Rövid történeti bevezetés
5. Tizedestörtek. A számegyenes
Már említettük korábban, hogy egy valós szám tizedestört-alakja „kijelöli a szám helyét a számegyenesen”.
Most ezt az elképzelést fogjuk részletesebben kifejteni. Mindenekelőtt megadjuk a valós számok tizedestört-alakjának precíz definícióját. Szükségünk lesz a véges tizedestörtek hagyományos jelölésére: ha nemnegatív
egész és mindegyike a számok valamelyikével egyenlő, akkor jelöli az
összeget. Legyen egy tetszőleges nemnegatív valós szám. Azt mondjuk, hogy végtelen tizedestört-alakja , ha az
2.4. egyenlet - (2.4)
stb. egyenlőtlenségek teljesülnek. Más szóval, az szám végtelen tizedestört-alakja , ha
2.5. egyenlet - (2.5)
teljesül minden pozitív egészre.
A fenti definícióval kapcsolatban több kérdés merül fel. Van-e minden valós számnak végtelen tizedestört-alakja? Egyértelmű-e a tizedestört-alak? Előfordul-e a valós számok tizedestört-alakjai között minden végtelen tizedestört? (Más szóval, létezik-e minden előírt végtelen tizedestörthöz olyan valós szám, amelynek éppen ez a tizedestört-alakja?) A következő tételek ezekre a kérdésekre adnak választ.
2.7. Tétel. Minden nemnegatív valós számnak van végtelen tizedestört-alakja.
Bizonyítás. Legyen adott valós szám. Az arkhimédészi axióma szerint van -nél nagyobb pozitív egész.
Ha a legkisebb olyan pozitív egész, amely nagyobb -nél és , akkor .
Az ( ) számok közül az első nem nagyobb, az utolsó pedig nagyobb -nél. Így van
olyan , amelyre . Az ( )
számok közül az első nem nagyobb, az utolsó pedig nagyobb -nél. Így van olyan , amelyre . Az eljárást folytatva megkapjuk az , , jegyeket, amelyek kielégítik (2.5)-öt minden -ra.
Jegyezzük meg, hogy a fenti tételben valójában azt láttuk be, hogy minden számnak van olyan tizedestört-alakja, amelyre az erősebb
2.6. egyenlet - (2.6)
2. Valós számok
egyenlőtlenség is teljesül minden pozitív egészre. Az ilyen tulajdonságú tizedestört-alak egyértelmű, hiszen csak egy olyan nemnegatív egész van, amelyre , csak egy olyan jegy van, amelyre
és így tovább.
Mármost, ha -nek van egy másik tizedestört-alakja is: , akkor ez nem elégítheti ki (2.6.)-ot, tehát
vagy , vagy pedig valamelyik -ra. Könnyű ellenőrizni, hogy
esetén , és minden -re, az esetben pedig
és minden -ra. Ezzel beláttuk a következőt.
2.8. Tétel. A pozitív, véges tizedestört-alakban megadható számoknak két végtelen tizedestört-alakjuk van: az egyiknek a jegyei valahonnan kezdve -val, a másikéi -cel egyenlők. Minden más nemnegatív valós szám tizedestört-alakja egyértelmű.
A következő tétel azt mondja ki, hogy a nemnegatív valós számok tizedestört-alakjai között minden formálisan felírható tizedestört szerepel.
2.9. Tétel. Tetszőleges -hez és a jegyekből álló sorozathoz létezik pontosan egy olyan nemnegatív valós szám, amelynek a tizedestört-alakja .
Bizonyítás. A (2.5) feltétel azt jelenti, hogy eleme az
intervallumnak minden -ra. Mivel ezek egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatot alkotnak, ezért a Cantor-axióma szerint létezik olyan valós szám, amelyre minden -ra. Az pedig, hogy csak egy ilyen szám van, a 2.5. Tételből következik, hiszen az arkhimédészi axióma alapján minden -hoz van olyan ,
amelyre , és ekkor .
2.10. Megjegyzések. 1. A számok tizedestört-alakban való felírhatóságának több érdekes következménye van.
A legfontosabb következmény arra a kérdésre vonatkozik, hogy a valós számok axiómarendszere mennyire pontosan írja le a valós számokat. A kérdés az, hogy az axiómák közül „nem felejtettünk-e ki” valamit; nem lehetséges-e, hogy szükségünk volna további tulajdonságok deklarálására? A válasz megértéséhez idézzük fel az axiomatikus felépítés álláspontját. Eszerint a valós számok mibenlétével nem foglalkozunk, csupán a tulajdonságaival. A valós számok halmaza helyett vehetnénk egy másik halmazt is, feltéve, hogy abban is értelmezve van két művelet és egy rendezés, amelyek kielégítik mind a 15 axiómát.
