19) ... 367
15.20. (15.20) ... 368
15.21. (15.21) ... 370
15.22. (15.22) ... 371
15.23. (15.23) ... 372
15.24. (15.24) ... 372
15.25. (15.25) ... 373
15.26. (15.26) ... 376
15.27. (15.27) ... 378
16.1. (16.1) ... 381
16.2. (16.2) ... 382
17.1. (17.1) ... 387
17.2. (17.2) ... 387
17.3. (17-3) ... 388
17.4. (17.4) ... 389
17.5. (17.5) ... 389
17.6. (17.6) ... 390
17.7. (17.7) ... 390
17.8. (17.8) ... 390
17.9. (17.9) ... 391
17.10. (17.10) ... 392
18.1. (18.1) ... 395
18.2. (18.2) ... 395
18.3. (18.3) ... 395
18.4. (18.4) ... 397
18.5. (18.5) ... 399
18.6. (18.6) ... 400
18.7. (18.7) ... 403
18.8. (18.8) ... 411
18.9. (18.9) ... 411
18.10. (18.10) ... 412
18.11. (18.11) ... 412
18.12. (18.12) ... 412
18.13. (18.13) ... 412
18.14. (18.14) ... 412
18.15. (18.15) ... 413
19.1. (19.1) ... 418
19.2. (19.2) ... 420
19.3. (19.3) ... 423
19.4. (19.4) ... 423
19.5. (19.5) ... 425
19.6. (19.6) ... 425
Valós analízis I-II.
19.7. (19.7) ... 425
19.8. (19.8) ... 426
19.9. (19.9) ... 427
19.10. (19.10) ... 427
19.11. (19.11) ... 427
19.12. (19.12) ... 434
19.13. (19.13) ... 439
19.14. (19.14) ... 439
20.1. (20.1) ... 454
20.2. (20.2) ... 455
20.3. (20.3) ... 455
20.4. (20.4) ... 456
20.5. (20.5) ... 464
20.6. (20.6) ... 477
21.1. (21.1) ... 493
21.2. (21.2) ... 493
21.3. (21.3) ... 493
21.4. (21.4) ... 494
21.5. (21.5) ... 502
21.6. (21.6) ... 508
21.7. (21.7) ... 509
21.8. (21.8) ... 511
21.9. (21.9) ... 512
21.10. (21.10) ... 517
21.11. (21.11) ... 518
21.12. (21.12) ... 519
21.13. (21.13) ... 521
21.14. (21.14) ... 521
21.15. (21.15) ... 522
21.16. (21.16) ... 522
21.17. (21.17) ... 530
21.18. (21.18) ... 530
21.19. (21.19) ... 531
21.20. (21.20) ... 531
21.21. (21.21) ... 534
21.22. (21.22) ... 535
21.23. (21.23) ... 535
21.24. (21.24) ... 535
21.25. (21.25) ... 535
21.26. (21.26) ... 535
21.27. (21.27) ... 536
21.28. (21.28) ... 537
21.29. (21.29) ... 537
21.30. (21.30) ... 537
21.31. (21.31) ... 537
21.32. (21.32) ... 538
21.33. (21.33) ... 538
21.34. (21.34) ... 538
21.35. (21.35) ... 539
21.36. (21.36) ... 540
21.37. (21.37) ... 540
21.38. (21.38) ... 541
22.1. (22.1) ... 548
22.2. (22.2) ... 550
22.3. (22.3) ... 550
22.4. (22.4) ... 550
22.5. (22.5) ... 553
22.6. (22.6) ... 553
22.7. (22.7) ... 553
22.8. (22.8) ... 554
22.9. (22.9) ... 554
22.10. (22.10) ... 557
22.11. (22.11) ... 564
22.12. (22.12) ... 567
22.13. (22.13) ... 568
22.14. (22.14) ... 568
22.15. (22.15) ... 568
23.1. (23.1) ... 572
23.2. (23.2) ... 575
23.3. (23.3) ... 582
23.4. (23.4) ... 585
23.5. (23.5) ... 586
23.6. (23.6) ... 590
24.1. (24.1) ... 595
24.2. (24.2) ... 595
24.3. (24.3) ... 598
24.4. (24.4) ... 600
24.5. (24.5) ... 602
24.6. (24.6) ... 604
24.7. (24.7) ... 604
24.8. (24.8) ... 605
24.9. (24.9) ... 605
24.10. (24.10) ... 606
24.11. (24.11) ... 606
24.12. (24.12) ... 607
24.13. (24.13) ... 607
24.14. (24.14) ... 608
24.15. (24.15) ... 609
24.16. (24.16) ... 609
24.17. (24.17) ... 610
24.18. (24.18) ... 610
24.19. (24.19) ... 612
24.20. (24.20) ... 613
24.21. (24.21) ... 613
24.22. (24.22) ... 613
24.23. (24.23) ... 613
24.24. (24.24) ... 614
24.25. (24.25) ... 614
24.26. (24.26) ... 614
24.27. (24.27) ... 615
24.28. (24.28) ... 615
24.29. (24.29) ... 615
24.30. (24.30) ... 616
24.31. (24.31) ... 616
24.32. (24.32) ... 616
25.1. (25.1) ... 619
25.2. (25.2) ... 619
25.3. (25.3) ... 620
25.4. (25.4) ... 623
25.5. (25.5) ... 624
25.6. (25.6) ... 627
25.7. (25.7) ... 627
25.8. (25.8) ... 629
25.9. (25.9) ... 630
25.10. (25.10) ... 632
25.11. (25.11) ... 632
25.12. (25.12) ... 632
25.13. (25.13) ... 637
25.14. (25.14) ... 637
25.15. (25.15) ... 640
Valós analízis I-II.
