Rövid történeti bevezetés
4. Halmazok, függvények, sorozatok
Halmazok. A matematika minden ága bizonyos, más-más módon meghatározott elemek, objektumok halmazait vizsgálja. A geometriában ezek az elemek többek között a pontok, egyenesek, síkok, az analízisben a számok,
6Ha -nel végigosztunk, a kapott hányadost megvizsgálhatjuk számítógéppel is (vö. 20. fejezet, 20.4.1.-beli programok).
1. Alapfogalmak
számsorozatok, függvények stb. Szükségünk van tehát a halmazokkal kapcsolatos legalapvetőbb fogalmak és jelölések tisztázására.
Mi a halmaz? „Bizonyos dolgok összessége, osztálya, rendszere, családja stb.” Látnunk kell, hogy ezek csak körülírások, szinonimák, amelyek a halmaz fogalmát szemléletesen leírják, de nem definiálják. Egy ilyen meghatározást nem is fogadhatnánk el definíciónak, hiszen ehhez először az összesség, osztály stb. fogalmait kellene definiálnunk, és akkor ismét a definiálás problémájába ütköznénk. Néha a halmazt úgy írják le, mint valamely közös tulajdonsággal rendelkező dolgok összességét. Eltekintve attól, hogy ebben a meghatározásban is szerepel az összesség fogalma, itt még egy ellenvetést tehetünk: mit nevezzünk közös tulajdonságnak? Ez szubjektív megítélés kérdése lehet, amit nyilván nem engedhetünk meg. (Vegyük például azt a halmazt, amely a természetes számokból és a sík köreiből áll. Hogy van-e itt közös tulajdonság, arról nyilván megoszlanának a vélemények.) Tehát ezt a definíciót sem fogadhatjuk el.
A halmaz fogalmát nem tudjuk kézenfekvő, mindenki által elfogadható módon definiálni. Tudomásul kell vennünk, hogy nem vezethetünk vissza mindent egyszerűbb fogalmakra (hiszen ez az eljárás sose érne véget), tehát mindenképpen szükség van olyan alapfogalmakra, melyeket nem definiálunk. Ilyen alapfogalomnak tekintjük a halmaz fogalmát is. A halmazokról csak annyit teszünk fel, hogy bármely dolog vagy eleme egy halmaznak, vagy sem. (Itt kivételesen a kiegészítő „vagy” műveletet használtuk!)
Azt, hogy eleme a halmaznak (más szóval a halmazhoz tartozik, vagy -ban van), úgy jelöljük, hogy . Azt, hogy nem eleme a halmaznak (más szóval nem tartozik a halmazhoz, vagy nincs
-ban), úgy jelöljük, hogy .
Magukat a halmazokat kétféleképpen jelölhetjük. Az egyszerűbb esetben két kapocs között felsoroljuk a halmaz
elemeit: . Ha a halmaznak csak egyetlen eleme van, , akkor ezt úgy jelöljük,
hogy . Végtelen sok elemet is felsorolhatunk, ha nem félreérthető, pl. .
A halmaz jelölésének másik módszere az, hogy a halmaz elemeit jelölő betű vagy jel után kettőspontot írunk, és utána írjuk le valahogy az elemeket:
Mit jelentenek itt az egyenlőségjelek? Megállapodás szerint az és halmazokat akkor tekintjük egyenlőnek, ha ugyanazok az elemei, tehát bármely dologra akkor és csak akkor, ha . Jelben:
Más szóval, , ha minden eleme -nek is eleme és fordítva. Jegyezzük meg, hogy ha egy elemet tüzetesebben megvizsgáljuk őket, kiderül, hogy üresek, egyáltalán nincs elemük! Kizárjuk-e őket a halmazok köréből? Ha megtennénk, akkor minden halmazmegadás előtt meg kellene győződni arról, hogy a halmaznak van-e eleme. Amellett, hogy ez meglehetősen kényelmetlenné tenné a halmazelméletet, erre nem is mindig vagyunk képesek. Senki sem tudja például, hogy van-e páratlan tökéletes szám (egy szám akkor tökéletes, ha megegyezik a nála kisebb pozitív osztói összegével). Ha az elem nélküli halmazokat kizárnánk a halmazok
köréből, nem tudnánk eldönteni, hogy egy jóldefiniált halmazt jelöl-e vagy sem.
