Rövid történeti bevezetés
1. Függvények és grafikonok
Tekintsünk egy függvényt. Amint azt korábban már tisztáztuk, ezen azt értjük, hogy az halmaz mindegyik eleméhez hozzá van rendelve egy elem, amelyet úgy jelölünk, hogy .
Az halmazt értelmezési tartományának nevezzük, melynek jelölése . Azon elemek halmazát, amelyek megfelelnek valamely -nak, értékkészletének nevezzük, és -fel jelöljük.
Tehát . Az halmaz része -nek, de általában nem kell, hogy egyenlő legyen
Ha egy-egyértelmű és , akkor azt mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelmű leképezést létesít és között. (Más szóval bijektív leképezés, bijekció.)
Bizonyítás. Az állítás nyilvánvaló az inverz függvény definíciójából.
A függvények körében többféle műveletet értelmezhetünk; ezek a műveletek függvények párjaihoz rendelnek függvényeket. Ilyen például a kompozíció művelete.
8.4. Definíció. Az és függvények összetételén vagy kompozícióján azt a -fel jelölt
függvényt értjük, amelyre és minden -ra. Ha és tetszőleges
hiszen különbözőek az értelmezési tartományaik. Sőt, könnyen beláthatjuk, hogy minden olyan -re, ahol mindkét oldal értelmes.
A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, amelyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt a valós számok egy-egy részhalmaza. Az ilyen függvényeket valós változós, valós értékű függvényeknek (röviden valós függvényeknek) nevezzük.
A valós értékű függvények körében értelmezhetjük az összeadás, kivonás, szorzás és osztás műveleteit is.
Legyenek és valós értékű függvények. Az összegfüggvényt és az különbségfüggvényt az
és képletekkel értelmezzük minden
pontra. Így .
Hasonlóan, az szorzatfüggvény értelmezési tartománya a halmaz, az értéke az
pontban pedig . Végül, az hányadosfüggvény értelmezése
minden olyan pontra, amelyre és . Tehát
.
A számsorozatokhoz hasonlóan a valós függvények megadása is többféle módon lehetséges. Tekintsük a következő példákat.
8.6. Példák.
1. ;
2. ;
3. ;
4. , ahol a alakot kizárjuk.
Az (1)-ben szereplő függvényt „képlettel” adtuk meg; a többiek esetében a hozzárendelést más módon határoztuk meg. Akárcsak a sorozatok esetében, a függvények meghatározásánál sem játszik szerepet, hogy milyen módon definiáljuk: a képlettel történő definíció sem nem jobb, sem nem rosszabb (legfeljebb rövidebb) a többinél.
A valós függvényeket a síkbeli Descartes-féle koordináta-rendszerben szemléltethetjük1. Legyen
egy valós függvény, ahol tehát és . Tekintsük az alakú pontokat az tengelyen, ahol . Minden ilyen pontban emeljünk merőlegest az tengelyre, és mérjük fel erre a merőlegesre az előjeles távolságot (tehát az tengelytől „felfelé”, ha és „lefelé”, ha .) Így az
pontokhoz jutunk, ahol . Ezen pontok halmazát nevezzük az függvény grafikonjának; jelölése . Tehát röviden:
8.1. egyenlet - (8.1)
8.7. Példák. Tekintsük a következő függvényeket.
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
1A koordinátageometria alapfogalmait röviden összefoglaljuk a fejezet függelékében.
8. Valós változós, valós értékű függvények
7. , ahol az -nél nem nagyobb egész számok közül a legnagyobbat jelöli;
8. , ahol ;
9.
10.
Lássuk az (1)–(10) függvények grafikonjait (8.1. ábra)!
8.1. ábra
A (9) függvény, amely immár másodszor szerepel, a későbbiekben is sokszor fog felbukkanni különböző jelenségek illusztrálásakor. Ezt a függvényt – felfedezőjéről – Dirichlet-függvénynek nevezzük2.
Megjegyezzük, hogy a függvények grafikonjának síkbeli szemléltetésére ugyanaz igaz, amit a számegyenessel kapcsolatban korábban mondtunk. A síkbeli ábrázolás előnye, hogy bizonyos állításokat könnyebben érthető és jobban áttekinthető formában kaphatunk meg, és a szemléltetés révén sokszor nyerünk bizonyítási ötleteket is.
De ismét hangsúlyozzuk, hogy az, amit a szemléltetésből adódóan „látunk”, nem tekinthető bizonyításnak; sőt, szemléletesen igaznak látszó állításokról kiderülhetnek, hogy hamisak. Mint már eddig is, a bizonyításokban csupán a valós számok axiómáira és az azokból már bizonyított tételekre támaszkodhatunk.