25.16. (25.16) ... 641
25.17. (25.17) ... 642
25.18. (25.18) ... 643
25.19. (25.20) ... 646
25.20. (25.21) ... 646
25.21. (25.22) ... 646
25.22. (25.23) ... 648
25.23. (25.24) ... 648
25.24. (25.25) ... 649
25.25. (25.26) ... 649
25.26. (25.27) ... 649
25.27. (25.28) ... 649
25.28. (25.29) ... 650
25.29. (25.30) ... 650
25.30. (25.31) ... 650
25.31. (25.32) ... 652
25.32. (25.33) ... 652
26.1. (26.1) ... 655
26.2. (26.2) ... 655
26.3. (26.3) ... 655
26.4. (26.4) ... 656
26.5. (26.5) ... 659
26.6. (26.6) ... 660
26.7. (26.7) ... 660
26.8. (26.8) ... 661
26.9. (26.9) ... 661
26.10. (26.10) ... 661
26.11. (26.11) ... 664
26.12. (26.12) ... 670
26.13. (26.13) ... 672
26.14. (26.14) ... 673
26.15. (26.15) ... 674
26.16. (26.16) ... 675
26.17. (26.17) ... 676
26.18. (26.18) ... 676
26.19. (26.19) ... 676
26.20. (26.20) ... 676
26.21. (26.21) ... 677
26.22. (26.22) ... 677
27.1. (27.1) ... 679
27.2. (27.2) ... 679
27.3. (27.3) ... 681
27.4. (27.4) ... 684
27.5. (27.5) ... 692
27.6. (27.6) ... 692
27.7. (27.7) ... 693
27.8. (27.8) ... 694
27.9. (27.9) ... 696
27.10. (27.10) ... 697
27.11. (27.11) ... 699
27.12. (27.12) ... 699
27.13. (27.13) ... 699
27.14. (27.14) ... 701
27.15. (27.15) ... 701
27.16. (27.16) ... 701
27.17. (27.17) ... 703
27.18. (27.18) ... 704
27.19. (27.19) ... 708
27.20. (27.20) ... 709
27.21. (27.21) ... 710
27.22. (27.22) ... 710
27.23. (27.23) ... 711
27.24. (27.24) ... 711
27.25. (27.25) ... 712
27.26. (27.26) ... 712
27.27. (27.27) ... 713
27.28. (27.28) ... 713
27.29. (27.29) ... 713
27.30. (27.30) ... 713
27.31. (27.31) ... 713
27.32. (27.32) ... 714
27.33. (27.33) ... 715
27.34. (27.34) ... 718
27.35. (27.35) ... 720
27.36. (27.36) ... 720
27.37. (27.37) ... 720
27.38. (27.38) ... 720
27.39. (27.39) ... 724
27.40. (27.40) ... 724
27.41. (27.41) ... 724
27.42. (27.42) ... 724
27.43. (27.43) ... 725
27.44. (27.44) ... 725
27.45. (27.45) ... 726
27.46. (27.46) ... 726
27.47. (27.47) ... 726
27.48. (27.48) ... 727
27.49. (27.49) ... 727
27.50. (27.50) ... 727
27.51. (27.51) ... 728
27.52. (27.52) ... 728
27.53. (27.53) ... 728
27.54. (27.54) ... 729
27.55. (27.55) ... 729
27.56. (27.56) ... 729
27.57. (27.57) ... 729
27.58. (27.58) ... 729
27.59. (27.59) ... 730
27.60. (27.60) ... 730
27.61. (27.61) ... 730
27.62. (27.62) ... 732
27.63. (27.63) ... 732
27.64. (27.64) ... 732
27.65. (27.65) ... 735
27.66. (27.66) ... 735
27.67. (27.67) ... 737
27.68. (27.68) ... 737
28.1. (28.1) ... 739
28.2. (28.2) ... 739
28.3. (28.3) ... 739
28.4. (28.4) ... 739
28.5. (28.5) ... 740
28.6. (28.6) ... 740
28.7. (28.7) ... 740
28.8. (28.8) ... 740
28.9. (28.9) ... 741
28.10. (28.10) ... 741
28.11. (28.11) ... 741
28.12. (28.12) ... 741
28.13. (28.13) ... 741
Valós analízis I-II.
