folytonossága és határértéke
3. Az átviteli elv
a. , ;
b. , ;
c. , ;
d. , ;
e. , ;
f. , .
g. , ;
h. , ;
i. , ;
j. , ;
k. , .
9.10. Definiálhatjuk-e a függvényt -ben úgy, hogy ott folytonos legyen?
9.11. Legyen pozitív egész. Definiálhatjuk-e az függvényt -ban úgy, hogy ott folytonos legyen?
9.12. Bizonyítsuk be, hogy a Riemann-függvény értéke -ben
9.13. Tegyük fel, hogy az függvénynek minden pontban létezik a véges határértéke.
Bizonyítsuk be, hogy a függvény mindenütt folytonos.
9.14. Bizonyítsuk be, hogy ha periodikus és , akkor azonosan nulla.
9.15. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan függvény, amelynek minden pontban végtelen a határértéke. (Ö)
9.16. Bizonyítsuk be, hogy ha az függvénynek minden pontban nulla a határértéke, akkor van olyan pont, amelyben . (Ö)
9.17. Bizonyítsuk be, hogy ha az függvény minden racionális pontban folytonos, akkor van olyan irracionális pont is, amelyben folytonos. ( M)
3. Az átviteli elv
A függvény határértékének fogalma szoros kapcsolatban van a sorozat határértékének fogalmával. Ezt fejezi ki a következő tétel. (A tételben és jelentése ugyanaz, mint 9.18. Definícióban.)
9.20. Tétel. Legyen értelmezve egy pontozott környezetében. Akkor és csak akkor teljesül
Tegyük fel, hogy nem teljesül. Ez azt jelenti, hogy van olyan , amelyhez nem létezik jó
, vagyis minden -ban van olyan , amelyre . Ez minden -re is . Ezt indirekt úton igazoljuk. Ha az állítás nem igaz, akkor van olyan , amelyhez nincs
jó , azaz minden -hoz van úgy, hogy . Ez minden -re is igaz, tehát
minden -re van olyan , amelyre és . Az így kapott
sorozat jobbról -hoz tart és , ami ellentmondásban van a feltétellel.
Hasonlóan láthatóak be a többi esetre vonatkozó állítások.
9.21. Megjegyzés. A határérték létezésének tehát szükséges és elégséges feltétele, hogy minden , sorozatra
(i) -nek legyen határértéke, valamint
(ii) értéke független legyen az sorozat választásától.
Itt a (ii) feltétel elhagyható, mert (i) teljesüléséből már automatikusan következik. Ezt indirekt bizonyítással a következőképpen láthatjuk be. Tegyük fel, hogy (i) teljesül, de (ii) nem igaz. Ez azt jelentené, hogy van egy
2Ez értelemszerűen azt jelenti, hogy minden -re, és .
9. Függvények folytonossága és határértéke
sorozat, amelyekre
De akkor az – ugyancsak -hoz tartó – sorozathoz tartozó
függvényértékek sorozata oszcillálva divergens lenne, ugyanis volna két különböző határértékhez tartó részsorozata. Ez azonban (i) miatt nem lehetséges.
A 9.20. Tételt átviteli elvnek nevezzük, ugyanis a függvények határértékének fogalmát (és értékét) mintegy
„átviszi” a sorozatok határértékére. A tétel éppen azért jelentős, mert ezen keresztül a sorozatok határértékére vonatkozó eredményeinket fel tudjuk használni a függvények határértékének vizsgálatánál. Szükségünk lesz folytonosságra vonatkozó átviteli elvre is, amelynek a megfogalmazása jóval egyszerűbb, mint a 9.20. Tételé, és arra könnyen vissza is vezethető.
9.22. Tétel. Az függvény akkor és csak akkor folytonos az pontban, ha értelmezve van egy
környezetében, és minden sorozatra .
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy folytonos -ban, és legyen egy -hoz tartó sorozat. Adott -hoz van
úgy, hogy minden -ra. Mivel , ezért minden
elég nagy -re. Így minden elég nagy -re, amivel beláttuk, hogy .
Most tegyük fel, hogy valahányszor . A 9.20. Tétel szerint ebből következik, hogy , tehát folytonos -ban.
A későbbi alkalmazások miatt érdemes megfogalmazni a következő tételt.
9.23. Tétel. A véges határérték akkor és csak akkor létezik, ha minden sorozatra konvergens. Tehát a bal oldali határérték esetén elegendő csak monoton növekedő sorozatokat figyelembe venni. Hasonló állítás igaz a jobb oldali határértékre vonatkozólag.