8.8. Megjegyzés. A figyelmes olvasónak feltűnhetett, hogy a függvények bevezetésekor nem jártunk el olyan szigorú kritikával, mint a halmaz fogalmának esetében. Ott megjegyeztük, hogy a halmazt összességként, osztályként, rendszerként leírva nem oldjuk meg a definíció problémáját, ezért a halmazt alapfogalomnak tekintjük. A függvények fogalmát a hozzárendelés fogalmára vezettük vissza, az utóbbit azonban nem defináltuk. Kézenfekvő ugyanazt a megoldást választani, mint a halmazok esetében, tehát a függvényt is alapfogalomként kezelni, amelynek a hozzárendelés és a leképezés csupán szinonimái.
Meg kell azonban jegyezni, hogy a függvény fogalmát vissza lehet vezetni a halmaz fogalmára. Ezt a grafikon fogalmának általánosításával tehetjük meg. A függvénygrafikon (8.1)-beli definícióját könnyen általánosíthatjuk tetszőleges halmazok közötti leképezésekre. Legyenek és tetszőleges halmazok. Az rendezett párok halmazát, ahol és , az és halmazok Descartes-szorzatának nevezzük, és -vel jelöljük. Tehát
Ha egy függvény, akkor grafikonját a (8.1) képlettel definiáljuk. A halmaz tehát az Descartes-szorzat részhalmaza. Így minden -ból -be képező függvényhez hozzárendeltük a
halmazt. Nyilvánvaló, hogy különböző függvények grafikonja különböző.
Világos, hogy a halmaz rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy tetszőleges
elemhez pontosan egy olyan elem van, amelyre , nevezetesen . Megfordítva, tegyük fel, hogy és minden elemhez pontosan egy olyan elem van, amelyre . Jelöljük -val ezt az egyetlen elemet. Ezzel egy függvényt értelmeztünk, és világos, hogy . Ez a megfigyelés az, amely lehetővé teszi, hogy a függvény fogalmát visszavezessük a halmaz fogalmára. A halmazelmélet axiomatikus felépítésében a függvényeket úgy definiálják, mint az Descartes-szorzatok fenti tulajdonságú részhalmazai. Mi nem követjük ezt az utat (hiszen a halmazelmélet axiomatikus felépítése nem célunk), így a függvény fogalmát továbbra is alapfogalomként kezeljük.
8.9. Megjegyzés. A matematikai fogalmak és objektumok jelölésére az évszázadok során kialakult egy konvenció. Eszerint a függvényeket legtöbbször -fel jelöljük; ez a latin functio szó kezdőbetűje (amely szerencsés módon megegyezik a függvény szó kezdőbetűjével). Ha egy okoskodásban több függvény szerepel, azokat általában -val jelöljük. Hasonló okból a természetes számok jelölése legtöbbször , amely a naturalis szó kezdőbetűje. A természetes és az egész számok jelölésére az -en kívül gyakran használjuk még az -et megelőző betűket is. A konstansokat és a sorozatokat leginkább az ábécé elején található betűkkel jelöljük, míg a változók (vagyis azok a mennyiségek, amelyekre függvényeket alkalmazunk) szokásos jelölése az ábécé végén levő betűkkel történik.
Természetesen semmilyen elvi jelentősége nincs annak, hogy egy mennyiséget éppen milyen betűvel vagy szimbólummal jelölünk, és előfordulhat, hogy egy függvényt kénytelenek vagyunk az betűktől különböző betűvel jelölni. Azonban a fenti konvenció használata jelentősen megkönnyíti a matematikai szövegek olvasását, mert az esetek többségében egy pillanat alatt tájékozódni tudunk a szereplő matematikai objektumok természetéről.
1.1. Feladatok
2Lejeune Dirichlet (1805–1859) német matematikus
8. Valós változós, valós értékű halmazát, amelyekre . (Nem tesszük fel, hogy -nek létezik az inverze. A jelölés jogosságát illetően megjegyezzük, hogy ha létezik az inverz, akkor kétféle értelmezése ugyanazt a halmazt jelöli.) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges halmazokra minden -re. Megtehető-e ez úgy is, hogy egy tetszőleges, előre megadott függvény legyen? ( Ö) 8.6.
A 8.7. Példákban szereplő függvények grafikonjain olyan szimmetriákat és egyéb tulajdonságokat figyelhetünk meg, amelyek számos más függvénynél is előfordulnak. Így a (2), (6) és (9) függvények grafikonjai szimmetrikusak az tengelyre, a (4) és (5) függvények grafikonjai szimmetrikusak az origóra, a (8) függvény grafikonja periodikusan ismétlődő szakaszokból áll. A (2), (4) és (6) függvények grafikonja más jellegű tulajdonságot is tükröz. Ezeknél a függvényeknél a grafikonnak a feletti része „fölfelé halad”, ami annak felel meg, hogy ezen a félegyenesen nagyobb -hez nagyobb tartozik. A (2), (3) függvények grafikonja, illetve a (4) és (5) függvények grafikonjának feletti része pedig „alulról domború”, vagyis a grafikon két pontját összekötő egyenesszakasz mindig a grafikon felett halad.