28.14. (28.14) ... 742
28.15. (28.15) ... 743
28.16. (28.16) ... 743
28.17. (28.17) ... 743
28.18. (28.18) ... 743
28.19. (28.19) ... 744
28.20. (28.20) ... 744
28.21. (28.21) ... 744
28.22. (28.22) ... 744
28.23. (28.23) ... 745
28.24. (28.24) ... 746
28.25. (28.25) ... 747
28.26. (28.26) ... 747
28.27. (28.27) ... 748
28.28. (28.28) ... 748
28.29. (28.29) ... 749
28.30. (28.30) ... 749
28.31. (28.31) ... 750
28.32. (28.32) ... 750
28.33. (28.33) ... 750
28.34. (28.34) ... 750
28.35. (28.35) ... 750
28.36. (28.36) ... 751
28.37. (28.37) ... 751
28.38. (28.38) ... 752
28.39. (28.39) ... 752
28.40. (28.40) ... 754
28.41. (28.41) ... 754
28.42. (28.42) ... 754
28.43. (28.43) ... 755
28.44. (28.44) ... 755
28.45. (28.45) ... 755
28.46. (28.46) ... 757
28.47. (28.47) ... 759
28.48. (28.48) ... 759
28.49. (28.49) ... 761
28.50. (28.50) ... 761
28.51. (28.51) ... 761
28.52. (28.52) ... 762
28.53. (28.53) ... 762
28.54. (28.54) ... 762
28.55. (28.55) ... 763
28.56. (28.56) ... 763
28.57. (28.57) ... 763
28.58. (28.58) ... 764
28.59. (28.59) ... 764
28.60. (28.60) ... 764
28.61. (28.61) ... 766
28.62. (28.62) ... 774
28.63. (28.63) ... 774
28.64. (28.64) ... 775
28.65. (28.65) ... 776
28.66. (28.66) ... 776
28.67. (28.67) ... 776
28.68. (28.68) ... 778
28.69. (28.69) ... 780
28.70. (28.70) ... 782
28.71. (28.71) ... 782
28.72. (28.72) ... 784
29.1. (29.1) ... 790
29.2. (29.2) ... 791
29.3. (29.3) ... 794
29.4. (29.4) ... 798
29.5. (29.5) ... 799
29.6. (29.6) ... 800
I. rész - Valós analízis I.
Tartalom
Előszó ... vi Rövid történeti bevezetés ... viii 1. 1. Alapfogalmak ... 18 1. Néhány szó a matematikáról általában ... 18 2. Logikai alapfogalmak ... 18 3. Bizonyítási módszerek ... 20 4. Halmazok, függvények, sorozatok ... 25 2. 2. Valós számok ... 30 1. I. Testaxiómák ... 31 2. II. Rendezési axiómák ... 31 3. III. Az arkhimédészi axióma ... 32 4. IV. A Cantor-axióma ... 34 5. Tizedestörtek. A számegyenes ... 37 6. Korlátos számhalmazok ... 40 7. Hatványozás ... 44 8. Első függelék: A testaxiómák következményei ... 46 9. Második függelék: A rendezési axiómák következményei ... 47 3. 3. Végtelen számsorozatok (I.) ... 49 1. Feladatok ... 50 2. Konvergens és divergens számsorozatok ... 50 3. Végtelenhez tartó sorozatok ... 53 4. A határérték egyértelműsége ... 55 5. Néhány konkrét sorozat határértéke ... 57 4. 4. Végtelen számsorozatok (II.) ... 59 1. A határérték alaptulajdonságai ... 59 2. Határérték és egyenlőtlenségek ... 61 3. Határérték és műveletek ... 62 4. Alkalmazások ... 67 5. 5. Végtelen számsorozatok (III.) ... 70 1. Monoton sorozatok ... 70 2. A Bolzano–Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium ... 74 6. 6. Végtelen sorok (I.) ... 79 7. 7. Megszámlálható halmazok ... 87 8. 8. Valós változós, valós értékű függvények ... 92 1. Függvények és grafikonok ... 92 2. Valós függvények globális tulajdonságai ... 96 3. Függelék: A koordinátageometria alapfogalmai ... 103 9. 9. Függvények folytonossága és határértéke ... 105 1. ... 108 2. Függvény határértéke ... 109 3. Az átviteli elv ... 120 4. Határérték és műveletek ... 125 5. Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények ... 132 6. Egyenletes folytonosság ... 138 7. Monotonitás és folytonosság ... 142 8. Konvexitás és folytonosság ... 147 9. A függvénygrafikon ívhossza ... 151 10. Függelék: A 9.80. Tétel bizonyítása ... 155 10. 10. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények) ... 157 1. Polinomfüggvények és racionális törtfüggvények ... 157 2. Exponenciális függvények és hatványfüggvények ... 159 3. Logaritmusfüggvények ... 168 4. Trigonometrikus függvények ... 173 5. A trigonometrikus függvények inverzei ... 183 6. A hiperbolikus függvények és inverzeik ... 187 7. Első függelék: Az addíciós képletek bizonyítása ... 194
8. Második függelék: Néhány szó a komplex számokról ... 195 11. 11. Differenciálszámítás ... 197 1. A differenciálhatóság fogalma ... 197 2. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai ... 204 3. Magasabb rendű differenciálhányadosok ... 216 4. A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata ... 220 5. Középértéktételek ... 231 6. A differenciálható függvények vizsgálata ... 235 12. 12. A differenciálszámítás alkalmazásai ... 247 1. A L’Hospital-szabály ... 247 2. Polinomapproximáció ... 249 3. A határozatlan integrál ... 260 4. Differenciálegyenletek ... 266 5. A láncgörbe ... 273 6. A deriváltfüggvények tulajdonságai ... 276 7. Első függelék: A 12.20. Tétel bizonyítása ... 279 8. Második függelék: Még egyszer a trigonometrikus függvények értelmezéséről ... 281 13. 13. A határozott integrál ... 283 1. A határozott integrál fogalmára vezető problémák ... 283 2. A határozott integrál (Riemann-integrál) értelmezése ... 287 3. Az integrálhatóság szükséges és elégséges feltételei ... 293 4. A folytonos és a monoton függvények integrálhatósága ... 302 5. Integrálhatóság és műveletek ... 305 6. Függvények integrálhatóságára és az integrál értékére vonatkozó további tételek ... 307 7. Az integrál értékére vonatkozó egyenlőtlenségek ... 312 14. 14. Integrálszámítás ... 319 1. Az integrálás és a differenciálás kapcsolata ... 319 2. A parciális integrálás szabálya ... 325 3. A helyettesítéses integrálás ... 330 4. Az elemi függvények integrálása ... 333 5. Elemi függvények nem elemi integrállal ... 341 6. Függelék: A határozott integrálokra vonatkozó integráltranszformációs formula (14.22. Tétel) bizonyítása ... 344 15. 15. Az integrálszámítás alkalmazásai ... 348 1. A terület és térfogat általános fogalma ... 349 2. Területszámítás ... 352 3. Térfogatszámítás ... 358 4. Ívhossz-számítás ... 361 5. Polárkoordináták ... 371 6. A forgási felületek felszíne ... 375 16. 16. Korlátos változású függvények ... 380 17. 17. A Stieltjes-integrál ... 386 18. 18. Az improprius integrál ... 395 1. Az improprius integrál értelmezése és kiszámítása ... 395 2. Az improprius integrálok konvergenciája ... 405 3. Függelék: A 18.13. Tétel bizonyítása ... 411 19. 19. Megoldási ötletek, megoldások ... 414 1. Megoldási ötletek ... 414 1.1. 1. Fejezet ... 414 1.2. 2. Fejezet ... 414 1.3. 3. Fejezet ... 414 1.4. 4. Fejezet ... 415 1.5. 5. Fejezet ... 415 1.6. 6. Fejezet ... 415 1.7. 7. Fejezet ... 415 1.8. 8. Fejezet ... 416 1.9. 9. Fejezet ... 416 1.10. 10. Fejezet ... 417 1.11. 11. Fejezet ... 417 1.12. 12. Fejezet ... 418
Valós analízis I.
