Rövid történeti bevezetés
2. Egy egyszerű fejtörő azt kérdezi, hogy ha egy tégla súlya kiló és egy fél tégla, akkor milyen nehéz a tégla?
Mivel a fél tégla súlya kiló és egy negyed tégla, a negyed tégla súlya kiló és egy nyolcad tégla és így
tovább, ezért a tégla súlya . Másrészt az tégla kiló tégla
egyenlet mindkét oldalából fél téglát kivonva azt kapjuk, hogy a fél tégla kiló. Így a tégla kiló, azaz
A Rövid történeti bevezetésben több példát láttunk arra, hogy végtelen sorok összegeinek kiszámításakor néha különös vagy ellentmondásos eredményeket kaphatunk (lásd pl. a (0.4) és (0.5) összefüggéseket). Könnyen beláthatjuk, hogy ezek a furcsa eredmények egy hibás elképzelésből származnak. Ezekben a levezetésekben feltettük ugyanis, hogy minden végtelen sornak van egy jól meghatározott, „eleve elrendelt” összege. Ez azért hibás, mert csak az axiómarendszerben szereplő alapfogalmak adottak és „eleve elrendeltek” (miután elfogadtuk őket), minden más fogalmat nekünk kell megalkotnunk. Le kell mondanunk arról az elképzelésről, hogy minden végtelen sornak van összege: nekünk kell eldöntenünk, hogy mely végtelen sorok rendelkezzenek összeggel, és mi legyen ezeknek az összege. A megalkotandó fogalomnak persze eleget kell tennie bizonyos elvárásoknak, és tükröznie kell azt a szemléletes képet, amely – esetleg – a fogalomról bennünk él.
A végtelen összegek fogalmának megalkotásához induljunk ki a véges összegekből. Már a többtagú összegek sem „eleve elrendeltek”, hiszen az axiómarendszer alapfogalmai között csak a kéttagú összeg szerepel. Az -tagú összegeket úgy definiáltuk, hogy az összeget zárójelekkel láttuk el (lásd a 2. Fejezet első függelékét), ami egyszerűbben megfogalmazva annyit jelent, hogy egy -tagú összeget összeadás után kapunk meg.
Kézenfekvő, hogy az végtelen összeget is az egymás után kapott ún. részletösszegek segítségével definiáljuk1.
Könnyű ellenőrizni (és a 6.3. Példában hamarosan látni fogjuk), hogy a sor
részletösszegei -höz tartanak, a részletösszegei pedig -hoz. Mindkét
eredményről érezzük, hogy a helyes összeget adja; a második nem más, mint az szám tizedestört-alakja.
Másfelől a problematikus sor részletösszegei nem tartanak -hez, a sor
részletösszegei pedig nem tartanak sehová, hanem oszcillálva divergens sorozatot képeznek. Mindezek alapján természetesen adódik a következő definíció.
A formulákat egyszerűsítendő a többtagú összegekre bevezetjük a következő jelölést:
.
Az végtelen sor alternatív jelöléseként pedig a kifejezést fogjuk használni.
6.1. Definíció. A végtelen sor részletösszegein az ( ) számokat értjük. Ha a részletösszegekből képzett sorozat konvergens és a határértéke ; azaz, ha
, akkor azt mondjuk, hogy a végtelen sor konvergens, és az összege .
1Ez a hozzáállás nem úgy tekint a végtelen összegre, mint amelynek az értékét egy csapásra „készen kapjuk”, hanem ami „folyamatában keletkezik”. Filozófiai értelemben tehát a sor végtelenségét nem „aktuális végtelennek”, hanem „potenciális végtelennek” fogjuk fel.
számsorozatot” – legtöbbször azzal a szándékkal, hogy az részletösszegeket vizsgáljuk2.
A mi számunkra a állítás csupán annak a rövidítése, hogy .
6.3. Példák.
1. Az sor -edik részletösszege . Mivel
, ezért a sor konvergens, és az összege .
2. A sor -edik részletösszege
Mivel , ezért a sor konvergens, és az összege .
3. Az sor -edik részletösszege . Mivel , ezért a sor divergens (és az
összege ).
4. Az sor -adik részletösszege nulla, -adik részletösszege pedig minden -re. Mivel az sorozat oszcillálva divergens, ezért a sor divergens (és nincs összege).
5. Az
6.1. egyenlet - (6.1)
sor -adik részletösszege
Ha , akkor könnyen láthatóan
Ebből következik, hogy az sorozat kielégíti a Cauchy-kritériumot (5.13. Tétel), tehát konvergens. Ezzel megmutattuk, hogy a (6.1) sor konvergens. Később látni fogjuk, hogy a sor összege -nek alapú logaritmusával egyenlő (lásd a 11.92. feladatot [245] és a 12.16. Megjegyzést).
A fenti második példa speciális esete a következő állításnak, amely szerint a tizedestörteket konvergens végtelen soroknak is felfoghatjuk.
