Rövid történeti bevezetés
7. fejezet - Megszámlálható halmazok
A sorozatok tárgyalásánál már felhívtuk a figyelmet arra, hogy gondosan meg kell különböztetnünk az sorozatot a tagjaiból képzett halmaztól. Azt fogjuk mondani, hogy az sorozat felsorolja a halmaz elemeit, ha . (A halmaz elemei és így az sorozat tagjai tetszőlegesek lehetnek, tehát nem csak valós számokból álló sorozatokat tekinthetünk.) Ha van olyan sorozat, amely felsorolja elemeit, akkor azt mondjuk, hogy felsorolható. Nyilvánvaló, hogy minden véges halmaz felsorolható, hiszen ha
, akkor az sorozatra teljesül . Tegyük most fel, hogy
végtelen. Megmutatjuk, hogy ha van olyan sorozat, amely felsorolja elemeit, akkor ezek között olyan is van, amelynek a tagjai páronként különbözőek. Valóban, válasszunk ki minden eleméhez egy olyan tagot, amelyre . Az így kiválasztott tagok (az indexeik sorrendjében) -nek egy részsorozatát alkotják. Ha minden -ra, akkor a sorozat tagjai páronként különbözőek, és .
Mint minden sorozat, így is egy olyan függvény, amely az halmazon van értelmezve. Mivel a tagjai különbözőek és , ez azt jelenti, hogy a leképezés kölcsönösen egyértelmű az és halmazok között. (Lásd a 54. oldal lábjegyzetét.)
Azt láttuk be, hogy egy halmaz elemei akkor és csak akkor felsorolhatóak, ha véges vagy pedig van és között egy kölcsönösen egyértelmű leképezés.
7.1. Definíció. A halmazt megszámlálhatóan végtelennek nevezzük, ha és elemei között létezik kölcsönösen egyértelmű leképezés. A halmaz megszámlálható, ha véges vagy megszámlálhatóan végtelen.
Ezen elnevezések birtokában a fenti okoskodást úgy foglalhatjuk össze, hogy egy halmaz akkor és csak akkor felsorolható, ha megszámlálható.
Nyilvánvaló, hogy megszámlálható: tekintsük a sorozatot. Azt is könnyű belátni, hogy is megszámlálható: a sorozat minden egész számot tartalmaz. Ennél meglepőbb a következő tétel.
7.2. Tétel. A racionális számok halmaza megszámlálható.
Bizonyítás. Azt kell belátnunk, hogy van olyan sorozat, amely felsorolja a racionális számokat. Egy ilyen sorozat például:
7.1. egyenlet - (7.1)
7. Megszámlálható halmazok
7.1. ábra
Itt a törteket (ahol , egészek, és ) a összeg nagysága szerint soroltuk fel. Minden -re valamilyen sorrendben leírtuk az összes olyan törtet, melyekre , majd az értékekhez tartozó így kapott véges sorozatokat egymás után írva egyetlen végtelen sorozatot képeztünk. Világos, hogy ilyen módon minden racionális számot felsoroltunk.
Hasonló módszerrel a racionális számoknál jóval bővebb halmazokról is beláthatjuk, hogy megszámlálhatóak.
Azt mondjuk, hogy az komplex szám algebrai, ha gyöke egy nem azonosan nulla egész együtthatós polinomnak. Világos, hogy minden racionális szám algebrai, hiszen gyöke a polinomnak. A szám szintén algebrai, mert gyöke -nek.
7.3. Tétel. Az algebrai számok halmaza megszámlálható.
Bizonyítás. Az polinom súlyán a számot fogjuk érteni.
Világos, hogy minden -re csak véges sok olyan egész együtthatós polinom van, amelynek a súlya . Ebből következik, hogy van olyan sorozat, amely minden egész együtthatós nemkonstans polinomot tartalmaz. Valóban, először soroljuk fel azokat az egész együtthatós nemkonstans polinomokat, melyek súlya 2.
