folytonossága és határértéke
7. Monotonitás és folytonosság
Ha ezen három feltétel bármelyike nem áll fenn, a függvény nem folytonos ban; ekkor azt mondjuk, hogy -nek -ban szakadási helye van. A szakadási helyeket a következőképpen osztályozzuk.
9.66. Definíció. Legyen értelmezve egy pontozott környezetében, és tegyük fel, hogy nem folytonos
-ban. Ha létezik és véges, de vagy , akkor azt mondjuk, hogy
-nek megszüntethető szakadási helye van -ban7.
Ha nem létezik, de a véges
határértékek mindketten léteznek (és ekkor szükségképpen különbözőek), akkor azt mondjuk, hogy -nek ugráshelye van -ban. A megszüntethető szakadási helyeket és az ugráshelyeket közösen elsőfajú szakadási helyeknek nevezzük.
Minden más esetben azt mondjuk, hogy -nek másodfajú szakadása van -ban.
Példák. 1. A és függvényeknek minden egész pontban ugráshelye van. Ugyancsak ugráshelye van a függvénynek a pontban.
2. A Riemann-függvénynek (9.8. Példa 3. függvénye) minden racionális pontban megszüntethető szakadása van.
3. A Dirichlet-függvénynek (8.7. Példa (9) függvénye) viszont minden pont másodfajú szakadási pontja.
Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a monoton függvények szakadási helyei elsőfajúak, és ezek is csak ugráshelyek lehetnek. Ez azzal ekvivalens, hogy egy monoton függvénynek minden pontban léteznek a féloldali határértékei.
9.67. Tétel. Legyen monoton növekedő a véges vagy végtelen nyílt intervallumban. Ekkor
7Ugyanis ekkor az értelmezéssel folytonossá tehető -ban.
i. minden esetén léteznek a véges és határértékek, és
ii. Ha felülről korlátos -ben, akkor létezik a véges határérték, ha pedig alulról korlátos -ben, akkor létezik a véges határérték.
iii. Ha felülről nem korlátos -ben, akkor , ha pedig alulról nem korlátos -ben,
akkor .
Hasonló állítás fogalmazható meg monoton csökkenő függvényre, illetve nem korlátos intervallumra. A tételre két bizonyítást adunk.
I. Bizonyítás. (i) Mivel minden -ra, ezért az halmaz felüről korlátos, és
egy felső korlátja. Legyen ; ekkor tehát .
Legyen adott. Mivel az halmaz legkisebb felső korlátja, ezért nem felső korlát. Így
létezik olyan , amelyre . Mármost monoton növekedése és értelmezése miatt
ha , amiből világos, hogy . Ezzel beláttuk, hogy létezik és
véges, valamint . Ugyanígy bizonyítható .
A (ii) és (iii) állítások hasonlóan bizonyíthatóak; (ii) első állításának bizonyításában szerepét veszi át.
II. Bizonyítás. Csak (i) bizonyítását részletezzük. A tatv3. Tétel szerint elegendő belátni, hogy minden sorozatra konvergens, és a limesze legfeljebb . Az függvény monotonitása miatt, ha , akkor is monoton növő, tehát létezik a (véges vagy végtelen) határértéke. Mivel pedig
minden -re, ezért .
9.68. Következmény. Ha monoton -ben, akkor minden pontban vagy folytonos, vagy pedig ugráshelye van: egy -ben monoton függvénynek más szakadási helye mint ugráshelye nem lehet.
Most megmutatjuk, hogy egy monoton függvénynek nemcsak hogy nem lehet akármilyen szakadási helye, de túl sok szakadási helye sem lehet.
9.69. Tétel. Ha monoton az nyílt intervallumban, akkor -ben legfeljebb megszámlálhatóan sok szakadási helye van.
Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy monoton növekedő -ben. Ha egy helyen nem folytonos, akkor . Legyen egy olyan racionális szám, amelyre
. Ha , akkor monoton növekedése miatt . Ezért,
ha -nek is, is szakadási helye, akkor .
9. Függvények folytonossága és határértéke
9.14. ábra
Ez azt jelenti, hogy a szakadási helyek és a racionális számok egy részhalmaza között egy-egyértelmű megfeleltetést hoztunk létre. Mivel a racionális számok megszámlálható halmazt alkotnak, -nek csak megszámlálhatóan sok szakadási helye van.