1.13. 13. Fejezet ... 418 1.14. 14. Fejezet ... 419 1.15. 15. Fejezet ... 419 1.16. 16. Fejezet ... 420 1.17. 17. Fejezet ... 421 1.18. 18. Fejezet ... 421 2. Megoldások ... 422 2.1. 1. Fejezet ... 422 2.2. 2. Fejezet ... 422 2.3. 3. Fejezet ... 423 2.4. 4. Fejezet ... 424 2.5. 5. Fejezet ... 424 2.6. 6. Fejezet ... 424 2.7. 8. Fejezet ... 425 2.8. 9. Fejezet ... 425 2.9. 10. Fejezet ... 427 2.10. 11. Fejezet ... 428 2.11. 12. Fejezet ... 430 2.12. 13. Fejezet ... 431 2.13. 14. Fejezet ... 432 2.14. 15. Fejezet ... 432 2.15. 16. Fejezet ... 434 2.16. 17. Fejezet ... 435 2.17. 18. Fejezet ... 436 20. 20. Függelék: Számítástechnika és analízis ... 441 1. 20.1. Bevezetés a Függelékhez ... 441 1.1. Angol vagy magyar? ... 441 1.2. Milyen matematikai programcsomagokat használjunk? ... 443 1.3. A BASIC, illetve a PASCAL beszerzése ... 444 1.4. Melyik programnyelvet használjuk? ... 444 1.5. Mikor használjunk MAPLE-t, mikor BASIC, mikor PASCAL programot? ... 444 1.6. A kötelező óvatosság ... 445 2. 20.2 BASIC programok: Kezdőlépések ... 446 2.1. Rövid összefoglaló a BASIC-ről ... 446 3. 20.3 Kedvcsináló BASIC programokhoz ... 447 3.1. 20.3.1 Sorozatok szemléltetése, határértéke ... 447 3.2. 20.3.2 Egy rekurzió határértéke ... 448 3.3. 20.3.3 Függvények ábrázolása ... 448 4. 20.4 Mit tud a BASIC? ... 450 4.1. határértéke ... 450 4.2. 20.4.1 Sorösszegzéssel kapcsolatos programok ... 452 4.3. 20.4.2 Rekurziók: A Newton-algoritmus ... 453 4.4. 20.4.3 Rekurzió közelítésére ... 454 4.5. 20.4.4 Stirling-formula ... 455 4.6. 20.4.5 Függvények ábrázolása II. ... 456 4.7. 20.4.6 Görbeseregek ábrázolása ... 458 5. 20.5 Rövid kirándulás a Pascal programnyelvbe. ... 459 6. 20.6 MAPLE: Első lépések ... 461 6.1. A HELP ... 461 6.2. Input-Output formátum ... 461 6.3. 20.6.1 Szimbolikus számolások, algebrai műveletek ... 462 6.4. 20.6.2 Határérték, konvergenciasebesség és a MAPLE ... 463 6.5. 20.6.3 Függvényábrázolás a MAPLE segítségével I ... 463 6.6. 20.6.4 Konvergenciasebesség II. ... 465 6.7. 20.6.5 Rajzolás, függvényábrázolás MAPLE-lel II ... 466 6.8. 20.6.6 Paraméteres görbe kirajzolása ... 470 6.9. 20.6.7 Differenciálás ... 470 6.10. 20.6.8 Racionális törtfüggvények ... 471 6.11. 20.6.9 A MAPLE, függvényábrázolás és az egyenlőtlenségek ... 472 6.12. 20.6.10 Polinomközelítés (lokális) ... 473
7. 20.7 MAPLE és a „komolyabb” kérdések ... 474 7.1. Határozatlan integrál, primitív függvény ... 474 7.2. 20.7.2 Még mit érdemes tudnunk a MAPLE-ről? Kiegészítés és ismétlés ... 475 7.3. 20.7.3 Implicitplot ... 475 7.4. 20.7.4 Plot3d ... 476 8. 20.8 Mit tud még a MAPLE? ... 477 8.1. 20.8.1 Lehet-e MAPLE-ben programokat írni? ... 477 8.2. 20.8.2 Globális polinomközelítés ... 477 8.3. 20.8.3 A Lagrange interpoláció ... 479 8.4. 20.8.4 Differenciálegyenletek megoldása ... 480
Előszó
Az analízis nélkülözhetetlen alapját képezi mind a matematika egészének, mind pedig a természettudományoknak, sőt egyre inkább a társadalomtudományoknak is. Az analízis elméletét (a differenciál- és integrálszámítást) éppen az az igény hozta létre, hogy – Galilei meglátását követve – a világegyetemet a matematika nyelvén írhassuk le. A precíz elmélet kidolgozása csaknem 300 évet vett igénybe, elsősorban a határérték és a folytonosság lényegét megragadó alapfogalmak kialakítása miatt. E fogalmak elsajátítása általában komoly nehézségekkel járhat; ez is oka annak, hogy az analízis a középiskolai anyagban alig szerepel.
Ugyanakkor a felsőoktatásban, mindazokon a szakokon, ahol a matematika része a tantervnek – így az egyetemek különböző irányú (egy- vagy többszakos, alkalmazott stb.) matematika tanári és matematikus képzéseiben –, az analízis alapozó tárgyként, illetve törzsanyagként jelenik meg. Könyvünket elsősorban a fenti szakok bevezető analízis tankönyvének szánjuk. Ezen felül, elképzelésünk szerint a könyv mindazokon a szakokon is hasznos lehet, amelyeken az analízis a tanterv szerves része, így a műszaki és közgazdasági egyetemeken, illetve a főiskolákon. A könyv megírásában felhasználtuk mindazokat a tapasztalatokat, amelyeket az ELTE-n több évtizeden át tartott előadásaink során gyűjtöttünk.
Nagy súlyt helyeztünk az analízis alapjainak tárgyalására: mielőtt rátérnénk a tulajdonképpeni analízis témájára, összefoglaljuk mindazt, amire az elmélet épül (logikai alapok, halmazok, valós számok), bár ezek egy része ismerős lehet a középiskolai tanulmányokból. Meggyőződésünk, hogy a szilárd alapokra nemcsak azoknak van szükségük, akik az analízis magasabb fejezeteit akarják elsajátítani, de azoknak is, akik alkalmazzák, és nem utolsósorban azoknak, akik az analízist – bármilyen szinten – tanítani fogják.
Az analízis centrális fogalmai a határérték, a folytonosság, a differenciálhányados és az integrál. Elsődleges célunk volt ezeknek a fogalmaknak a fokozatos, a szemléletre is támaszkodó kialakítása. A rájuk épülő elmélet tárgyalásában igyekeztünk szem előtt tartani és minél gyakrabban bemutatni a lehetséges alkalmazásokat, arra is figyelve, hogy e nehéz anyag megértését és elsajátítását a lehető legjobban elősegítsük. Többek között ezért sem követtük az absztrakt vagy általános (topológiai alapú, illetve többváltozós) felépítést.