Mármost az a tény, hogy a számok tizedestört-alakban való felírhatóságát pusztán a 15 axiómából le tudtuk vezetni, azt jelenti, hogy ez mind -ben, mind pedig -ben igaz. Így minden nemnegatív eleméhez hozzárendelhetjük azt az elemet, amelynek ugyanaz a tizedestört-alakja. Ezt a hozzárendelést kiterjeszthetjük -re a képlettel. A tizedestörtekre vonatkozó fenti tételekből azonnal következik, hogy ezzel egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hoztunk létre és között2. Azt is meg lehet mutatni (bár ennek a részleteibe most nem megyünk bele), hogy ez a megfeleltetés felcserélhető a
műveletekkel, azaz és minden -re, továbbá akkor és csak
akkor teljesül, ha . Egy ilyen megfeleltetés (röviden izomorfizmus) létezése azzal a következménnyel jár, hogy az és struktúrák „megkülönböztethetetlenek”: ha egy állítás igaz az egyikben, akkor igaz lesz a másikban is. Ezt a tényt a matematikai logika úgy fejezi ki, hogy a valós számok axiómarendszerének bármely két modellje izomorf egymással. Ha tehát az axiómarendszerrel az a célunk, hogy a valós számok tulajdonságait minél pontosabban leírjuk, akkor ezt a célt elértük; további axiómák hozzávétele már nem tudja szűkíteni azon modellek körét, amelyek az axiómarendszert kielégítik.
2. A tizedestört-alakban való felírhatóság másik fontos következménye, hogy a valós számok halmaza és egy egyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hozhatunk létre.
2Azt mondjuk, hogy az függvény kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít az és halmazok között, ha az halmazon van értelmezve, az halmaz különböző pontjaihoz különböző elemeket rendel (azaz esetén ), és minden elemhez van olyan , amelyre .
Legyen egy egyenes, és adjunk meg -n két különböző és pontot. Nevezzük a irányt pozitívnak, az ellentétes irányt pedig negatívnak. A ponthoz rendeljük hozzá a -t, a -hoz pedig az -et. A ponttól pozitív, illetve negatív irányban mérjük fel a távolság többszöröseit, és rendeljük hozzá az így kapott pontokhoz az egész számokat. Ha az így kapott pontokkal határolt szakaszokat egyenlő részre osztjuk (minden -ra), akkor megkapjuk azokat a pontokat, amelyekhez a racionális számokat rendeljük hozzá. Legyen egy nemnegatív valós szám, és legyen a tizedestört-alakja . Legyenek és azok a pontok,
amelyekhez az , illetve az számokat rendeltük hozzá. Az egyenes
tulajdonságaiból következik, hogy az szakaszoknak létezik egyetlen közös pontja. Ez lesz az az pont, amelyhez az számot rendeljük. Végül, a szakaszt -ből negatív irányban felmérve megkapjuk azt a pontot, amelyhez -et rendeljük hozzá.
Meg lehet mutatni, hogy ezzel az egyenes pontjaihoz kölcsönösen egyértelműen hozzárendeltük a valós számokat. Egy adott ponthoz hozzárendelt számot a pont koordinátájának, az egyenest magát pedig számegyenesnek nevezzük. A következőkben, ha egy számról beszélünk, gyakran mondjuk, hogy a számegyenes koordinátájú pontja, vagy röviden az pont.
Ennek a megfeleltetésnek az az előnye, hogy bizonyos állításokat és tulajdonságokat a számegyenesen szemléltetve azokat könnyebben érthető és jobban áttekinthető formában kaphatjuk meg. A szemléltetés révén sokszor nyerünk bizonyítási ötleteket is. Azonban hangsúlyozni kell, hogy a szemléltetésből adódó „látható”
tulajdonság sohasem tekinthető bizonyítottnak; sőt, szemléletesen igaznak látszó állításokról kiderülhetnek, hogy hamisak. A bizonyításoknál mindig csupán a valós számok felsorolt alaptulajdonságaira (vagyis az axiómákra), és az azokból már bizonyított tételekre támaszkodhatunk.