6.4. Tétel. Legyen az nemnegatív valós szám tizedestört-alakja . Ekkor az végtelen sor konvergens, és az összege .
Bizonyítás. A tizedestört-alak definíciója szerint
minden -re, tehát . Mármost az
2Vannak, akik a kifejezésen nem is értenek mást, mint magát az sorozatot. Mi nem követjük ezt a gyakorlatot, mert ekkor a kifejezés egy sorozatnak és egy számnak az egyenlőségét állítaná, ami nem volna szerencsés.
6. Végtelen sorok (I.)
végtelen sor -edik részletösszege, amiből a tétel állítása nyilvánvaló.
A 6.3.1. és 6.3.2. Példákban szereplő összegek a következő tétel speciális esetei.
6.5. Tétel. Az sor akkor és csak akkor konvergens, ha , és ekkor az összege .
Bizonyítás. Már láttuk, hogy az esetben a sor divergens, ezért feltehetjük, hogy . Ekkor a sor
-edik részletösszege . Ha , akkor és . A sor
tehát konvergens és az összege .
Ha , akkor , tehát a sor divergens (és az összege ). Ha viszont , akkor az sorozat oszcillálva divergens, ezért a sor is divergens (és nincs összege).
A konvergens sorok egy fontos tulajdonságát fogalmazza meg a következő tétel.
6.6. Tétel. Ha a sor konvergens, akkor .
Bizonyítás. Legyen a sor összege . Mivel
ezért .
6.7. Megjegyzés. A fenti tétel azt állítja, hogy sor konvergenciájához szükséges, hogy az
feltétel teljesüljön. Fontos megjegyeznünk, hogy ez a feltétel távolról sem elégséges, mert számos divergens sor létezik, amelyeknek a tagjai nullához tartanak. Egy egyszerű példa: a sor tagjai nullához tartanak a plim1.3. Példa [51] szerint. Másrészt a sor -edik részletösszege
ha , tehát a sor divergens.
További nevezetes példa olyan divergens sorra, amelynek a tagjai nullához tartanak a sor, amelyet harmonikus sornak nevezünk. (Az elnevezésnek az a forrása, hogy egy hullámhosszú hang felhangjainak a hullámhosszai ( )3. A sor tehát tartalmazza a hangot az összes felhangjával együtt, a felhangokat pedig több nyugati nyelven harmonikusoknak nevezik.)
6.8. Tétel. A sor divergens.
A tételre két bizonyítást adunk.
1. Ha a sor -edik részletösszege , akkor
minden -re. Tegyük fel, hogy a sor konvergens és az összege . Ekkor esetén , ami lehetetlen.
2. Ha ,
3Konkrétan rendre az oktáv, az oktáv és kvint, a második oktáv, a két oktáv és nagy terc, a két oktáv és kvint, a két oktáv és kis szeptim, valamint a harmadik oktáv hullámhosszai.
Így , tehát a sor divergens, és az összege .
6.9. Megjegyzés. Mivel a harmonikus sor az összes pozitív egész szám reciprokát tartalmazza, várható, hogy a sor viselkedésének számelméleti vonatkozásai is vannak. Ez valóban így van.
A harmonikus sor divergenciáját felhasználva új bizonyítást adhatunk arra, hogy végtelen sok prímszám létezik.
Tegyük fel ugyanis, hogy csak véges sok prím van, és legyenek ezek . Minden -re és -re fennállnak az
összefüggések. Ezeket összeszorozva azt kapjuk, hogy
6.2. egyenlet - (6.2)
minden -re. (Itt a jelölést használtuk.) Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor a kapott összegben minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelynek a prímtényezős felbontásában minden prím kitevője legfeljebb (hiszen az indirekt feltevés szerint nincs más prím -n kívül).
Nyilvánvaló, hogy -ig minden szám ilyen, tehát kisebb, mint (6.2) jobb oldala. Ez azonban
lehetetlen, hiszen , ha .
A fenti bizonyítás finomításával be lehet bizonyítani, hogy a prímszámok reciprokaiból álló végtelen sor divergens. Pontosabban az is igaz, hogy az -nél nem nagyobb prímek reciprok-összege nagyobb
-nél minden -re. (Lásd [5] 187. oldalát, illetve a 17.16. Következményt és a 17.17. Tételt).
A 6.8. Tétel második bizonyítása látszólag többet ad, mint az első, mert nem csak a sor divergenciáját mutatja meg, de azt is, hogy a sor összege végtelen. A következő egyszerű tétel szerint egy nemnegatív tagú és divergens sor összege mindig végtelen.
6.10. Tétel.
i. Egy nemnegatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha a részletösszegeinek sorozata (felülről) korlátos.
ii. Ha egy nemnegatív tagú sor divergens, akkor az összege végtelen.
Bizonyítás. Abból a feltételből, hogy a sor tagjai nemnegatívak nyilvánvalóan következik, hogy a sor részletösszegeinek sorozata monoton növő. Ha ez a sorozat felülről korlátos, akkor konvergens is az 5.2. Tétel szerint. Ekkor tehát a szóban forgó végtelen sor konvergens. Ha viszont a részletösszegek sorozata nem korlátos felülről, akkor az 5.3. Tétel szerint végtelenhez tart, és így a szóban forgó végtelen sor divergens és az összege végtelen.