A tárgyalt anyag egyes fejezetei lehetőséget adnak mélyebb és nehezebb eredmények bemutatására, amelyek nemegyszer átvezetnek a matematika egyéb területeire (differenciálgeometria, topológia, mértékelmélet stb.).
Hangsúlyozni szeretnénk, hogy az itt tárgyalt – klasszikus, zömében több mint 100 éves – eredmények is inspirálnak ma is intenzíven kutatott, számos nyitott kérdést tartalmazó témaköröket. A könyv jellegéből adódóan ennek bemutatására nem vállalkozhattunk, csupán egy-két megoldatlan probléma említésére szorítkoztunk.
Az anyag alapos elsajátítása csak sok, különböző szintű feladat megoldásával lehetséges. Könyvünkben több mint 500 feladatot tűztünk ki, de ezek között viszonylag kevés az ún. gyakorló- vagy típusfeladat. Ilyenek számos példatárban megtalálhatók (lásd például [9]), ezért nem tekintettük célunknak nagy számú gyakorlófeladat kitűzését. Azonban fontosnak láttuk a gondolkodtató, a fogalmak, eredmények, módszerek mélyebb megértését segítő feladatok szerepeltését. Ezek között jó néhány nehezebb, invenciót igénylő feladat is van, amelyeket ( ) jelöl. A feladatok egy részéhez megoldási ötleteket, illetve teljes megoldásokat is adunk: ezt (Ö), illetve (M) jelekkel jelöljük.
E könyv előzményeihez tartoznak T. Sós Vera Analízis című egyetemi jegyzete, amely több, mint 30 éven át került kiadásra, valamint Laczkovich Miklós analízis tárgyú előadásainak jegyzetei. Ez a könyv, amely Analízis I–II. címmel 2005-ben és 2007-ben a Nemzeti Tankönyvkiadónál megjelent könyv átdolgozott, bővített kiadása, természetesen számos vonatkozásban eltér a forrásaitól mind anyagában, mind pedig felépítésében.
A könyv jóval nagyobb anyagot tárgyal annál, mint ami a legtöbb tanterv számára feltétlenül szükséges, és a könyvben olyan témakörök is szerepelnek, amelyek eddig magyar nyelven csak korlátozott mértékben voltak hozzáférhetők. A 2005-ben, illetve 2007-ben megjelent könyv az elmúlt években az ELTE többféle képzésében szolgált tankönyvként. Az átdolgozott kiadásban figyelembe vettük az oktatásban összegyűjtött tapasztalatokat is.
A számítógépek elterjedése lehetőséget teremtett arra, hogy az analízis fogalmainak elsajátításához a számítógépet és a számítógépes grafikát is igénybe vehessük.
A könyv függeléke, amely Simonovits Miklós munkája, a számítástechnika analízisbeli alkalmazásaiból nyújt ízelítőt anélkül, hogy előzetes számítástechnikai ismeretekre támaszkodna. Itt példákat láthatunk egyes analízisbeli jelenségek (pl. függvények és sorozatok viselkedésének) illusztrálására, illetve az ezekkel való kísérletezésre. Köszönet illeti Gémes Margitot a függelék gondos lektorálásáért.
Szomorú kötelességünk megemlékezni a 2008-ban elhunyt Elekes Györgyről, aki a könyvünk előzményét képező 2005-ben és 2007-ben megjelent két kötet lektora volt. Amint azt e kötetek előszavában írtuk, Elekes György mindenre kiterjedő figyelme, lelkes, odaadó és hozzáértő munkája felbecsülhetetlen segítséget nyújtott számunkra.
Köszönetet mondunk Fried Katalinnak, a könyv tördelőjének és az ábrák készítőjének azért az áldozatos és nagyszerű munkáért, amellyel a könyv elkészítéséhez hozzájárult.
A szerzők 2012. április 21.
Rövid történeti bevezetés
A matematikai analízis problémaköréhez tartozó kérdések az i. e. V. században bukkantak fel, amikor a görög matematikusok különböző görbevonalú idomokat kezdtek vizsgálni. A kör négyszögesítésének problémája (vagyis az egységsugarú körrel azonos területű négyzet szerkesztése csupán körző és vonalzó használatával) a század második felében már népszerű volt, és Hippiasz már ekkor felfedezte a quadratrix nevű görbét a probléma egy megoldási kísérleteként. Ugyancsak az i. e. V. század második felében működött Hippokratész, aki számos görbevonalú idom területét meghatározta („Hippokratész holdacskái”).
Ami azonban a matematikai analízis alapgondolatát és módszerét illeti, vagyis hogy a keresett mennyiségeket tetszőleges pontossággal való megközelítések segítségével határozzuk meg, ennek a felfedezése Eudoxosz (i. e.
408–355) nevéhez fűződik. Eudoxosz az egész matematikatörténet egyik legeredetibb alakja volt.
Felfedezéseinek jelentőségét a görög matematikusok azonnal felismerték és azokat nagy becsben tartották;
Euklidész (i. e. 300 körül) az Elemek [3] egy teljes könyvét (az ötödiket) Eudoxosz arányelméletének szenteli.
Eudoxosz alkotta meg a kimerítés módszerét is, és ennek segítségével bizonyította be, hogy a gúla térfogata az azonos magasságú hasáb térfogatának egyharmada. E tétel bizonyításában a nehézséget annak megmutatása jelenti, hogy azonos magasságú, háromszög alapú gúlák térfogata úgy aránylik egymáshoz, mint az alapok területe. Erre alkalmazta Eudoxosz a kimerítés módszerét; ezt a gyönyörű bizonyítást elolvashatjuk az Elemek XII. könyvének 5. tételében.
A kimerítés módszerének alapja az a megállapítás, hogy ha egy mennyiségből elvesszük legalább a felét, a maradékból ismét elvesszük legalább a felét és ezt az eljárást folytatjuk, akkor előbb-utóbb bármely, előre megadott mennyiségnél kisebb mennyiséget kapunk. Ennek a megállapításnak egy variánsát ma arkhimédészi axiómának nevezzük, bár maga Arkhimédész elismeri A gömbről és a hengerről című könyvében, hogy korábbi matematikusok is megfogalmazták már (és a fenti alakban Euklidésznél is szerepel a X. könyv első tételeként).