Írjuk ezek után azokat, melyek súlya 3 és így tovább. Így minden egész együtthatós nemkonstans polinomot felsoroltunk, hiszen egy ilyen polinom súlya nem lehet 0 vagy 1. Az polinomok mindegyikének csak véges sok gyöke van (lásd a 10.1. Lemmát). Soroljuk fel az polinom gyökeit valamilyen sorrendben, írjuk utánuk gyökeit, és így tovább. Így egyetlen sorozatban felsoroltuk az összes algebrai számot, amivel a tételt bebizonyítottuk.
A következő tétel szerint a halmazelméleti műveletek (unió, metszet, különbség) nem vezetnek ki a megszámlálható halmazok köréből.
7.4. Tétel.
i. Egy megszámlálható halmaz minden részhalmaza is megszámlálható.
ii. Két megszámlálható halmaz uniója is megszámlálható.
Bizonyítás. (i) Legyen megszámlálható és . Tegyük fel, hogy az sorozat felsorolja az halmaz elemeit. Válasszunk ki minden eleméhez egy olyan tagot, amelyre . Az így kiválasztott tagok (az indexeik sorrendjében) -nek egy olyan részsorozatát alkotják, amely felsorolja elemeit.
(ii) Ha az és sorozatok felsorolják az és halmazok elemeit, akkor az sorozat felsorolja elemeit.
A fenti (ii) állításból azonnal adódik (teljes indukcióval), hogy véges sok megszámlálható halmaz uniója is megszámlálható. A következő tétel szerint több is igaz.
7.5. Tétel. Megszámlálhatóan végtelen sok megszámlálható halmaz uniója is megszámlálható.
Bizonyítás. Legyenek az halmazok megszámlálhatóak, és legyen minden -ra olyan sorozat, amely felsorolja elemeit. Ekkor az
sorozat felsorolja elemeit. A sorozatot úgy kaptuk, hogy minden -re egymás után írtuk az véges sorozatokat.
Az előző tételek alapján jogosan vetődik fel a kérdés, hogy vannak-e egyáltalán nemmegszámlálható halmazok?
A következő tétel erre ad választ.
7.6. Tétel. A valós számok halmaza nem megszámlálható.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy megszámlálható, és legyen valós számok egy olyan sorozata, amely minden valós számot tartalmaz. Úgy fogunk ellentmondásra jutni, hogy konstruálunk egy valós számot, amely nem tagja a sorozatnak. Két konstrukciót is mutatunk. I. Az első konstrukció a következő egyszerű észrevételen alapszik: ha zárt intervallum és egy adott szám, akkor -nek van olyan zárt részintervalluma, amely nem tartalmazza -t. Ez nyilvánvaló: kiválasztva két diszjunkt zárt részintervallumát, ezek közül legalább az egyik nem tartalmazza -t.
Legyen olyan zárt intervallum, amely nem tartalmazza -et. Legyen olyan zárt részintervalluma -nek, amelyre . Az eljárást induktíve folytatva legyen olyan zárt részintervalluma -nek, amelyre . A Cantor-axióma szerint az intervallumoknak van közös pontjuk. Ha , akkor minden -re, hiszen , de . Ezzel beláttuk, hogy nem tagja a sorozatnak, és ezt kellett bizonyítani.
II. Egy másik konstrukció hasonló tulajdonságú -re a következő. Tekintsük az számok tizedestört-alakját:
Legyen , ahol , ha és , ha . Világos, hogy különbözik mindegyik
-től.
7. Megszámlálható halmazok
A 7.4. és 7.6. tételekből azonnal következik, hogy az irracionális számok halmaza nem megszámlálható. Ha ugyanis megszámlálható lenne, akkor – mivel is az – is megszámlálható lenne, holott nem az. Egy számot transzcendensnek nevezünk, ha nem algebrai. Az előző okoskodás megismétlésével – felhasználva, hogy az algebrai számok halmaza megszámlálható – azt kapjuk, hogy a transzcendens számok halmaza sem megszámlálható.
