Rövid történeti bevezetés
6. Korlátos számhalmazok
Ha egy számhalmaz véges és nem üres, akkor az elemei között biztosan van legnagyobb. (Ezt könnyen beláthatjuk az elemszámára vonatkozó teljes indukcióval.) Ha azonban egy számhalmaznak végtelen sok eleme van, akkor ezek között már nem szükségképpen van legnagyobb. Nyilvánvaló, hogy az , vagy halmazok egyikének sincs legnagyobb eleme. Ezen halmazok mindegyike rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy bármely valós számnál van nagyobb elemük. (Az halmaz esetében ezt az arkhimédészi axióma biztosítja.) Világos, hogy egy ilyen halmaznak sohasem lehet legnagyobb eleme.
Érdekesebbek azok a példák, amelyek nem rendelkeznek a fenti tulajdonsággal, tehát amelyekhez van olyan szám, amelynél minden elemük kisebb. Ilyen pl. az nyílt intervallum, amelynek minden eleme kisebb -nél. Ennek ellenére az halmaznak nincs legnagyobb eleme. Valóban, ha , akkor , és így a 2.40. Tétel szerint van olyan szám, amelyre , és ekkor automatikusan . Egy másik példát szolgáltat a
2.8. egyenlet - (2.8)
halmaz. Ennek minden eleme kisebb -nél. Még sincs legnagyobb eleme, hiszen bármelyik eleménél nagyobb lesz a következő elem.
Ezeknek a jelenségeknek a jobb megértéséhez bevezetjük a következő elnevezéseket. Ha egy számhalmaznak van legnagyobb (vagy más szóval maximális) eleme, akkor ezt -val jelöljük. Ha az számhalmaznak van legkisebb (vagy más szóval minimális) eleme, akkor ennek jelölése . Ha az
halmaz véges, , akkor helyett írhatunk -t, és helyett
-t.
2.14. Definíció. Azt mondjuk, hogy az számhalmaz felülről korlátos, ha van olyan szám, hogy minden elemére teljesül (vagyis amelynél egyetlen eleme sem nagyobb). Minden ilyen tulajdonságú számot az halmaz felső korlátjának nevezünk. Az számhalmaz tehát pontosan akkor felülről korlátos, ha van felső korlátja.
Az számhalmazt alulról korlátosnak nevezzük, ha van olyan szám, hogy minden elemére teljesül (vagyis amelynél egyetlen eleme sem kisebb). Minden ilyen tulajdonságú számot az halmaz alsó korlátjának nevezünk. Az számhalmaz tehát pontosan akkor alulról korlátos, ha van alsó korlátja.
Az számhalmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülről is korlátos.
Ismételjük át a fentieket ezen fogalmak felhasználásával! Ha létezik, akkor nyilván felső korlátja is -nak, tehát ekkor felülről korlátos. Így fennállnak az alábbi implikációk:
A fordított implikációk általában nem igazak, hiszen pl. az zárt szakasznak van legnagyobb eleme, de nem véges, és – amint azt már láttuk –, az halmaz felülről korlátos, de nincs legnagyobb eleme. A (2.8.)-ban definiált halmaz ugyancsak felülről korlátos, de -nek sincs legnagyobb eleme.
További példák: Az halmaz alulról korlátos (sőt van legkisebb eleme), de felülről nem korlátos.
nem korlátos sem alulról, sem felülről.
Minden véges intervallum korlátos halmaz.
A félegyenesek nem korlátosak.
A halmaz korlátos, hiszen legnagyobb eleme , tehát ez egyben felső korlátja is.
Másrészt minden eleme nemnegatív, tehát alsó korlát. A halmaznak nincs legkisebb eleme.
Jegyezzük meg, hogy a halmaznak a legnagyobb alsó korlátja. Valóban, ha , akkor az arkhimédészi axióma szerint van olyan , amelyre . Mivel , ez éppen azt jelenti, hogy nem alsó korlát.