Az Elemek XII. könyvében Euklidész a kimerítés módszerének tucatnyi alkalmazását adja. Érdemes felidézni az első alkalmazást, amely szerint két kör területe úgy aránylik egymáshoz, mint az átmérők fölé emelt négyzetek területe. A bizonyításhoz felhasználjuk, hogy két hasonló sokszög területe úgy aránylik egymáshoz, mint a megfelelő oldalak négyzete (ezt Euklidész természetesen precízen bebizonyítja a korábbi könyvekben).
Tekintsünk egy kört. A körbe írt négyzet a kör területének több, mint a felét tartalmazza, hiszen egyenlő a kör köré írt négyzet felével. A körbe írt szabályos nyolcszög a kör maradék területének több, mint a felét tartalmazza (lásd a 0.1. ábrát). Valóban, a nyolcszög négy egyenlő szárú háromszöggel nagyobb a négyzetnél, és mindegyik egyenlő szárú háromszög nagyobb, mint a megfelelő körszelet fele, hiszen olyan téglalapba foglalható, amely tartalmazza a körszeletet, és amelynek a területe a háromszög területének kétszerese.
Ugyanígy adódik, hogy a körbe írt szabályos tizenhatszög a kör nyolcszögön kívüli részének több, mint a felét tartalmazza és így tovább. A fenti megállapítás (vagyis az „arkhimédészi axióma”) szerint ebből következik, hogy a körbe beírhatunk olyan sokszöget, amelynek a területe a kör területét egy tetszőleges, előre megadott mennyiségnél jobban megközelíti.
0.1. ábra
A bizonyítás befejezését egyszerűbb a mai jelöléseinkkel elmondani. Tekintsünk két kört, -et és -t, és jelöljük -vel, illetve -vel a kör területét, illetve átmérőjét ( ). Azt kell belátnunk, hogy . Tegyük fel, hogy ez nem igaz. Ekkor vagy nagyobb, vagy kisebb -nél. Elég a esetet tekinteni, hiszen a másik esetben , tehát a két kör felcserélésével az előző
esethez jutunk. Mármost, ha , akkor a
mennyiség pozitív. Írjunk -be olyan sokszöget, amely területét jobban megközelíti, mint . Ha a -be írt és -hez hasonló sokszög , akkor és területének aránya egyenlő a megfelelő oldalak négyzeteinek arányával, ami egyenlő -tel (Euklidész ezt is precízen belátja). Ha területe ( ), akkor tehát
ami ellentmondás.
Rövid történeti bevezetés
A fenti tételt ma úgy fogalmaznánk, hogy a kör területe az átmérő négyzetének konstansszorosa. Ezt a konstanst Arkhimédész határozta meg. Körmérés című művében bebizonyítja, hogy a kör területe egyenlő annak a derékszögű háromszögnek a területével, amelynek egyik befogója a kör sugara, másik befogója pedig a kör kerülete. Mai jelöléseinkkel (és a fenti tétel birtokában) ez természetesen nem más, mint az formula, ahol
az egység sugarú kör kerületének a fele.
0.2. ábra
Arkhimédész (i. e. 287–212) minden idők egyik legnagyobb, de az ókornak minden bizonnyal a legnagyobb matematikusa volt. Bár munkásságának nagyobb része elveszett, így is hatalmas művet hagyott hátra.
A műveiben többek között kiszámította különböző görbevonalú idomok (pl. a parabolaszelet) területét, meghatározta a gömb felszínét és térfogatát, bizonyos spirálok ívhosszúságát, vizsgálta a forgási paraboloidokat és hiperboloidokat. Arkhimédész is a kimerítés módszerét alkalmazta, de bizonyos megfontolásokban ezt kiegészítette azzal, hogy a vizsgált alakzatot nemcsak belülről, hanem kívülről is megközelítette. Lássuk, hogyan határozta meg Arkhimédész ezt a módszert követve a parabola alatti területet! Ismét a modern jelöléseket fogjuk használni.
Az ábrán látható parabola -be eső része alatti területnek (bármely és esetén) az -edik intervallumba eső (satírozott) darabja alulról, illetve felülről becsülhető egy-egy téglalappal, ahonnan – az 1.5.(b) feladat [24] felhasználásával –
Következésképpen
1. egyenlet - (0.1)
Ez a becslés semmilyen konkrét -re nem ad pontos értéket -re. Azonban az összes -re teljesülő végtelen sok becslés együtt már azt mutatja, hogy a terület nem lehet más, mint .
Valóban, ha volna, azaz , akkor esetén (0.1) nem teljesülhetne. Nem
marad más lehetőség, mint , tehát .
Arkhimédész műve nagyon sokáig nem talált méltó folytatásra. Ennek számos oka lehetett: a megfelelő jelölésrendszer hiánya, a geometriában rögzült szemléletmód, vagy az ókori matematikusok érdeklődésének az az irányultsága, amely idegenkedett a végtelennel és a mozgással kapcsolatos problémáktól. Ezért vagy sem, de az analízis mint széles körben alkalmazható általános módszer, mint tudományág csak akkor született meg, amikor a XVII. századi európai matematikusok célul tűzték ki a mozgás és általában a változás jelenségeinek matematikai leírását. Ezt a leírást olyan problémák megoldása tette szükségessé, melyeket a gyakorlati élet és a fizika szolgáltatott. Néhány példa:
• Határozzuk meg a szabadon eső test sebességét és gyorsulását.
• Írjuk le az elhajított test pályáját. Állapítsuk meg, hogy a test milyen magasra repül és hol esik le.
• Egyéb fizikai folyamatok leírása, pl. egy kihűlő test hőmérsékletének meghatározása. Ha ismerjük a hőmérsékletet két adott időpontban, ki tudjuk-e ebből számítani minden más időpontban?
• Érintőszerkesztési feladatok. Hogyan kell a parabola érintőjét megszerkeszteni egy adott pontban?
• Mi a felfüggesztett lánc alakja?
• Szélsőérték-problémák. Melyik a gömbbe írható maximális térfogatú henger? Két adott pont között melyik az időben legrövidebb út, ha a sebesség a hely függvényében változik? (Az utóbbi kérdést a fénytörés vizsgálata motiválta.)
• Egyenletek közelítő megoldása.
• Hatványok (pl. ) és a trigonometrikus függvények értékeinek (pl. ) közelítő kiszámítása.
