Rövid történeti bevezetés
3. Határérték és műveletek
Az és sorozatok összegsorozatának nevezzük az sorozatot. A következő tétel azt állítja, hogy a legtöbb esetben az összegképzés és a limeszképzés felcserélhető műveletek, tehát az összeg limesze egyenlő a limeszek összegével.
4.12. Tétel.
i. Ha az és sorozatok konvergensek és , , akkor az sorozat is konvergens
és .
ii. Ha az sorozat konvergens, és , akkor .
iii. Ha az sorozat konvergens, és , akkor .
iv. Ha és , akkor .
v. Ha és , akkor .
Bizonyítás. (i) Érezhető, hogy ha közel van -hoz és közel van -hez, akkor közel van -hez. Lényegében ezt a tényt kell a határérték pontos értelmezését felhasználva kimutatni.
Ha és , akkor minden -hoz létezik és , amelyekre teljesül, hogy ,
ha és , ha . Ebből következik, a háromszög-egyenlőtlenséget felhasználva, hogy
ha .
Mivel tetszőleges volt, ez bizonyítja, hogy .
(ii) Ha konvergens, akkor a 3.13. Tétel szerint korlátos. Ez azt jelenti, hogy alkalmas -val
minden -re. Legyen tetszőleges. Mivel , ezért van olyan , hogy esetén .
Ekkor minden -ra. Mivel tetszőleges volt, ez bizonyítja, hogy . A (iii) állítás ugyanígy bizonyítható.
(iv) Tegyük fel, hogy és . Legyen tetszőleges. Ekkor van olyan és , hogy
esetén , és esetén . Ha , akkor .
Mivel tetszőleges volt, ez bizonyítja, hogy . Az (v) állítás ugyanígy bizonyítható.
Ha konvergens és , akkor a 4.12. Tétel (i) állítását a konstans sorozatra alkalmazva azt
kapjuk, hogy . Megfordítva, ha , akkor . Ezzel beláttuk a
következőt.
4.13. Következmény. Egy sorozat akkor és csak akkor tart a véges határértékhez, ha . A 4.12. Tétel állításai az alábbi táblázatban foglalhatók össze.
?
?
A táblázatban megjelenő kérdőjelek azt jelentik, hogy és megadott értékei nem határozzák meg értékét. Konkrétan, ha és (vagy fordítva), akkor pusztán ezt az információt felhasználva nem mondhatjuk meg, hogy mivel egyenlő. Lássunk néhány példát!
, ,
, ,
, ,
, ,
oszcillál va diverge ns.
Látható, hogy lehet konvergens, tarthat végtelenhez vagy mínusz végtelenhez, de lehet oszcillálva
divergens is. Ezt úgy fejezzük ki, hogy a határérték a és esetben
kritikus. Röviden azt is mondhatjuk, hogy a típusú határérték kritikus.
Most rátérünk a szorzat határértékére. Az és sorozatok szorzatsorozatának nevezzük az sorozatot.
4.14. Tétel.
i. Ha az és sorozatok konvergensek és , , akkor az sorozat is konvergens
és .
ii. Ha az sorozat konvergens, és , akkor
.
4. Végtelen számsorozatok (II.)
A 4.14. Tétel állításai az alábbi táblázatban foglalhatók össze.
0 0 0 0 ? ?
0
?
?
A kérdőjelek ismét a kritikus határértékeket jelzik. Amint az alábbi példák mutatják, kritikus, ha és . (Röviden: a típusú határérték kritikus.)
,
, oszcillálva divergens.
Hasonló példák mutatják, hogy a típusú határérték is kritikus.
Most rátérünk a hányados határértékének meghatározására. Tegyük fel, hogy minden -re. Az és sorozatok hányadossorozatának nevezzük az sorozatot.
4.16. Tétel. Tegyük fel, hogy az és sorozatoknak van határértéke, és hogy minden -re.
Ekkor az sorozat határértékét az alábbi táblázat adja meg.
0
? 0 0
0 0 ? 0 0 0
? 0 0
? ? ?