Bizonyítás. A tétel bizonyításához csak azt kell belátnunk, hogy abból, hogy minden sorozatra az sorozat konvergens, következik, hogy minden , sorozatra az sorozat konvergens.
De ez egyszerű következménye annak, hogy minden , sorozat átrendezhető monoton növekedő sorozattá (lásd az 9.7. Tételt és az azt követő megjegyzést), és hogy ha az átrendezett sorozat konvergens, akkor az eredeti sorozat is konvergens (lásd a 4.5. Tételt).
Egy további – bár kevésbé mélyenfekvő – kapcsolat a függvények határértéke és a sorozatok határértéke között a következő. Egy végtelen sorozat tulajdonképpen a pozitív egész számok halmazán értelmezett függvény.
Tehát az , , , , sorozat határértéke az függvény -ben vett
határértéke, legalábbis a pozitív egész számok halmazára szorítkozva. Hogy ennek pontos értelmet tulajdoníthassunk, értelmezzük a határérték fogalmát egy halmazra szorítkozva.
9.24. Definíció. Legyen jelentése egy valós szám, vagy a , illetve szimbólumok valamelyike. Azt mondjuk, hogy torlódási pontja az számhalmaznak, ha minden környezetében -nak végtelen sok pontja van.
9.25. Definíció. Legyen az halmaz torlódási pontja. Az függvény határértéke -ban az halmazra szorítkozva , ha minden környezetéhez létezik -nak egy pontozott környezete úgy, hogy
9.9. egyenlet - (9.9)
Jelölés: .
9.26. Példa. Legyen a Dirichlet-függvény (a 8.7.Példa (9) függvénye). Tetszőleges valós számra
és , hiszen , ha racionális és , ha
irracionális. Nyilvánvaló, hogy minden valós szám torlódási pontja a racionális számok halmazának is és az irracionális számok halmazának is, tehát a fenti határértékeknek van értelme.
9.27. Megjegyzések. 1. Ezzel az értelmezéssel a határérték nem más, mint határértéke -ban az halmazra szorítkozva.
2. Az sorozat határértéke ( esetén) nem más, mint az függvény határértéke esetén az halmazra szorítkozva.
3. Ha az halmaznak nem torlódási pontja, akkor -nak van olyan pontozott környezete, amelyre . Ebben az esetben a definíció követelménye automatikusan teljesül (hiszen ekkor az
feltétel üres). Ekkor tehát (9.9) minden környezetére igaz. Ez azt mutatja, hogy csakis abban az esetben kapunk értelmes definíciót, ha torlódási pontja -nak.
A fentiek birtokában természetes a következő
9.28. Definíció. Legyen . Az függvény folytonos az pontban az halmazra szorítkozva,
ha minden -hoz létezik olyan , amelyre teljesül, hogy , ha
. Ha , akkor ahelyett, hogy folytonos az pontban -re szorítkozva, röviden azt is mondhatjuk, hogy folytonos -ban.
9.29. Megjegyzések. 1. Ennek az értelmezésnek a birtokában azt, hogy az pontban jobbról folytonos, úgy is megfogalmazhatjuk, hogy -ban folytonos az intervallumra szorítkozva.
2. A határérték definíciójával szemben a folytonosság értelmezésekor fel kell tennünk, hogy értelmezve van az pontban. Azt azonban nem kell feltennünk, hogy az pont az halmaznak torlódási pontja legyen. Ha , de nem torlódási pontja -nak, akkor azt mondjuk, hogy izolált pontja -nak. Könnyű belátni, hogy akkor és csak akkor izolált pontja -nak, ha van olyan , amelyre . Ebből következik, hogy ha izolált pontja -nak, akkor bármely függvény folytonos -ban -ra szorítkozva. Valóban, akármilyen -t megadva a fenti -ra teljesül, hogy , ha
, hiszen az utóbbi feltételt csak elégíti ki, és .
Gyakran használhatóak az alábbi egyszerű állítások, amelyek a 4.7., 4.8. és 4.10. Tételek megfelelői.
9.30. Tétel. (Rendőrszabály). Ha egy pontozott környezetében és
, akkor .
Bizonyítás. Az állítás a 4.7. és a 9.20. Tételek egyszerű következménye.