Kiderült, hogy ezek a kérdések szorosan összefüggnek a térfogat-, terület- és ívhossz-számítási problémákkal, melyeket szintén a gyakorlati élet vetett fel. Végül is e problémák megoldására a XVII. századi matematikusok kidolgoztak egy elméletet, az ún. kalkulust vagy mai szóval differenciálszámítást, amelynek három összetevője volt.
Az első összetevő a koordináta-rendszer, amelyet a hagyomány szerint René Descartes (1596–1650) fedezett fel, holott már Apollóniosz (i. e. 262–190) is használta, amikor leírta a kúpszeleteket. De valóban Descartes mutatott rá először, hogy a koordináta-rendszer segítségével geometriai problémák algebraiakká fogalmazhatók át.
Rövid történeti bevezetés
0.3. ábra
Tekintsük például a parabolát. Ez definíció szerint azon pontok halmaza, amelyek egy adott ponttól és egy adott egyenestől azonos távolságra helyezkednek el. Ez a merőben geometriai meghatározás a koordináta-rendszer segítségével igen egyszerű algebrai feltétellé alakítható. Legyen ui. az adott pont , az adott egyenes pedig az egyenletű vízszintes egyenes, ahol egy rögzített pozitív szám. Az pontnak -től való távolsága , az adott egyenestől vett távolsága pedig . Az pont tehát akkor és
csak akkor van a parabolán, ha . Ebből négyzetre emeléssel azt kapjuk, hogy
amiből egyszerű átrendezéssel , illetve adódik. Ezzel megkaptuk a parabola egyenletét, egy algebrai feltételt, ami pontosan leírja a parabola pontjait: az pont akkor és csak akkor van a
parabolán, ha .
A kalkulus második összetevője a változó mennyiség fogalma volt. A XVII. századi matematikusok elképzelése szerint a fizikai jelenségekben szereplő mennyiségek az időtől folytonosan függő változók, amelyeknek az értékei pillanatról pillanatra változnak. Ezt az elképzelést a geometriai problémákra is kivetítették. Így minden görbét úgy képzeltek el, mint egy folytonosan mozgó pont pályáját, és így a pont koordinátái szintén az időtől függő változó mennyiségek. Ezen elképzelés az egyenletet nem úgy értelmezi, hogy ebben függ
-től, hanem úgy, hogy mind a ketten függenek az időtől, amint az pont végigfut a parabolán.
A kalkulus harmadik és egyben legfontosabb összetevője a változó mennyiségek differenciálja volt. Ennek az az intuitív kép a lényege, amely szerint minden változás „végtelenül kicsiny” változások összegeződéséből
keletkezik. Így maga az idő is végtelenül kicsiny időintervallumokból tevődik össze. Az változó mennyiség differenciálja az a végtelenül kicsiny mennyiség, amennyivel megváltozik egy végtelenül kicsiny időintervallum elteltével. Az differenciálját -szel jelöljük. Ekkor tehát értéke egy végtelenül kicsiny időintervallum eltelte után -re változik.
Hogyan működött a kalkulus? Ezt néhány egyszerű példával illusztráljuk.
A szélsőérték-feladatok megoldásának az volt a kulcsa, hogy ha az változó mennyiség egy pillanatban eléri a legnagyobb értékét, akkor ott . (Hiszen amikor egy elhajított test eléri pályájának a legmagasabb pontját, akkor ott „egy pillanatig” vízszintesen repül. Ha tehát a test koordinátájának szélsőértéke van, akkor ott
.)
Határozzuk meg a kalkulus segítségével legnagyobb értékét! Legyen . Ekkor a maximumnál . Mármost nem más, mint megváltozása, midőn értéke -re változik. Ebből
Itt az utolsó lépésben a tagot „elhanyagolták”, azaz egyszerűen elhagyták azon megfontolás alapján, hogy a mennyiség „végtelenül kisebb”, mint a számolásban szereplő összes többi mennyiség. Így a
feltétel azt adja, hogy , vagyis -vel való osztás után , azaz . A kalkulus művelői ezzel megmutatni vélték, hogy a kifejezés -nél veszi fel a legnagyobb értékét.
0.4. ábra
Rövid történeti bevezetés
Most lássunk egy érintőszerkesztési feladatot. Az érintési pontban az érintő és a görbe iránya megegyezik.
A görbe irányát egy adott pontban úgy számíthatjuk ki, hogy a pontot összekötjük a görbe egy
„végtelenül közeli” pontjával, és vesszük az így kapott egyenesnek (ami nem más, mint az érintő) a meredekségét. Egy végtelenül kicsiny időintervallum eltelte után az koordináta -re, az koordináta pedig -ra változik. Az pont tehát a görbe egy olyan pontja, amely „végtelenül közel” van
-hoz. Az és pontokat összekötő egyenes meredeksége
Ez két differenciál hányadosa, azaz differenciálhányados. Azt kaptuk, hogy egy görbe pontjában húzott érintő meredeksége nem más, mint a differenciálhányados. Ennek kiszámítása nagyon egyszerű.
Vegyük például az egyenletű parabolát. Mivel az pont is a parabolán fekszik, az egyenletből azt kapjuk, hogy
ahol a tagot ismét „elhanyagoltuk”. Ebből azt kapjuk, hogy , tehát az egyenletű parabolához az pontban húzott érintő meredeksége . Mármost tekintsük a parabola pontját.
Az érintő meredeksége itt , tehát az érintő egyenlete
Ez az egyenes az tengelyt az pontban metszi. A parabola pontbeli érintőjét tehát úgy szerkeszthetjük meg – vonták le a következtetést a XVII. századi matematikusok –, hogy az pontot összekötjük az adott ponttal.
Végül tekintsük a már tárgyalt területszámítási feladatot. Vegyük ismét az egyenletű parabolát, és számítsuk ki annak az idomnak a területét, amelyet az tengely szakasza, a parabolának az origót és az pontokat összekötő íve, valamint az és pontokat összekötő szakasz határol. Jelöljük -vel a kérdéses területet; ekkor maga is egy változó mennyiség. Egy végtelenül kicsiny időintervallum eltelte után értéke -re változik, az idom tehát egy végtelenül keskeny, szélességű és magasságú
„téglalappal” lesz nagyobb. A terület megváltozása tehát .