Hasonló jelenséget figyelhetünk meg az nyílt intervallum esetében. Mint láttuk, a halmaznak nincs legnagyobb eleme. De itt is találunk legkisebb felső korlátot: könnyű belátni, hogy az halmaznak a szám a legkisebb felső korlátja. Vagy vegyük a (2.8.)-ban definiált halmazt. Ennek sincs legnagyobb eleme, de nem nehéz belátni, hogy a felső korlátjai között itt is van legkisebb, nevezetesen az . A következő, alapvető fontosságú tétel azt mondja ki, hogy ez minden felülről korlátos (és nemüres) halmaz esetében így van. Mielőtt a tételt kimondanánk, jegyezzük meg, hogy ha egy halmaznak a szám felső korlátja, akkor minden -nél nagyobb szám is felső korlát lesz. Ezért egy felülről korlátos halmaznak mindig végtelen sok felső korlátja van.
2.15. Tétel. Minden felülről korlátos és nemüres számhalmaznak van legkisebb felső korlátja.
Bizonyítás. Legyen egy felülről korlátos és nemüres számhalmaz. Az halmaz legkisebb felső korlátját egy egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozat közös pontjaként fogjuk megkonstruálni (hasonlóan a 2.6. Tétel bizonyításához).
2. Valós számok
Legyen az halmaz egy felső korlátja. Legyen továbbá egy tetszőleges eleme -nak (ilyen van, hiszen a feltevés szerint ), és válasszunk egy tetszőleges számot. Ekkor nem felső korlátja -nak,
és (hiszen ).
Tegyük fel, hogy egész, és az számokat már meghatároztuk úgy, hogy nem felső korlátja, pedig felső korlátja -nak. Két esetet különböztetünk meg. Ha nem felső korlátja -nak, akkor legyen
Ha viszont felső korlátja -nak, akkor legyen
Világos, hogy mindkét esetben , továbbá nem felső korlátja, pedig felső korlátja -nak.
Ezzel az és számokat minden -re definiáltuk. A definícióból következik, hogy az
intervallumok egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatot alkotnak, tehát a Cantor-axióma szerint van közös pontjuk. Azt is megállapíthatjuk, hogy csak egy közös pont van. A 2.5. Tétel szerint ehhez elég belátni, hogy minden számhoz van olyan , amelyre . Mármost könnyen látható (ugyanúgy, mint minden -re. (Itt a harmadik egyenlőtlenség abból következik, hogy felső korlát.) Ez azt jelenti, hogy is közös eleme az intervallumoknak, ami lehetetlen. Ezzel beláttuk, hogy
A fenti bizonyítás értelemszerű módosításával megkaphatjuk a 2.15. Tételnek [41] az alsó korlátokra vonatkozó párját.
2.16. Tétel. Minden alulról korlátos és nemüres számhalmaznak van legnagyobb alsó korlátja.
A 2.16. Tételt vissza is vezethetjük a 2.15. Tételre [41]. Valóban, legyen nemüres, alulról korlátos halmaz.
Könnyű ellenőrizni, hogy a halmaz nemüres és felülről korlátos. A 2.15. Tétel [41] szerint -nek van legkisebb felső korlátja. Ha a halmaz legkisebb felső korlátja, akkor könnyen láthatóan az halmaz legnagyobb alsó korlátja lesz.
A fenti okoskodás felhasználta a testaxiómákat (hiszen már a számok értelmezéséhez is szükségünk van az első négy axiómára). Érdemes megjegyezni, hogy a 2.16. Tételnek van olyan bizonyítása is, amely a 2.15.
Tételen [41] kívül csak a rendezési axiómákat használja fel (lásd a 2.25. feladatot [44]).
2.17. Definíció. Egy felülről korlátos és nemüres számhalmaz legkisebb felső korlátját felső határának vagy szuprémumának nevezzük, és -val jelöljük. Egy alulról korlátos és nemüres számhalmaz legnagyobb alsó korlátját alsó határának vagy infimumának nevezzük, és -val jelöljük.
A teljesség kedvéért az infimum és szuprémum értelmezését kiterjesztjük nem korlátos halmazokra is.
