Rövid történeti bevezetés
2. A Bolzano–Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium
6Idevonatkozó számítástechnikai elemzést találunk a 20.4.2. alfejezetben.
7Idevonatkozó számítástechnikai elemzést találunk a 20. alfejezetben a 24. feladatban [0].
intervallumokat. Ezek mindegyikében a sorozatnak csak véges sok tagja van, és a sorozat minden tagja benne van a -k valamelyikében. Ha tehát monoton növekedő sorrendben felsoroljuk a -beli tagokat, utánuk a -beli tagokat és így tovább, akkor megkapjuk a sorozat szigorúan monoton növő sorozattá való átrendezését.
Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy ha egy sorozat konvergens és a tagjai kisebbek a határértékénél (de nem feltétlenül különbözőek), akkor átrendezhető (nem feltétlenül szigorúan) monoton növő sorozattá.
A következő, kombinatorikus jellegű tétel önmagában is érdekes, de főleg a konzekvenciái miatt fontos.
5.8. Tétel. Minden sorozatnak van monoton részsorozata.
Bizonyítás. Az tagot az sorozat csúcselemének nevezzük, ha minden -ra . Két esetet különböztetünk meg.
I. Az sorozatnak végtelen sok csúcseleme van. Ebben az esetben a csúcselemek egy monoton csökkenő sorozatot alkotnak.
II. Az sorozatnak csak véges sok csúcseleme van. Ekkor van olyan , hogy esetén nem csúcselem. Mivel nem csúcselem, ezért a csúcselemek definíciója szerint létezik olyan index, amelyre . Mivel sem csúcselem, ezért létezik olyan , hogy és így tovább.
Ezzel egy olyan végtelen indexsorozatot kaptunk, amelyre
Tehát ebben az esetben a sorozatnak van (szigorúan) monoton növekedő részsorozata.
Egy alapvető fontosságú tétel következik.
5.9. Tétel. (Bolzano–Weierstrass-tétel)8. Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
Bizonyítás. Ha a sorozat korlátos, akkor minden részsorozata is korlátos. Ezért az előbbi tételből következik, hogy minden korlátos sorozatnak van monoton korlátos részsorozata. Az 5.2. Tételből pedig következik, hogy ez konvergens.
Az 5.8. Tételt a következővel egészíthetjük ki.
5.10. Tétel. Ha egy sorozat nem korlátos felülről, akkor van -hez tartó monoton részsorozata; ha alulról nem korlátos, akkor van -hez tartó monoton részsorozata.
Bizonyítás. Ha felülről nem korlátos, akkor van olyan , amelyre . Ugyancsak a felülről nem korlátosság alapján találhatunk olyan indexet, amelyre
Ekkor szükségképpen . Az eljárást folytatva találunk olyan indexeket, amelyekre teljesül, hogy
minden -ra. Ekkor , , és . Tehát az így konstruált
részsorozat monoton növőleg -hez divergál. A tétel második állítása ugyanígy bizonyítható.
Mivel minden monoton sorozatnak van határértéke, ezért az 5.8. Tétel szerint minden sorozatnak van határértékkel rendelkező részsorozata. A következő tételekben megmutatjuk, hogy a határértékkel rendelkező részsorozatok meghatározzák a teljes sorozat konvergenciaviselkedését.
8Bernhard Bolzano (1781–1848) olasz-német és Karl Weierstrass (1815–1897) német matematikusok
5. Végtelen számsorozatok (III.)
5.11. Tétel. Ha az sorozat minden, határértékkel rendelkező részsorozata -hez tart (ahol lehet véges vagy végtelen), akkor is -hez tart.
Bizonyítás. Legyen először , és legyen adott. Belátjuk, hogy a sorozatnak csak véges sok -nál kisebb tagja lehet. Tegyük fel, hogy ez nem igaz, és legyenek mind kisebbek -nál. Amint láttuk, az sorozatnak van határértékkel rendelkező részsorozata. Ez azonban nem tarthat végtelenhez (hiszen minden tagja kisebb -nál), ami lehetetlen. Ezzel beláttuk, hogy . Ugyanígy okoskodhatunk, ha
.
Most tegyük fel, hogy véges, és legyen adott. Belátjuk, hogy a sorozatnak csak véges sok tagja lehet a intarvallumon kívül. Tegyük fel, hogy ez nem igaz, és legyenek olyan tagok, amelyek nem esnek -ba. Amint láttuk, az sorozatnak van határértékkel rendelkező részsorozata. Ez azonban nem tarthat -hez (hiszen egyetlen tagja sincs -ban), ami lehetetlen.
Ezzel beláttuk, hogy .
A 4.2. Tétel szerint az előző tétel állítása megfordítható: ha , akkor minden, határértékkel rendelkező részsorozata -hez tart, hiszen valójában minden részsorozatának van határértéke, mégpedig
. A 4.2. és 5.11. Tételekből azonnal adódik az alábbi fontos következmény.
5.12. Tétel. Egy sorozat akkor és csak akkor oszcillálva divergens, ha van két, különböző (véges vagy végtelen) határértékhez tartó részsorozata.