Keressünk egy olyan változó mennyiséget, amelynek a differenciálja éppen Az előbb láttuk, hogy
. Egy hasonló számolás azt adja, hogy . Így a választás megfelel,
azaz . Az ismeretlen mennyiségnek és -nek tehát ugyanaz a differenciálja: . Ez azt
jelenti, hogy , vagyis nem változik, azaz konstans. Ha , akkor és
mindketten nullával egyenlők, a konstans tehát nulla, vagyis . Ezzel – vélték a kalkulus hívei – megmutattuk, hogy az idom területe . (Ez az esetben Arkhimédész fenti tételét adja.) Láthatjuk, hogy a kalkulus igen hatékony módszer, és sok különböző jellegű probléma megoldására alkalmas.
A kalkulust mint önálló rendszert nagy matematikusok sora (Barrow, Cavalieri, Fermat, Kepler és sokan mások) fejlesztették ki, majd Isaac Newton (1643–1727) és G. W. Leibniz (1646–1716) foglalták össze. A XVII.
századi matematikusok rávetették magukat a módszerre, és ontották az eredményeket. Így a század végére már megérett az idő egy nagyszabású összefoglaló monográfia megírására. Ez L’Hospital (1661–1704) Infinitézimál- számítás (azaz a végtelen kicsiny mennyiségekkel való számolás) című műve volt (1696), amely csaknem 100 évig a téma legfontosabb tankönyve maradt.
A kalkulust kezdettől fogva sok kritika és támadás érte – tegyük hozzá, hogy teljes joggal. A módszer logikai tisztasága nagyon is vitatható volt, mert homályos fogalmakkal dolgozott, és a gondolatmenetei néha zavarosak voltak. Az ókor nagy matematikusai minden bizonnyal borzadva utasították volna el ezeket az okoskodásokat.
A fent vázolt, első pillantásra meggyőzőnek tűnő „bizonyítások” is nagyon sok tisztázandó kérdést vetnek fel, amelyek megválaszolása nélkül a kapott eredmények valódisága kérdéses marad. Mert mit is jelent az, hogy végtelenül kicsiny mennyiség? Végül is egy ilyen mennyiség nulla vagy sem? Ha nulla, akkor nem oszthatunk
vele a differenciálhányadosban. Ha viszont nem nulla, akkor a számolásokban nem hanyagolhatjuk el.
Egy ilyen ellentmondás megengedhetetlen egy matematikai fogalom esetében. A szélsőértékek kiszámításának módszere sem világos. Ha el is fogadjuk, hogy a szélsőérték helyén a differenciál nulla (bár ennek az indoklása sem tökéletesen meggyőző), nekünk valójában az állítás megfordítására volna szükségünk: ha a differenciál
nulla, akkor szélsőérték van. Ez azonban nem mindig igaz. Hiszen ha , pedig -
nek nincs szélsőértéke -ban.
A kalkulussal szemben megfogalmazott kritikában fontos szerepet játszottak a végtelen sorokkal kapcsolatos ellentmondások. Az, hogy végtelen sok szám összegzése (vagy általában a végtelen fogalma) problematikus lehet már Zénón1 számára világos volt. Ezt Zénón az Akhilleuszról és a teknősbékáról szóló híres paradoxon segítségével mutatta be. Eszerint bármennyire gyorsabban is fut Akhilleusz a teknősbékánál, azt sosem érheti utol, ha a teknősbékának előnyt ad. Ugyanis Akhilleusznak időre van szüksége ahhoz, hogy elérje azt a pontot, ahonnan a teknősbéka indul. De amíg odaér, a teknősbéka már előbbre jut egy újabb pontra. Akhilleusznak ismét időre van szüksége ahhoz, hogy elérje ezt a pontot, mialatt a teknősbéka megint csak egy újabb ponthoz ér, és így tovább. Tehát Akhilleusz sosem éri utol a teknősbékát.
Persze mindnyájan tudjuk, hogy valójában Akhilleusz utoléri a teknősbékát, és könnyen ki is számíthatjuk, hogy ez mikor következik be. Tegyük fel, hogy Akhilleusz métert fut másodpercenként, míg a teknősbéka métert mászik ugyanennyi idő alatt. (A számolás egyszerűsítése érdekében egy különlegesen gyors teknősbékát állítunk ki Akhilleusz ellen.) Ha a teknősbéka méter előnnyel indul, akkor másodperc elteltével Akhilleusz méternyire, a teknősbéka pedig méternyire lesz a kezdőponttól. A egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy másodperc múlva Akhilleusz utoléri a teknősbékát.
Mindezt Zénón is tudta; ő csak azt akarta kimutatni, hogy a végtelen sok összetevőből álló mozgás gondolati megragadása lehetetlen és ellentmondásokra vezet. Zénón gondolatmenetét számokban kifejezve úgy okoskodhatunk, hogy Akhilleusznak először meg kell tennie métert, hogy elérje a teknősbéka indulási pontját:
ezt másodperc alatt teszi meg. Ezalatt a teknősbéka métert tesz meg. Ezt Akhilleusznak is meg kell tennie, és ehhez másodpercre van szüksége. Ezalatt a teknősbéka métert tesz meg, amelyet Akhilleusz másodperc alatt tesz meg és így tovább. Végül is Akhilleusznak végtelen sok távot kell
megtennie, és ehhez összesen másodpercre van szüksége. Azt kaptuk
tehát, hogy
2. egyenlet - (0.2)
Ezzel Zénón paradoxonát tulajdonképpen arra a kérdésre vezettük vissza, hogy végtelen sok szakaszt egymás mellé illesztve kaphatunk-e korlátos szakaszt, vagy másképpen fogalmazva, hogy végtelen sok szám összege lehet-e véges?
Ha egy végtelen sor tagjai mértani sorozatot képeznek, akkor az összegét egyszerű számtani műveletek segítségével is meghatározhatjuk – legalábbis látszólag. Tekintsük az sort, ahol egy
tetszőleges valós szám. Ha , akkor
amiből esetén az
3. egyenlet - (0.3)
összefüggés adódik. Ha (0.3)-ba -et helyettesítünk és mindkét oldalból kivonunk -et, akkor
megkapjuk (0.2)-t. Az speciális esetben pedig az összefüggést kapjuk, amely
az alábbi ábra alapján is azonnal látható.
1Zénón (i.e. 333–262) görög filozófus