Ezért célszerű megállapodnunk abban, hogy ezeket is megengedett halmazdefiníciónak fogadjuk el, tehát (a fenti vagy esetében biztosan) olyan halmazokat is elfogadunk, amelyeknek nincs elemük. Hány ilyen halmaz van? A megállapodásunk értelmében csak egy, hiszen ha sem -nak, sem -nek nincsenek elemei, akkor minden eleme -nek is eleme (hiszen nincs ilyen) és fordítva. Ennek az egyetlen halmaznak a neve üres halmaz, jele: .
Ha a halmaz minden eleme az halmaznak is eleme, akkor azt mondjuk, hogy részhalmaza -nak.
Jelölés: vagy .7
Nyilvánvaló, hogy akkor és csak akkor, ha és . Ha , de , akkor azt mondjuk, hogy valódi részhalmaza -nak. Ezt úgy jelöljük, hogy .
A számok körében végzett műveletekhez hasonlóan (amilyen például az összeadás vagy a szorzás), a halmazokkal is végezhetünk műveleteket. Az és halmazok egyesítése vagy uniója azon elemek összessége, amelyek és legalább egyikéhez hozzátartoznak. Az és halmazok unióját -vel jelöljük, tehát
Halmazok unióját több (vagy akár végtelen sok) halmazra is definiálhatjuk: mindazon elemek halmazát jelöli, melyek legalább egyikéhez hozzátartoznak. Ugyanerre a halmazra a rövidebb jelölés is használatos. Ugyanígy, vagy mindazon elemek halmazát jelöli, melyek az halmazok legalább egyikéhez hozzátartoznak.
Az és halmazok metszete vagy közös része azon elemek összessége, amelyek -nak és -nek is elemei. Az és halmazok metszetét -vel jelöljük, tehát
Több vagy végtelen sok halmaz metszetét az unióhoz hasonló módon definiáljuk.
Az és halmazokat diszjunktaknak nevezzük, ha .
Az és halmazok különbsége azon elemek összessége, amelyek -nak elemei, de -nek nem. Az és halmazok különbségét -vel jelöljük, tehát
Legyen egy rögzített halmaz, és legyen . A halmazt az ( -ra vonatkozó) komplementerének nevezzük es -szel jelöljük. Könnyű belátni, hogy teljesülnek az
valamint az ún. de Morgan-féle azonosságok:
Néhány további azonosság:
1.2. egyenlet - (1.2)
7Néha a tartalmazást a jellel jelölik.
1. Alapfogalmak
Függvények. Tekintsünk egy képletet, amelyben szerepel az változó:
Ezek azt jelentik, hogy minden szám esetén ki kell számítani a megfelelő értéket (persze csak akkor, ha az eredmény értelmes; a második példában esetén nem az). Így ezek a képletek bizonyos számokhoz egyéb számokat rendelnek hozzá. De hozzárendelést más módon is létrehozhatunk. Ilyen hozzárendelés például az egész pozitív osztóinak száma, jegyeinek összege stb. Nem csak számokhoz rendelhetünk számokat. Pl.
minden emberhez hozzárendelhetjük a súlyát, a hajszálainak számát stb. Még általánosabban: minden emberhez hozzárendelhetjük a nevét. A fentiekben függvényeket, hozzárendeléseket, leképezéseket definiáltunk. Ezek szinonimák, és a jelentésük a következő.
