folytonossága és határértéke
8. Konvexitás és folytonosság
Az első célunk annak a bizonyítása, hogy egy nyílt intervallumban konvex függvény szükségképpen folytonos.
Mint látni fogjuk, ez abból következik, hogy ha konvex, akkor bármely pontnak van olyan környezete, amelyben közrefogható két folytonos (lineáris) függvénnyel, amelyek közös értéke -ben . Ennek belátásához először egy segédtételt bizonyítunk be. Emlékeztetjük az olvasót, hogy (adott esetén) -vel jelöljük azt a lineáris függvényt, amely az és pontokban megegyezik -fel, tehát
9.73. Lemma. Legyen konvex az intervallumban. Ha , , és , akkor
9.22. egyenlet - (9.22)
Ha szigorúan konvex -ben, akkor (9.22)-ben szigorú egyenlőtlenség áll. (Vagyis az intervallumon kívül grafikonjának pontjai az és pontokat összekötő egyenes felett vannak, lásd 8.2. ábra.)
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy . A konvexitás definíciója szerint ekkor , azaz
9. Függvények folytonossága és határértéke
ami egyszerű átrendezés után éppen (9.22)-t adja. Ha , akkor , azaz
amiből egy egyszerű átalakítással szintén megkapjuk (9.22)-t.
Ha szigorúan konvex, akkor a fenti okoskodásban mindenütt szigorú egyenlőtlenségek állnak.
Most már könnyen bebizonyíthatjuk a konvex függvények folytonosságát.
9.74. Tétel. Ha konvex a nyílt intervallumban, akkor folytonos -ben.
Bizonyítás. Legyen adott, és válasszunk olyan pontokat, melyekre . Ha , akkor a fenti lemma, valamint konvexitása alapján
Mivel , ezért a rendőrelv szerint . Ugyanígy
adódik .
Ha konvex az intervallumban, akkor tetszőleges -re teljesül
9.23. egyenlet - (9.23)
Valóban, ha , akkor (9.23) nyilvánvaló, míg az esetben (9.23) az
egyenlőtlenségből következik, ha azt -re alkalmazzuk. Azokat a függvényeket, amelyek minden -re kielégítik a (9.23) egyenlőtlenséget, gyengén konvex függvényeknek nevezik8. Az függvény
gyengén konkáv, ha minden , -re.
A gyengén konvexitás tulajdonsága – nevének megfelelően – valóban gyengébb feltétel a konvexitásnál, azaz léteznek gyengén konvex, de nem konvex függvények. Meg lehet mutatni ugyanis, hogy van olyan
függvény, amely additív abban az értelemben, hogy teljesül minden -re, de
nem folytonos. (E tény bizonyítása azonban meghaladja ennek a könyvnek a kereteit.) Mármost könnyű belátni, hogy egy ilyen függvény szükségképpen gyengén konvex, sőt, még az erősebb feltételt is kielégíti minden -re. Másrészt nem konvex, mert nem folytonos.
A következő tételben bebizonyítjuk, hogy ha folytonos, akkor gyengén konvexitása már ekvivalens konvexitásával. Ez azt jelenti, hogy a folytonos függvények körében a konvexitás megállapításához elegendő a gyengén konvexitást ellenőrizni, ami általában egyszerűbb, mint a konvexitás definíciójának ellenőrzése.
9.75. Tétel. Tegyük fel, hogy folytonos és gyengén konvex az intervallumban. Ekkor konvex -ben.
Bizonyítás. Azt kell megmutatnunk, hogy ha és , akkor . Tegyük fel,
8A gyengén konvex függvényeket szokás még Jensen-konvex függvényeknek is nevezni.
akkor a Bolzano–Darboux-tétel szerint -nek volna gyöke -ban, ami ellenmond annak, hogy az halmaz felső korlátja.
Pontosan ugyanígy adódik, hogy van egy első pont után, amelyben eltűnik, és hogy a függvény
pozitív az intervallumban. Ekkor tehát , és minden -ra. Mármost
a függvényt úgy kaptuk -ből, hogy levontunk belőle egy lineáris függvényt. Ebből következik, hogy is
gyengén konvex. Valóban, mivel lineáris, így minden -re, tehát, ha
kielégíti a (9.23) egyenlőtlenséget, akkor levonása ezt nem befolyásolja. Azonban és , tehát (9.23) az , választással nem teljesül. Ez ellentmondás, amivel beláttuk, hogy konvex.