7.7. Definíció. Ha két halmaz, és között kölcsönösen egyértelmű leképezés hozható létre, akkor a két halmazt ekvivalensnek vagy azonos számosságúnak nevezzük, és ezt úgy jelöljük, hogy .
A fenti definíció értelmében egy halmaz akkor és csak akkor megszámlálhatóan végtelen, ha . Azonnal látható, hogy ha és , akkor . Valóban, ha egy kölcsönösen egyértelmű leképezés -ról -re és egy kölcsönösen egyértelmű leképezés -ről -re, akkor az (
) leképezés kölcsönösen egyértelmű -ról -re.
7.8. Definíció. A halmazt kontinuum számosságúnak nevezzük, ha ekvivalens -rel.
Megmutatjuk, hogy mind az irracionális számok halmaza, mind pedig a transzcendens számok halmaza kontinuum számosságú. Ehhez szükségünk lesz a következő egyszerű lemmára.
7.9. Lemma. Ha végtelen és megszámlálható, akkor .
Bizonyítás. Először is belátjuk, hogy tartalmaz megszámlálhatóan végtelen részhalmazt. Valóban, mivel végtelen, ezért nemüres, és így kiválaszthatjuk egy elemét. Ha az elemeket már
kölcsönösen egyértelmű leképezés -ról -re.
7.10. Tétel. Mind az irracionális, mind pedig a transzcendens számok halmaza kontinuum számosságú.
Bizonyítás. Az előző tétel szerint , tehát kontinuum számosságú. Az okoskodás értelemszerű módosítása adja, hogy a transzcendens számok halmaza is kontinuum számosságú.
7.11. Tétel. Minden nem elfajuló intervallum kontinuum számosságú.
Bizonyítás. A nyílt intervallum kontinuum számosságú, ugyanis az függvény
kölcsönösen egyértelműen ráképezi -et -re. (Az függvény inverze
. Mivel minden nyílt intervallum ekvivalens -gyel (a függvény -et -re képezi), így minden nyílt intervallum kontinuum számosságú.
Mármost a 7.9. Lemma szerint és , tehát azt kaptuk, hogy a
korlátos intervallumok mind kontinuum számosságúak.
Annak bizonyítását, hogy a félegyenesek is kontinuum számosságúak, az olvasóra hagyjuk.
1. Feladatok
7.1. Jelölje a (7.1) sorozat -edik tagját. Melyik a legkisebb , amelyre
7.2. Bizonyítsuk be, hogy az egész számokból képezhető véges sorozatok halmaza megszámlálható. (Ö)
7.3. Mutassuk meg, hogy a véges hosszúságú magyar nyelvű szövegek halmaza megszámlálható.
7.4. Bizonyítsuk be, hogy páronként diszjunkt intervallumok bármely halmaza megszámlálható. (Ö)
7.5. Bizonyítsuk be, hogy egy halmaz akkor és csak akkor végtelen, ha ekvivalens egy valódi részhalmazával.
7.6. Bizonyítsuk be, hogy minden félegyenes kontinuum számosságú.
7.7. Bizonyítsuk be, hogy ha és kontinuum számosságú halmazok, akkor is kontinuum számosságú.
7.8. Bizonyítsuk be, hogy minden körvonal kontinuum számosságú.
7.9. Bizonyítsuk be, hogy a sík (vagyis az halmaz) kontinuum számosságú. (Ö) 7.10. Bizonyítsuk be, hogy összes részhalmazainak halmaza kontinuum számosságú.
7.11. Adjunk meg egy olyan függvényt, amely -et kölcsönösen egyértelműen ráképezi a pozitív egész számokból álló végtelen sorozatok halmazára. (Ö)