folytonossága és határértéke
2. Exponenciális függvények és hatványfüggvények
Mielőtt e két fontos függvényosztályt definiálnánk, beváltjuk régi ígéretünket (melyet még a 2.27. Tétel után tettünk), és megmutatjuk, hogy a hatványozás azonosságai érvényben maradnak tetszőleges valós kitevők esetén is.
Az egyszerű bizonyítást az teszi lehetővé, hogy időközben megismertük a sorozatok határértékének fogalmát és alaptulajdonságait. A következő segédtételre mindhárom azonosság bizonyítása során támaszkodni fogunk.
10.3. Lemma. Ha és , akkor .
Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy . A 2.25. Tételben beláttuk, hogy
10. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények)
és a közös érték definíció szerint . Legyen adott. Ekkor léteznek olyan és racionális számok, melyekre
Mivel , ezért alkalmas -ra , ha . Mármost a 2.27. Tétel szerint bármely
esetén . Így minden -ra
Mivel tetszőleges volt, ezzel beláttuk, hogy .
Ugyanígy bizonyítható az állítás, ha , míg az eset nyilvánvaló.
10.4. Tétel. Tetszőleges -ra és valós kitevőkre
10.4. egyenlet - (10.4)
Bizonyítás. Az azonosságokat racionális kitevőkre már beláttuk a 2.23. Tételben.
Először belátjuk, hogy (10.4) első két azonossága fennáll minden pozitív és valós számra. Válasszunk olyan, racionális számokból álló és sorozatokat, melyek -hez, illetve -hoz tartanak. (Ha pl.
és minden -re, akkor a kapott sorozatok
megfelelnek.) Így a 10.3. Lemma alapján
és
A harmadik azonosság bizonyítását csak az és , esetben részletezzük. (A többi eset hasonlóan igazolható, vagy a reciprokra való áttéréssel erre az esetre visszavezethető.)
Legyenek most és olyan racionális tagú sorozatok, melyekre és minden -re. Ekkor
10.5. egyenlet - (10.5)
Itt a 2.27. Tételen kívül a középső egyenlőtlenségben felhasználtuk azt a tényt is, hogy ha és
racionális, akkor . Ez abból következik, hogy , hiszen és ismét
alkalmazhatjuk a 2.27. Tételt. Mármost (10.5)-ből azt kapjuk, hogy
Az egyenlőtlenség hasonlóan bizonyítható, ha olyan és racionális tagú
sorozatokat veszünk, melyekre és minden -re.
Megjegyezzük, hogy (10.4) második azonossága szerint
és így teljesül minden és valós számra.
Immár rátérhetünk az exponenciális és hatványfüggvények definíciójára. Ha az hatványban az alapot rögzítettnek, a kitevőt pedig változónak képzeljük, akkor megkapjuk az exponenciális függvényeket; ha a kitevőt tekintjük rögzítettnek és az alapot változónak, akkor megkapjuk a hatványfüggvényeket. A pontos definíció a következő.
10.5. Definíció. Tetszőleges -ra az ( ) függvényt alapú exponenciális függvénynek nevezzük.
Tetszőleges -re az ( ) függvényt kitevőjű hatványfüggvénynek nevezzük.
Mivel minden -re, ezért az azonosan függvény egyike az exponenciális függvényeknek. Hasonlóan, az és összefüggések alapján a félegyenesen értelmezett azonosan , illetve függvény mindegyike hatványfüggvény.
Az exponenciális függvények legfontosabb tulajdonságait a következő tétel foglalja össze.
10.6. Tétel.
i. Ha , akkor az exponenciális függvény mindenütt pozitív, szigorúan monoton növő és folytonos -en, valamint
10.6. egyenlet - (10.6)
ii. Ha , akkor az exponenciális függvény mindenütt pozitív, szigorúan monoton csökkenő és folytonos -en, valamint
iii. Tetszőleges -ra az függvény konvex -ben.
Bizonyítás. Azt, hogy esetén az függvény pozitív és szigorúan monoton növő, már beláttuk a 2.27. Tételben. Így a 9.67. Tétel szerint a és határértékek léteznek. Mivel pedig és , ha , ezért (10.6) fennáll. Ugyanígy bizonyíthatók a esetre vonatkozó analóg állítások.
10.1. ábra
10. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények)
Az exponenciális függvények folytonossága nyilvánvaló a 10.3. Lemmából, felhasználva a folytonosságra vonatkozó átviteli elvet (9.20. Tétel). Ezzel az (i) és (ii) állításokat beláttuk.
Legyen és . Ha a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az és számokra alkalmazzuk, akkor azt kapjuk, hogy
Ez azt jelenti, hogy az függvény gyengén konvex. Mivel folytonos is, ezért a 9.75. Tétel szerint konvex.
A hatványfüggvények megfelelő tulajdonságait a következő tétel fogalmazza meg.
10.7. Tétel.
i. Ha , akkor az hatványfüggvény pozitív, szigorúan monoton növő és folytonos a félegyenesen, valamint
ii. Ha , akkor az hatványfüggvény pozitív, szigorúan monoton csökkenő és folytonos a félegyenesen, valamint
iii. Ha vagy , akkor az hatványfüggvény konvex -ben. Ha , akkor konkáv -ben.
