folytonossága és határértéke
5. Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények
Az alábbi tételek azt mutatják, hogy ha az függvény folytonos egy korlátos és zárt intervallumban, akkor ebből automatikusan következik, hogy számos egyéb fontos tulajdonsággal is rendelkezik.
9.50. Definíció. Legyen . Az függvény folytonos az intervallumban, ha minden helyen folytonos, továbbá -ban jobbról, -ben pedig balról folytonos.
Általánosabban:
9.51. Definíció. Legyen . Az függvény folytonos az halmazon, ha minden helyen az halmazra szorítkozva folytonos.
A következőkben az korlátos zárt intervallumban folytonos függvények összességét -vel jelöljük.
9.52. Tétel. Ha , akkor korlátos -ben. sorozat korlátos. Ez viszont ellentmondásban van azzal, hogy minden -ra.
9.53. Megjegyzés. A tételben lényeges feltennünk, hogy az függvény egy korlátos és zárt intervallumban folytonos. Bármelyik feltételt is hagyjuk el, a tétel állítása nem marad igaz. Így pl. az függvény folytonos a korlátos intervallumban, de itt nem korlátos. Az függvény pedig folytonos
-ben, de szintén nem korlátos itt.
9.54. Definíció. Legyen értelmezve az halmazon. Ha az halmazhoz tartozó értékkészletnek van legnagyobb eleme, akkor ezt az függvény -n felvett (abszolút) maximumának nevezzük, és -val
vagy -szel jelöljük. Ha és , akkor azt mondjuk, hogy az függvény
-hoz tartozó abszolút maximumhelye.
Ha az értékkészletnek van legkisebb eleme, akkor ezt az függvény -n felvett (abszolút)
minimumának nevezzük, és -val vagy -szel jelöljük. Ha és ,
akkor azt mondjuk, hogy az függvény -hoz tartozó abszolút minimumhelye.
Az abszolút maximum-, illetve minimumhelyeket közösen abszolút szélsőértékhelyeknek nevezzük.
Természetesen egy halmazon egy függvénynek több abszolút maximum- (illetve minimum-) helye is lehet.
Egy számhalmaznak nyilvánvalóan csak akkor létezhet maximuma (illetve minimuma), ha felülről (illetve alulról) korlátos. Viszont, amint azt már láttuk, nem minden korlátos számhalmazban van maximális vagy minimális elem. Ha egy függvény értékkészlete a halmazon korlátos, ez még nem biztosítja azt, hogy a függvény értékei között van legnagyobb vagy legkisebb.
Például az függvény -ben korlátos, értékkészletének felső határa , de a függvényérték sehol sem . Tehát e függvénynek nincs maximális függvényértéke -ben.
A következő tétel azt mutatja, hogy ez a jelenség egy korlátos zárt intervallumban folytonos függvénynél nem fordulhat elő.
9.55. Tétel. (Weierstrass tétele). Ha , akkor van olyan és , amelyekre teljesül, hogy minden -re. Más szóval, egy korlátos, zárt intervallumban folytonos függvénynek mindig van abszolút maximum- és abszolút minimumhelye.
A tételre két bizonyítást adunk.
9. Függvények folytonossága és határértéke
I. Bizonyítás. A 9.52. Tétel szerint korlátos. Legyen felső határa . Ha ,
akkor ez éppen azt jelenti, hogy . Azt kell tehát csak belátnunk, hogy nem
lehetséges. Ezt indirekt úton bizonyítjuk be. Ha , akkor az függvény értéke pozitív minden -re. Ezért az függvény is folytonos -ben (lásd a 9.44. Tételt), így itt korlátos is (a 9.52. Tétel szerint). Létezik tehát olyan , amelyre
minden -re. Mindkét oldal reciprokát véve és átrendezve (és felhasználva, hogy mindenütt), azt kapjuk, hogy
ha . Ez viszont ellentmond annak, hogy az halmaz legkisebb felső korlátja.
Hasonlóan bizonyítható létezése. (Vagy pedig visszavezethetjük a maximumra vonatkozó állításra, ha azt helyett -re alkalmazzuk.)
II. Bizonyítás. Legyen ismét ; belátjuk, hogy . Ha pozitív egész, akkor nem felső korlátja -nek, mert volt legkisebb felső korlátja. Így van olyan pont, amelyre . Az sorozat korlátos (hiszen minden tagja -be esik),
ezért van egy konvergens részsorozata. Legyen . Mivel , ezért
. Mármost folytonos -ban, ezért az átviteli elv alapján . Mivel
minden -ra, ezért a rendőrelv szerint (4.7. Tétel) , azaz . Ezzel megmutattuk,
hogy .
Hasonlóan bizonyítható létezése.
9.56. Megjegyzés. A tétel feltételeit tekintve ismét lényeges az, hogy zárt, korlátos intervallumban folytonos függvényekről szól. Azt már láttuk a 9.53. Megjegyzésben, hogy ha egy nyílt intervallumban folytonos, akkor előfordulhat, hogy nem korlátos felülről, és így akkor nem létezik. De ez még akkor is előfordulhat, ha korlátos. Így pl. az függvény folytonos és korlátos a nyílt intervallumban, de ott nincs legnagyobb értéke.