Hangsúlyozzuk, hogy a fenti tétel szerint egy nemnegatív tagú sornak mindig van összege: ez egy véges szám (ha a sor konvergens), illetve végtelen (ha a sor divergens).
6.11. Példák. 1. A sor konvergens, mert az -edik részletösszege
6. Végtelen sorok (I.)
Ezzel azt is beláttuk, hogy .
A XVII. században és a XVIII. század elején sokan próbálták a sor összegét meghatározni. Végül Johann Bernoulli4 és Euler egymástól függetlenül felfedezték, hogy
Ennek a ténynek ma már több mint egy tucat bizonyítása ismert (lásd [20] és [21]). Egy viszonylag elemi bizonyítást ad a 10.36. feladat.
2. Az 1.7. (b) feladat szerint a sor részletösszegei kisebbek -nál. Így a sor konvergens, és az összege legfeljebb .
3. Általában, a alakú sorokat hiperharmonikus soroknak nevezzük. Nem nehéz belátni, hogy ha , akkor
6.3. egyenlet - (6.3)
minden -re (lásd a 6.5. feladatot [85]). Ebből következik, hogy a hiperharmonikus sor minden -re konvergens (lásd a 6.6. feladatot [85] is). E sor összegét -vel jelöljük. A (6.3) egyenlőtlenségből következik, hogy a sor mindegyik részletösszege kisebb -nél, és így minden
-re.
Johann Bernoulli és Euler tétele ezzel a jelöléssel úgy fogalmazható, hogy .
6.12. Megjegyzés. A sor példája egyike azoknak a ritka eseteknek, amikor a sor összegét pontosan meg tudjuk határozni. (Ilyenek még a 6.2. [85] és 6.3. feladatokban [85] szereplő sorok is.) Ezek azonban kivételeknek tekinthetők: egy véletlenszerűen felírt konvergens végtelen sor összegét általában nem tudjuk zárt alakban megadni. A összegre (vagyis értékére) csak néhány speciális esetén ismerünk formulát. Már láttuk, hogy . Bernoulli és Euler bebizonyították, hogy ha páros pozitív egész szám, akkor egyenlő egy racionális többszörösével (ezt mi is belátjuk majd a Fourier-sorok alkalmazásai között; lásd a II. kötet megfelelő fejezetét). Még ma sem tudjuk azonban, hogy ez akkor is igaz-e, ha páratlan egész szám. Sőt, stb. értékeire az elmúlt 300 évben semmilyen zárt alakot nem sikerült találni, és lehet, hogy ilyen alak nem is létezik.
A szám transzcendenciájából következik, hogy a számok irracionálisak minden pozitív egészre. A számról az 1970-es években bebizonyították, hogy szintén irracionális szám. Továbbra is megoldatlan azonban, hogy a stb. számok racionálisak-e vagy sem.
Az általános esetben a végtelen sorok konvergenciájának pontos feltételét a következő tétel adja meg.
6.13. Tétel. (Cauchy-kritérium). A végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha minden -hoz létezik egy index úgy, hogy minden -re
4Johann Bernoulli (1667–1748) svájci matematikus, Jacob Bernoulli testvére
Bizonyítás. Mivel , ezért az állítás nyilvánvaló a sorozatokra vonatkozó Cauchy-kritériumból (5.13. Tétel).
A végtelen sorok elméletét bővebben a II. kötetben fogjuk tárgyalni.
1. Feladatok
6.1. Adott -hoz adjunk meg olyan küszöbindexet, ahonnan kezdve az alábbi konvergens végtelen sorok részletösszegei -nál jobban megközelítik a sor összegét.
a. ;
b. ;
c. ;
d. .
6.2.
a.
b.
c. (Ö M)
6.3. Adjunk általános módszert azon sorok összegének meghatározására, amelyekben és
polinomok, , és , ahol különböző -nál kisebb
egészek. (Ö)
6.4. Konvergensek-e az alábbi sorok?
a. ;
b. ;
c. ;
d. .
6.5. Bizonyítsuk be a (6.3) egyenlőtlenséget minden -ra. (Ö M) 6.6. Mutassuk meg, hogy
minden -re és -ra. Vezessük le ebből, hogy a sor minden -re konvergens.
6.7. Bizonyítsuk be, hogy .
6.8. Legyen azoknak a pozitív egészeknek a felsorolása, amelyek tízes számrendszerben való felírásában nem szerepel a számjegy. Bizonyítsuk be, hogy konvergens. (Ö)
6.9. Legyen konvergens.
6.10. Legyen olyan sorozat, amelyre teljesül
6. Végtelen sorok (I.)
Következik-e ebből, hogy a sor konvergens? (Ö)
6.11. Legyen olyan sorozat, amelyre teljesül, hogy minden egészekből álló és pozitív sorozatra
Következik-e ebből, hogy a sor konvergens? (Ö)
6.12. Bizonyítsuk be, hogy ha minden -re, akkor a sor konvergens.
6.13. Tegyük fel, hogy minden -re. Bizonyítsuk be, hogy ha a és sorok konvergensek, akkor a sor is konvergens.
6.14. Bizonyítsuk be, hogy ha a sor konvergens, akkor