? ? ?
4.17. Lemma. Ha konvergens és , akkor .
Bizonyítás. Legyen adott; be kell látnunk, hogy , ha elég nagy. Mivel
ezért azt kell megmutatni, hogy ha nagy, akkor nagyon kicsi, míg nem nagyon kicsi. A
feltétel szerint létezik olyan , hogy esetén . Mivel , ezért találhatunk egy
olyan -t, amelyre , ha . Így -re , hiszen esetén
, esetén pedig . Ha tehát ,
akkor
Mivel tetszőleges volt, ez bizonyítja, hogy .
4.18. Lemma. Ha , akkor .
Bizonyítás. Legyen adott. Mivel , ezért van olyan , hogy -ra . Ekkor
esetén , tehát .
4.19. Következmény. Ha vagy , akkor .
Bizonyítás. Könnyű ellenőrizni, hogy ha vagy , akkor .
A 4.16. Tétel bizonyítása. Tegyük fel először, hogy és , . A 4.14. Tétel és a 4.17. Lemma szerint ekkor
Ha konvergens és vagy , akkor a 4.14. Tétel és a 4.19. Következmény szerint
4. Végtelen számsorozatok (II.)
Most tegyük fel, hogy és . Ekkor a 4.14. Tétel és a 4.17. Lemma szerint
hiszen . Ugyanígy látható, hogy és esetén ,
és esetén , illetve, hogy és esetén . Ezzel a
táblázat mindegyik (kérdőjeltől különböző) bejegyzését igazoltuk.
A 4.16. Tétel táblázatában a kérdőjelek ismét a kritikus határértékeket jelzik. Itt azonban a kritikusság két szintjét kell megkülönböztetnünk. Amint az alábbi példák mutatják, a típusú határérték kritikus, méghozzá ugyanabban az értelemben, ahogy pl. a típusú határérték is kritikus.
, ,
, , ,
,
,
, oszcillálva divergens.
Láthatjuk, hogy ha és , akkor lehet konvergens, tarthat végtelenhez vagy mínusz végtelenhez, de lehet oszcillálva divergens is.
Más a helyzet a 4.16. Tétel táblázatának többi kérdőjelével. Nézzük azt az esetet, amikor és
. Az , ; , és , példák azt mutatják, hogy
tarthat végtelenhez vagy mínusz végtelenhez, de lehet oszcillálva divergens is. Olyan példát azonban nem találhatunk, ahol konvergens lenne. Ez azonnal következik az alábbi tételből.
4.20. Tétel.
i. Tegyük fel, hogy és minden -re.Ekkor .
ii. Tegyük fel, hogy , és minden -re.Ekkor .
Bizonyítás. Elég (ii)-t bizonyítani. Legyen adott. Van olyan , hogy -ra és
. Ekkor esetén , tehát .
Végül tekintsük azt az esetet, amikor és . Az és , példák
mutatják, hogy lehet konvergens, és tarthat végtelenhez is. Most legyen
és . Világos, hogy , és megegyezik a 3.1. Példa (16) sorozatával, amely oszcillálva divergens. Olyan példát azonban nem találhatunk, ahol mínusz végtelenhez tartana. Ha ui. és , akkor és mindketten pozitívak minden elég nagy -re. Így is pozitív minden elég nagy -re, tehát nem tarthat mínusz végtelenhez. Hasonló megjegyzés vonatkozik a többi három olyan esetre, ahol
és végtelenhez vagy mínusz végtelenhez tart.
3.1. Feladatok
4.10. Bizonyítsuk be, hogy ha konvergens és divergens, akkor is divergens.
4.11. Igaz-e, hogy ha konvergens és divergens, akkor is divergens?
4.12. Igaz-e, hogy ha konvergens és divergens, akkor is divergens?
4.13. Bizonyítsuk be, hogy ha akkor .
4.14. Legyen , . Bizonyítsuk be, hogy .
4.15. Bizonyítsuk be, hogy ha és , akkor .