9.76. Megjegyzés. Ha az függvény kielégíti az
9.24. egyenlet - (9.24)
feltételt minden , , -re, akkor -et szigorúan gyengén konvexnek nevezzük. Hasonlóan definiáljuk a szigorúan gyengén konkáv függvényeket. Az előző tételből következik, hogy ha folytonos és szigorúan gyengén konvex az intervallumban, akkor szigorúan konvex -ben. Valóban, könnyű belátni, hogy ha konvex, de nem szigorúan konvex az intervallumban, akkor -nek van olyan részintervalluma, amelyben lineáris (lásd a 9.83. feladatot [149]). Ekkor azonban (9.24) nem teljesül a intervallum pontjaira, hiszen esetén (9.24)-ben egyenlőség áll.
Ugyanígy adódik, hogy minden folytonos és szigorúan gyengén konkáv függvény szigorúan konkáv.
Megemlítjük, hogy a 9.75. Tétel feltétele jelentősen gyengíthető: folytonossága helyett elég feltenni, hogy -nek van olyan részintervalluma, amelyben felülről korlátos (lásd a 9.99 [150]–9.102. feladatokat [151]).
8.1. Feladatok
9.86. Bizonyítsuk be, hogy az függvény akkor és csak akkor alig konvex az intervallumban, ha az alábbi esetek egyike fennáll.
9. Függvények folytonossága és határértéke
a. monoton csökkenő -ben.
b. monoton növő -ben.
c. Létezik egy pont úgy, hogy monoton csökkenő -ben és monoton növő -ben.
9.88. Legyen konvex -ben, és tegyük fel, hogy . Lehetséges-e, hogy
? (M)
9.89. Legyen konvex -ben, és tegyük fel, hogy . Lehetséges-e, hogy
? (Ö)
9.90. Legyen konvex -ben. Lehetséges-e, hogy ? (Ö)
9.91. Legyen gyengén konvex az intervallumban. Bizonyítsuk be, hogy
minden -re. (M)
9.92. Legyen additív függvény (vagyis tegyük fel, hogy minden , -ra ). Bizonyítsuk be, hogy minden valós és racionális számra.
9.93. Bizonyítsuk be, hogy ha additív, akkor a függvény szintén additív és periodikus, nevezetesen minden racionális szám periódusa.
9.94. Legyen additív függvény. Bizonyítsuk be, hogy ha felülről korlátos egy intervallumon,
akkor minden -re. (Ö)
9.95. Legyen additív függvény. Bizonyítsuk be, hogy gyengén konvex. (Amennyiben nem lineáris függvény, akkor olyan gyengén konvex függvény, amely korlátos alulról, de nem konvex.)
9.96. Legyen folytonos az intervallumon, és tegyük fel, hogy minden , -re van olyan pont, amelyre . Bizonyítsuk be, hogy konvex. (Ö)
9.97. Legyen korlátos az intervallumon, és tegyük fel, hogy minden , , -re van olyan pont, amelyre . Következik-e ebből, hogy konvex?
9.98. Legyen konvex az nyílt intervallumon. Bizonyítsuk be, hogy Lipschitz az intervallum minden korlátos és zárt részintervallumában.
A következő négy feladat célja annak bizonyítása, hogy ha gyengén konvex a nyílt intervallumban és ha -nek van olyan részintervalluma, amelyben felülről korlátos, akkor konvex.
9.99. Legyen gyengén konvex a nyílt intervallumban, és legyen . Bizonyítsuk be, hogy ha
felülről korlátos -ban, akkor korlátos -ban. (M)
9.100. Legyen gyengén konvex a nyílt intervallumban. Legyen egész, és legyenek és olyan
számok, melyekre és . Bizonyítsuk be, hogy
9.101. Legyen gyengén konvex a nyílt intervallumban, és legyen . Bizonyítsuk be, hogy ha felülről korlátos -ban, akkor folytonos -ban. (M)
9.102. Legyen gyengén konvex az intervallumon, és tegyük fel, hogy -nek van olyan nem-elfajuló részintervalluma, amelyen felülről korlátos. Bizonyítsuk be, hogy folytonos (tehát a 9.75. Tétel szerint konvex) -ben. (Ö)