A következő tétel – az ún. Cauchy-kritérium9 – szükséges és elégséges feltételt ad arra, hogy egy sorozat konvergens legyen. A tétel alapvető jelentőségű, mert lehetőséget ad a konvergencia eldöntésére anélkül, hogy a határértéket ismernénk. A feltételben ugyanis a sorozat elemeinek egymástól való eltérése szerepel a határértéktől való eltérés helyett. minden -re, amiből világos, hogy a sorozat korlátos.
A Bolzano–Weierstrass-tétel szerint ebből következik, hogy -nek van konvergens részsorozata. Legyen . Bebizonyítjuk, hogy konvergens és -hez tart. Erre két bizonyítást is adunk.
I. Legyen adott. Ekkor létezik úgy, hogy esetén . Másrészt a feltételből
Legyen adott. A feltétel szerint van olyan , hogy esetén . Mármost
és , így vannak olyan és indexek, melyekre és
. Ebből
Mivel tetszőleges volt, ezért .
A Cauchy-kritérium állítását (pongyolán, de szemléletesen) úgy is megfogalmazhatjuk, hogy egy sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha a nagy indexű tagjai közel vannak egymáshoz. Fontos megjegyezni, hogy egy sorozat konvergenciájához szükséges, de nem elegendő, ha csupán a nagy indexű és szomszédos tagok vannak közel egymáshoz. Precízebben: az feltétel szükséges, de nem elégséges ahhoz, hogy
konvergens legyen. Valóban, ha , akkor . Másrészt (3.2) alapján
, de a sorozat nem konvergens, hanem végtelenhez tart. Olyan sorozat is létezik, amelyre , de a sorozat oszcillálva divergens (lásd a 3.23. feladatot [57]).
5.14. Megjegyzés. A valós számok bevezetésének kapcsán említettük a különböző konstruktív felépítések lehetőségét, azaz olyan struktúrák konstrukcióját, amelyek kielégítik a valós számok axiómarendszerét. A Cauchy-kritérium segítségével most röviden vázolunk egy ilyen struktúrát, felhasználva a racionális számok létezését és tulajdonságait. A rövidség kedvéért egy sorozatot Cauchy-sorozatnak fogunk nevezni, ha kielégíti a Cauchy-kritérium feltételét, azaz, ha minden -hoz van olyan , hogy minden
-re.
Nevezzük a racionális számokból álló Cauchy-sorozatokat C-számoknak. Az és C-számokat akkor tekintjük egyenlőeknek, ha , azaz, ha minden -hoz van olyan , hogy
minden -re.
Az így definiált C-számok között az összeadás és szorzás műveleteit az és képletekkel definiáljuk. (A definíció jogosságát persze ellenőrizni kell.) A konstrukcióban és szerepét és játssza, ahol és a konstans , illetve a konstans sorozat.
Meg lehet mutatani, hogy az így definiált struktúra kielégíti a testaxiómákat.
A kisebb relációt a következőképpen értelmezzük: , ha (azaz ) és van
olyan , hogy minden -re. Be lehet bizonyítani, hogy ezzel a rendezéssel egy olyan struktúrát definiálunk, amely kielégíti a valós számok axiómarendszerét.
2.1. Feladatok
5.11. Bizonyítsuk be, hogy ha az sorozatnak nincs konvergens részsorozata, akkor .
5.12. Lehetséges-e, hogy -nek nincs konvergens részsorozata, de konvergens?
5.13. Bizonyítsuk be, hogy ha korlátos és minden konvergens részsorozata -hez tart, akkor .
5.14. Bizonyítsuk be, hogy ha az sorozatnak nincs két, különböző határértékhez tartó konvergens részsorozata, akkor -nek vagy van határértéke, vagy pedig felbontható két részsorozat egyesítésére, melyek közül az egyik konvergens, a másiknak az abszolút értéke pedig végtelenhez tart.
5.15. Tegyük fel a test- és rendezési axiómákat és a Bolzano–Weierstrass-tételt. Vezessük le ezekből az arkhimédészi és a Cantor-axiómát. ( M)
5.16. Bizonyítsuk be, hogy ha egy sorozatnak végtelen sok -nál kisebb és végtelen sok -nál nagyobb tagja van, akkor az sorozat nem rendezhető monoton sorozattá.
5.17. Mi a pontos feltétele annak, hogy egy sorozat átrendezhető legyen monoton növő sorozattá? (Ö)
5. Végtelen számsorozatok (III.)
5.18. Bizonyítsuk be, hogy minden konvergens sorozat felbomlik legfeljebb három (véges vagy végtelen) részsorozatra, amelyek mindegyike monoton sorozattá rendezhető.
5.19. Bizonyítsuk be, hogy ha minden -re, akkor konvergens.
5.20. Tegyük fel, hogy . Következik-e ebből, hogy ? 5.21. Adjunk példákat arra, hogy és
a. (M);
b. ;
c. ;
d. egy előre megadott, pozitív egészekből álló tetszőleges sorozatra . (M)
5.22. Adjunk példát olyan sorozatra, amelyre minden -re, de nem tart -hoz. ( Ö)
5.23. Igaz-e, hogy az alábbi állítások ekvivalensek?
a. , illetve
b. valahányszor pozitív egészek, melyekre és , akkor . (Ö)