2.18. Definíció. Ha az halmaz felülről nem korlátos, akkor azt mondjuk, hogy felső határa vagy szuprémuma végtelen, és ezt úgy jelöljük, hogy . Ha az halmaz alulról nem korlátos, akkor azt mondjuk, hogy alsó határa vagy infimuma mínusz végtelen, és ezt úgy jelöljük, hogy .
2.19. Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy (illetve ) akkor és csak akkor teljesül, ha -nak van legnagyobb (illetve legkisebb) eleme, és ekkor (illetve ). A nemüres halmaz infimuma és szuprémuma akkor és csak akkor egyenlő, ha az halmaz egyelemű.
Az halmazok komplexusösszegének nevezzük és -vel jelöljük az
halmazt. A halmazok és a komplexusösszegük szuprémumai és infimumai között az alábbi egyszerű kapcsolat áll fenn.
2.20. Tétel. Ha nemüres halmazok, akkor és
.
Ha és bármelyike végtelen, akkor az állítás úgy értendő, hogy is végtelen.
Hasonlóan, ha és bármelyike mínusz végtelen, akkor az állítás úgy értendő, hogy is mínusz végtelen.
Bizonyítás. Csak a szuprémumra vonatkozó állítást bizonyítjuk. Amennyiben , akkor nem korlátos felülről. Nyilvánvaló, hogy ekkor sem korlátos felülről, tehát .
Most tegyük fel, hogy és mindketten végesek. Ha és , akkor
, tehát az halmaz felső korlátja.
Másrészt, ha az halmaz egy felső korlátja, akkor tetszőleges -ra és -re , azaz
, tehát az halmaz egy felső korlátja. Így , azaz minden
-re, tehát a halmaz egy felső korlátja. Ebből , azaz
, amivel beláttuk, hogy az halmaz legkisebb felső korlátja.
6.1. Feladatok
2.18. Legyen egy valós számokból álló halmaz. A halmaz milyen tulajdonságait fejezik ki az alábbi állítások?
a. ;
b. ;
c. .
2.19. Bizonyítsuk be, hogy
2.20. Legyen . Mit tudunk mondani , és , , illetve
kapcsolatáról?
2.21. Legyen , és
Határozzuk meg – amennyiben léteznek – a fenti halmazok szuprémumát, infimumát, maximumát, minimumát.
2.22. Legyen tetszőleges halmazokra. Milyen kapcsolatot tudunk
megállapítani , , , és , között? És ha feltesszük, hogy
2. Valós számok
2.23. Legyen egy tetszőleges számhalmaz, továbbá
Milyen kapcsolatot tudunk megállapítani , , , , , között?
2.24. Bizonyítsuk be, hogy ha , és , illetve ,
akkor , azaz . (Ilyen módon is beláthatjuk létezését
esetén.)
2.25. Legyen rendezett halmaz. (Ez azt jelenti, hogy adott -en egy reláció, amely kielégíti a rendezési axiómák közül az első kettőt, azaz trichotóm és tranzitív.) Tegyük fel, hogy valahányszor egy -beli nemüres halmaznak van felső korlátja, akkor van legkisebb felső korlátja. Mutassuk meg, hogy ha egy -beli nemüres halmaznak van alsó korlátja, akkor van legnagyobb alsó korlátja. (Ö)
2.26. A halmazt konvexnek nevezzük, ha , esetén teljesül. Bizonyítsuk be, hogy egy halmaz akkor és csak akkor konvex, ha intervallum. (Használjuk fel a legkisebb felső korlát és a legnagyobb alsó korlát létezésére vonatkozó tételt.) Mutassuk meg, hogy a Cantor-axióma feltételezése nélkül ez nem volna igaz.
2.27. Tegyük fel a testaxiómákat, a rendezési axiómákat, és azt az állítást, hogy ha egy nemüres halmaznak van felső korlátja, akkor van legkisebb felső korlátja. Vezessük le ebből az arkhimédészi axiómát és a Cantor-axiómát. ( M)