10.2. ábra
A tétel bizonyításához szükségünk lesz a Bernoulli-egyenlőtlenség (1.5. Tétel) általánosítására.
10.8. Tétel. Legyen .
i. Ha vagy , akkor .
ii. Ha , akkor .
Bizonyítás. Az állítást nemnegatív kitevőkre már beláttuk a 2.33. feladatban [46]. A következő egyszerű bizonyítás az exponenciális függvény konvexitásán alapszik.
Változtassuk meg a jelölést: írjunk helyett -t és helyett -et. Azt kell belátnunk, hogy ha , akkor
esetén , míg esetén . Mindkét állítás abból
következik, hogy az függvény konvex. Ugyanis a és pontokhoz tartozó húr egyenlete éppen
; más szóval . Így esetén az egyenlőtlenség a
konvexitás definíciójából következik, míg esetén a 9.73. Lemma szerint.
A 10.7. Tétel bizonyítása. (i) Legyen . Ha , akkor a 2.27. Tétel szerint. Ha tehát , akkor
amivel megmutattuk, hogy az függvény szigorúan monoton növő. Mivel tetszőleges -ra , ha
, ezért . Hasonlóan, tetszőleges -ra , ha , ezért
. (Mindkét okoskodásban felhasználtuk, hogy minden -ra.)
Legyen tetszőleges; belátjuk, hogy az függvény folytonos -ban. Ha , akkor az kitevőjű hatványfüggvény monotonitása alapján
Ha tehát
akkor
Ezzel folytonosságát beláttuk.
A (ii) állítás ugyanígy bizonyítható.
(iii) Mivel az függvény folytonos, ezért elég belátni, hogy és esetén gyengén konvex, esetén pedig gyengén konkáv.
Tekintsük először azt az esetet, amikor vagy . Be kell látnunk, hogy
10.7. egyenlet - (10.7)
minden -ra. Vezessük be az jelöléseket. Ekkor . A 10.8.
Tétel (i) állítása szerint és . Ebből
Ha ezt az egyenlőtlenséget beszorozzuk -nel, akkor megkapjuk (10.7)-et.
Most tegyük fel, hogy ; be kell látnunk, hogy . Ezt a fenti okoskodás szó
szerinti megismétlésével kaphatjuk meg, csak a 10.8. Tétel (ii) állítását kell alkalmaznunk (i) helyett.
A 10.8. Tétel egy másik alkalmazásaként megvizsgáljuk az függvényt.
10.9. Tétel. Az függvény monoton nő a és félegyenesek mindegyikén, és
10.8. egyenlet - (10.8)
10. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények)
Bizonyítás. Ha , akkor , tehát a 10.8. Tételből
és így a hatványfüggvény monotonitása alapján
10.9. egyenlet - (10.9)
Ha viszont , akkor , tehát a 10.8. Tételből
és így az kitevőjű hatványfüggvény monoton csökkenéséből ismét megkapjuk (10.9)-et. Ezzel beláttuk, hogy monoton növő a megadott félegyeneseken.
A 9.67. Tétel szerint ebből következik, hogy -nek létezik a határértéke mindkét végtelenben. Mivel (hiszen ez volt az szám definíciója), ezért a végtelenben vett határérték csak lehet.
Másrészt
tehát
Ezzel (10.8) első egyenlőségét is megkaptuk.
A 10.9. Tételt a következőképpen általánosíthatjuk.
10.10. Tétel. Tetszőleges valós számra
10.10. egyenlet - (10.10)
Bizonyítás. Az állítás -ra nyilvánvaló. Ha , akkor az összetett függvény határértékére vonatkozó 9.41. Tételt alkalmazva
és így a kitevőjű hatványfüggvény folytonossága alapján
Ugyanígy adódik a -ben vett határérték, illetve a eset.
10.11. Következmény. Tetszőleges valós számra .
Bizonyítás. A 9.41. Tétel kétszeri alkalmazásával
A 10.10. Tétel szerint
10.11. egyenlet - (10.11)
minden valós számra. E ténynek több nevezetes alkalmazása van.
10.12. Példák. 1. Tegyük fel, hogy egy bank a betétekre évi százalék kamatot fizet. Egy forintos betét tehát egy év elteltével forintra nő, ahol . Ha azonban az forint után fél év elteltével felvesszük a százalék kamatot, majd a kamattal megnövelt összeget kamatoztatjuk, akkor az év végére az
összeg lesz. Ha most az évet egyenlő részre osztjuk, a
kamatot minden eltelt év után felvesszük és a kamattal megnövelt összeget kamatoztatjuk tovább, akkor az év végére a betét értéke lesz. Ez a sorozat monoton növő (miért?) és, mint láttuk, a határértéke . Ez azt jelenti, hogy akárhányszor vesszük is fel a kamatot egy éven belül, a betétet nem növelhetjük fölé, de az értéket tetszőlegesen megközelíthetjük.
2. Ebben az alkalmazásban azt vizsgáljuk, hogy egy bizonyos anyag (mondjuk az ablaküveg) egy bizonyos