A valós számoknak a számegyenessel való szemléltetése sok olyan fogalmat sugall, amely a szemléletes képtől függetlenül is fontosnak bizonyul. Ilyen pl. a mindenütt sűrű halmaz fogalma.
2.11. Definíció. Azt mondjuk, hogy a számhalmaz mindenütt sűrű -ben, ha minden nyílt intervallum tartalmaz -beli elemet; azaz, ha minden -hez van olyan , amelyre .
Így például a 2.2. Tétel szerint a racionális számok halmaza mindenütt sűrű -ben. Most megmutatjuk, hogy ugyanez igaz az irracionális számok halmazára.
2.12. Tétel. Az irracionális számok halmaza mindenütt sűrű -ben.
Bizonyítás. Legyen tetszőleges. Mivel a racionális számok halmaza mindenütt sűrű és
, ezért van olyan racionális szám, amelyre . Ekkor
, és így az nyílt intervallum tartalmazza az irracionális számot. Az
szám irracionalitása abból következik, hogy ha racionális lenne, akkor is racionális lenne, holott nem az.
Ugyancsak a számegyenessel való ábrázolás motiválja azt a szóhasználatot, hogy intervallum helyett szakaszt is mondhatunk. A későbbiekben szükségünk lesz az intervallumok körének bővítésére.
Legyen egy zárt vagy nyílt intervallum. Ekkor könnyen láthatóan minden olyan szakaszt tartalmaz, amelynek a végpontjai elemei -nak. (Ezt a tulajdonságot konvexitásnak nevezzük.) Ezért célszerű mindazokat a halmazokat intervallumnak (vagy szakasznak) nevezni, amelyek rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. A zárt és nyílt intervallumokon kívül ilyenek még a következők.
Legyen . Azon számok halmazát, amelyekre teljesül, -vel jelöljük és balról zárt, jobbról nyílt intervallumnak nevezzük. Azon számok halmazát pedig, amelyekre teljesül, -vel jelöljük, és jobbról zárt, balról nyílt intervallumnak nevezzük. Tehát
Az , , és típusú intervallumokat korlátos (vagy véges) intervallumoknak nevezzük.
Bevezetjük még a
2.7. egyenlet - (2.7)
2. Valós számok
valamint a jelöléseket. A , , , típusú intervallumokat, valamint
-et magát nem korlátos (vagy végtelen) intervallumoknak nevezzük. Ezek közül és a zárt félegyenesek, , és pedig a nyílt félegyenesek.
Az intervallumok közé soroljuk még az üres halmazt és az egyetlen pontból álló halmazokat is; ezek az elfajuló intervallumok. Az egyelemű halmazokat elfajuló zárt intervallumnak tekintjük, amit az jelölés fejez ki.
2.13. Megjegyzés. A nem korlátos intervallumok jelölésében szereplő jelnek nem tulajdonítunk önálló értelmet. Ezek a jelölések pusztán rövidítésnek tekintendők; így pl. mindössze az halmaz rövidebb (és szemléletesebb) jelölésére szolgál. A jel még sokszor fog felbukkanni. Minden későbbi alkalmazására ugyanez lesz érvényes, tehát csak a teljes képletnek tulajdonítunk (minden esetben pontosan meghatározott) értelmet.
5.1. Feladatok
2.12. Bizonyítsuk be, hogy
a. Ha és racionálisak, akkor is racionális.
b. Ha racionális és irracionális, akkor irracionális.
Igaz-e, hogy ha és irracionálisak, akkor is irracionális?
2.13. Bizonyítsuk be, hogy egy pozitív valós szám tizedestört-alakja akkor és csak akkor periodikus, ha a szám racionális.
2.14. Bizonyítsuk be, hogy a véges tizedestört-alakkal rendelkező számok és ezek negatívjainak halmaza mindenütt sűrű.
2.15. Bontsuk fel a számegyenest végtelen sok páronként diszjunkt, mindenütt sűrű halmaz egyesítésére.
2.16. Legyen olyan nemüres halmaz, amely bármely két (nem feltétlenül különböző) elemével együtt azok különbségét is tartalmazza. Bizonyítsuk be, hogy vagy van olyan valós szám, hogy
, vagy pedig mindenütt sűrű. ( Ö)
2.17. Bizonyítsuk be, hogy ha irracionális, akkor az halmaz mindenütt sűrű.