Tekintsünk két halmazt, -t és -t. Tegyük fel, hogy minden -hoz valamilyen módon hozzá van rendelve egy elem. Akkor ezt a hozzárendelést függvénynek vagy leképezésnek nevezzük. Ha ezt a függvényt -fel jelöljük, akkor azt mondjuk, hogy leképezi -t -be, és azt írjuk, hogy . Ha az
leképezés az elemhez -t rendeli hozzá, akkor ezt úgy jelöljük, hogy . Az halmazt értelmezési tartományának nevezzük.
Ha egy képletet írunk fel, pl. -et, és hangsúlyozni akarjuk, hogy nem az számot tekintjük, hanem azt a leképezést, amely -hez -et rendeli, akkor ezt így jelölhetjük:
Sorozatok. Tetszőleges elemeket egymás után írva sorozatot kapunk. Ha az elemek száma , akkor -tagú sorozatról beszélünk. A sorozat megadásához meg kell mondanunk, hogy a sorozatnak melyik az első, a második, és általában a -adik tagja, minden -re. Egy -tagú sorozat szokásos jelölése , ahol természetesen az betű helyett bármilyen más betűt vagy jelet is használhatunk. Az elemeket a sorozat tagjainak nevezzük; a tag sorszámát jelző szám a tag indexe8. Két -tagú sorozatot csak akkor tekintünk azonosnak, ha a -adik tagjaik megegyeznek minden -re, vagyis a
tagok sorrendje lényeges. Így például akkor és csak akkor, ha
, és . A sorozat tagjainak nem kell különbözőeknek lenniük;
így pl. egy -tagú sorozat.
Az -tagú sorozatokat rendezett -eseknek is nevezik. Ha , akkor „rendezett -esek” helyett rendezett párokat mondunk.
Ha a sorozatok fenti meghatározásában ki akarjuk küszöbölni a kissé homályos és többféleképpen értelmezhető
„egymás mellé írást”, akkor azt kell mondanunk, hogy egy -tagú sorozat olyan függvény, amely az halmazon van értelmezve, mégpedig a függvény által a számhoz rendelt elem a sorozat
8index = mutató
adik tagja. Tehát az függvény által meghatározott sorozat , vagy a
korábbi jelöléssel .
Gyakran fogunk dolgozni végtelen sorozatokkal. Ezeket úgy kapjuk, hogy végtelen sok elemet írunk egymás után. Precízebben: végtelen sorozatnak nevezzük az halmazon értelmezett függvényeket.
Tehát az függvény által meghatározott sorozat , amit még -vel vagy
-nel is jelölhetünk.
Szintén végtelen sorozatnak nevezzük az -en értelmezett függvényeket. Ezek jelölése vagy , esetleg lehet. Még általánosabban, minden alakú halmazon értelmezett függvényt is végtelen sorozatnak nevezünk; ezek jelölése értelemszerű.
4.1. Feladatok
1.19. Bizonyítsuk be az (1.2) alatti azonosságokat.
1.20. Bizonyítsuk be, hogy .
1.21. Jelöljük az halmazt -vel. (Az halmazt és szimmetrikus differenciájának nevezzük.) Mutassuk meg, hogy tetszőleges halmazokra
a. ,
b. , és
c. .
1.22. Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor teljesül , ha az halmazok közül páratlan soknak eleme.9
1.23. Állapítsuk meg, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek hamisak10:
a. ,
b. ,
c. ,
d. .
1.24. Legyenek és olyan képletek, amelyek az , , műveletekkel épülnek
fel az , , halmazváltozókból. (Pl. és .)
Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor azonosság, ha minden olyan
esetben fennáll, amikor az , , halmazok közül a nemüresek egyenlők egymással. ( Ö)
9Az 1.21.(c) feladat [0] állításából következik, hogy az kifejezés bármelyik zárójelezése ugyanazt a halmazt definiálja, ezért a zárójeleket elhagyhatjuk.
10Azaz vagy bizonyítsuk be, hogy az egyenlőség minden , , -re teljesül, vagy adjunk meg olyan , , -t, amelyekre nem teljesül.