Ugyancsak lényeges, hogy az intervallum korlátos legyen. Ezt illusztrálja az függvény, amely korlátos -ben, de szintén nincs legnagyobb értéke.
A korlátos és zárt intervallumban folytonos függvények egy további fontos tulajdonságát adja meg az alábbi
9.57. Tétel. (Bolzano–Darboux4-tétel). Ha , akkor az intervallumban felvesz minden és közötti értéket.
Erre a tételre is két bizonyítást adunk, mivel mindkét bizonyítás alapgondolata karakterisztikus és gyakran alkalmazott az analízisben.
I. Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy . Olyan hely létezését fogjuk megmutatni, amelynek tetszőleges környezetében a függvény felvesz nél nem nagyobb és -nél nem kisebb értéket is. Ebből -beli folytonossága alapján már egyszerűen következik, hogy .
4Jean Gaston Darboux (1842–1917) francia matematikus
Az számot egy egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozat metszeteként fogjuk definiálni.
Ezt a felezési eljárást folytatjuk. Ha már meg van határozva
é
9. Függvények folytonossága és határértéke
9.12. ábra
Az intervallumsorozatot tehát úgy értelmeztük, hogy
9.15. egyenlet - (9.15)
teljesüljön minden -re.Mivel , ezért az intervallumsorozatnak pontosan egy közös pontja van. Legyen ez . Nyilvánvalóan
és ezért, mivel folytonos -ban,
9.16. egyenlet - (9.16)
De (9.15)-ből
vagyis (9.16) csak úgy teljesülhet, ha .
II. Bizonyítás. Ismét tegyük fel, hogy , és legyen
Az így értelmezett halmaz korlátos és nem üres, hiszen . Így létezik, és miatt . Mivel folytonos -ban és , ezért egy alkalmas intervallumban, és
így . Továbbá, mivel folytonos -ben és , ezért egy alkalmas
intervallumban, és így . Bebizonyítjuk, hogy .
Ha ugyanis nagyobb lenne, mint , akkor létezne olyan intervallum, amelyben
teljesülne. De ekkor nem lehetne az halmaz felső határa, azaz legkisebb felső korlátja, hiszen az -nál kisebb is felső korlátja lenne -nak.
Ha viszont kisebb lenne, mint , akkor létezne olyan intervallum, amelyben
teljesülne. De ekkor ismét nem lehetne az halmaz felső határa, mert -ban lennének -nál nagyobb
értékek is. Tehát sem , sem nem lehetséges, és így .
9.58. Következmény. Ha , akkor értékkészlete (vagyis az halmaz) egy korlátos, zárt intervallum, mégpedig
Bizonyítás. A Weierstrass-tételből következik, hogy és létezik. Világos, hogy . A 9.57. Tételből következik, hogy a függvény minden -beli értéket felvesz
-ben, tehát .
A fenti tételekből nem nehéz belátni, hogy ha tetszőleges típusú intervallum és folytonos -ben, akkor is intervallum (lásd a 9.61. feladatot [138]).
A Bolzano–Darboux-tétel segítségével egyszerű bizonyítást adhatunk a nemnegatív számok -adik gyökének létezésére (2.6. Tétel). folytonos, és amely (i) nem korlátos; illetve (ii) korlátos, de nincs legnagyobb értéke.
9.49. Ha folytonos és , akkor -nek vagy van legnagyobb, vagy
9. Függvények folytonossága és határértéke
9.52. Legyen folytonos. Bizonyítandó, hogy alkalmas -ra minden -re. Adjunk ellenpéldát, ha helyett -n értelmezett folytonos függvényt veszünk.
9.53. Legyenek , folytonosak, és tegyük fel, hogy minden -re.
Bizonyítandó, hogy alkalmas -ra minden -re. Adjunk ellenpéldát, ha
helyett -n értelmezett folytonos függvényeket veszünk.
9.54. Bizonyítsuk be, hogy ha folytonos és egy-egyértelmű, akkor szigorúan monoton.
9.55. Mutassuk meg, hogy ha monoton növő és az értékkészlete tartalmazza -t, akkor folytonos.
9.56. Bizonyítsuk be, hogy ha folytonos, akkor minden -hez van olyan
, amelyre .
9.57. Bizonyítandó, hogy minden harmadfokú polinomnak van valós gyöke. Igaz-e, hogy minden negyedfokú polinomnak van valós gyöke? (Ö)
9.58. Bizonyítsuk be, hogy ha folytonos, akkor van olyan , amelyre . Adjunk ellenpéldát, ha helyett bármilyen más típusú intervallumot veszünk. (Ö)
9.59. Bizonyítsuk be, hogy ha folytonos és , akkor van olyan , amelyre
. Sőt, minden -ra van olyan , amelyre .
9.60. Van-e olyan folytonos függvény, amelyre minden -re? (Ö)
9.61. Bizonyítsuk be, hogy ha egy intervallum (zárt vagy sem, korlátos vagy sem, elfajuló vagy sem) és folytonos, akkor is egy intervallum. (M)