9.31. Tétel. Amennyiben
akkor van -nak olyan pontozott környezete, amelyre teljesül, hogy minden -ra.
9. Függvények folytonossága és teljesül egy pontozott környezetében, akkor .
Bizonyítás. Legyen az egy olyan pontozott környezete, amelyben . Tegyük fel, hogy . Ekkor az előző tétel szerint létezik -nak egy pontozott környezete úgy, hogy minden -re. Ez azonban lehetetlen, mert az halmaz nem üres, és minden elemére .
A következő tétel a Cauchy-kritérium függvényhatárértékre vonatkozó megfelelője.
9.35. Tétel. Legyen értelmezve egy pontozott környezetében. A határérték akkor és csak akkor létezik és véges, ha minden -hoz létezik -nak egy olyan pontozott környezete, hogy
9.10. egyenlet - (9.10)
valahányszor .
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy , és legyen adott. Ekkor létezik -nak egy olyan pontozott környezete, hogy minden -ra. Világos, hogy (9.10) teljesül minden
-ra.
Most tegyük fel, hogy a feltétel teljesül. Ha és minden -re, akkor az számsorozat kielégíti a Cauchy-kritérium feltételét. Valóban, adott -hoz válasszunk egy pontozott környezetet úgy, hogy (9.10) teljesüljön minden -ra. Mivel és minden -re, ezért van olyan , hogy
minden -re. Ha , akkor (9.10)-ből következően . Az 5.13.
Tétel szerint ebből következik, hogy az sorozat konvergens.
Rögzítsünk egy sorozatot, amelyre minden -re, és legyen . Ha
egy másik sorozat, amelyre minden -re, akkor az összefésült sorozat is kielégíti ezt a feltételt, tehát az sorozat is konvergens. Mivel ennek az sorozat részsorozata, ezért határértéke csak lehet. Másrészt az sorozat is részsorozata -nek, így . Ez minden olyan sorozatra teljesül, amelyre minden -re, így az átviteli
elv szerint .
3.1. Feladatok
9.18. Mutassuk meg, hogy minden függvényre van olyan sorozat, amelyre az
9.25. Bizonyítsuk be, hogy (i) minden korlátos végtelen halmaznak van véges torlódási pontja; és (ii) minden végtelen halmaznak van torlódási pontja.
9.26. Bizonyítsuk be, hogy ha a halmaznak csak egyetlen torlódási pontja van, akkor megszámlálható, és elemeinek van olyan sorozatba rendezése, amelyre a határérték létezik és egyenlő torlódási pontjával.
9.27. Melyek azok a számhalmazok, amelyeknek pontosan két torlódási pontjuk van?
9.28. Legyen , ha racionális, és , ha irracionális. Mit tudunk mondani a
, határértékekről?
4. Határérték és műveletek
Az eddigi példáknál az egyes függvények folytonosságát és határértékét közvetlenül a definícióból vezettük le.
A következő tételek – amelyek az átviteli elv, valamint a sorozatok határértékére vonatkozó analóg tételek közvetlen következményei – lehetőséget adnak arra, hogy egyes egyszerű függvények folytonosságának, illetve határértékének ismeretéből megállapítsuk további, bonyolultabb szerkezetű függvények folytonosságát, illetve, hogy kiszámítsuk a határértékeiket.
környezetében. Az átviteli elvből következik, hogy minden , sorozatra és
. Ezért a 4.12. Tétel következtében
9. Függvények folytonossága és határértéke
amiből viszont, ismét az átviteli elvet felhasználva, megkapjuk (i)-et. Hasonlóan bizonyítható (ii) és (iii).
9.37. Megjegyzések. 1. A bizonyítás első részében azt használtuk fel, hogy a sorozatokra vonatkozó feltétel szükséges, a második részben pedig azt, hogy elégséges a határérték létezéséhez.
2. A (iii) állításban nem tettük fel, hogy . Hogy a határérték mégis értelemmel bír, az abból következik, hogy ha , akkor szükségképpen létezik olyan pontozott környezete -nak, amelyben . Valóban, a 9.31. Tétel szerint, ha , akkor egy alkalmas pontozott környezetben
, ha pedig , akkor egy alkalmas -ban . 9.38. Példák. 1. A 9.36. Tétel egyszerű alkalmazásaként adódik, hogy
minden -ra. Ugyanis esetén
Itt a számlálónak , a nevezőnek tagja van, és ezek mindegyike 1-hez tart, ha .