9.70. Megjegyzés. Megadva egy tetszőleges megszámlálható számhalmazt, konstruálható olyan monoton növő függvény, amely -ben monoton és a szakadási pontjainak halmaza éppen (lásd a 9.76. feladatot [147]). Így például konstruálható olyan -ben monoton növő függvény, amely minden irracionális helyen folytonos és minden racionális helyen nem folytonos.
A 9.45. Tételben beláttuk, hogy ha szigorúan monoton az intervallumon, akkor az inverze folytonos az halmazon. Ha az függvény maga is folytonos, akkor ezt a következőképpen egészíthetjük ki.
9.71. Tétel. Legyen szigorúan monoton növekedő és folytonos az intervallumban. Ekkor
i. szintén egy intervallum. Nevezetesen, ha , akkor ;
ha , ahol véges vagy végtelen, akkor ;
ha , ahol véges vagy végtelen, akkor ;
ha pedig , ahol és véges vagy végtelen, akkor .
ii. inverz függvénye, szigorúan monoton növekedő és folytonos az intervallumon -re szorítkozva.
Hasonló állítás fogalmazható meg szigorúan monoton csökkenő és folytonos függvényekre.
Bizonyítás. Csak (i)-et kell belátnunk. Ha , akkor nyilvánvaló a Bolzano–
Darboux-tételből.
9.15. ábra
Tegyük fel, hogy . Világos, hogy ekkor . Ha , akkor
válasszunk egy pontot, amelyre . A Bolzano–Darboux-tétel szerint minden és
közötti értéket felvesz az intervallumon, tehát .
Ezzel beláttuk, hogy . Az állítás bizonyításához már csak azt
kell belátni, hogy . Valóban, ha és , ahol , akkor esetén
, tehát .
A többi állítás ugyanígy bizonyítható.
9. Függvények folytonossága és határértéke
9.16. ábra
9.72. Megjegyzés. Az előző tétel szerint egy intervallumon értelmezett függvény inverze létezik és szintén egy korlátos zárt intervallumon van értelmezve, ha az függvény szigorúan monoton és folytonos. Ez a feltétel azonban távolról sem szükséges, amint az alábbi példa mutatja.
Legyen
Egyszerűen belátható, hogy -ben
a) semmilyen részintervallumban nem monoton,
b) az pont kivételével sehol sem folytonos; és mégis, c) inverz függvénye létezik.
Ráadásul , azaz a intervallumnak önmagára való kölcsönösen egyértelmű, sehol sem monoton, egy pont kivételével sehol sem folytonos leképezése.
Belátható azonban, hogy ha folytonos egy intervallumban, akkor szigorú monotonitása szükséges és elégséges feltétele az inverz függvény létezésének (lásd a 9.54. feladatot [138]).
7.1. Feladatok
9.75. Adjunk meg egy olyan függvényt, amely monoton és végtelen sok szakadási helye van.
9.76. Bizonyítsuk be, hogy minden megszámlálható halmazhoz van olyan monoton növő függvény, amely minden pontjában szakad, és minden pontjában folytonos. (Ö)
9.77. Legyen értelmezve az pont egy környezetében, és legyen
minden -ra. Bizonyítsuk be, hogy a és határértékek
léteznek, továbbá, hogy akkor és csak akkor folytonos -ban, ha .
9.78. Létezhet-e inverz függvénye -nek -ben, ha és az függvénynek -ben pontosan két szakadási pontja van?
9.79. Konstruáljunk olyan függvényt, amely minden nullától különböző pontban folytonos, és amelynek a nullában másodfajú szakadása van.
9.80. Legyen olyan függvény, amelyre minden -re. Igaz-e, hogy monoton növő? (Ö)
9.81. Bizonyítsuk be, hogy bármely függvény elsőfajú szakadási helyeinek halmaza megszámlálható. (Ö)
9.82. Bizonyítsuk be, hogy ha az függvénynek minden racionális pontban elsőfajú szakadása van, akkor van olyan irracionális pont, amelyben folytonos. (Ö)