Ebben a szakaszban néhány permutációcsoportokkal kapcsolatos „haladóbb” ismeret szerepel. Először ugyanannak a csoportnak több halmazon való hatásait hasonlítjuk össze. Utána olyan permutációcsoportokat vizsgálunk, amelyek „többszörösen” tranzitívak, például bármely pontpár elvihető bármely másik pontpárba.
Ezek példákat szolgáltatnak nevezetes véges egyszerű csoportokra. Végül megismerkedünk a primitív permutációcsoportokkal. Az új fogalmak segítenek annak bizonyításában, hogy az An csoport egyszerű, ha n≥ 5 egész szám (4.12.30. Tétel). Mint már említettük, ezen múlik, hogy a legalább ötödfokú egyenletek általában nem oldhatók meg gyökvonások segítségével (6.9.7. Tétel). Az egységesség kedvéért akkor is permutációkról fogunk beszélni, ha azok végtelen halmazon vannak értelmezve.
4.12.1. Példa. Legyen G={1,g} a kételemű ciklikus csoport, és tekintsük a G-nek az alábbi ötféle hatását, az első hármat az {1,2,3,4}, az utolsó kettőt az {a,b,c,d} halmazon:
Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy a g elemhez tartozó permutáció az első esetben a (23), a második hatásnál az identitás, a harmadiknál az (14), a negyediknél az (ab)(cd), az ötödiknél a (cd) permutáció.
4.12.2. Definíció. Ha G hat az X halmazon, akkor legyen ψ az a leképezés, amely minden g∈ G elemhez a hozzá tartozó permutációt, vagyis az x↦ g*x permutációt rendeli. A kapott ψ: G→ SX homomorfizmus magját a hatás magjának nevezzük. A hatás hű, ha magja csak az egységelemből áll.
A 4.12.1. Példában szereplő öt hatás közül tehát csak a második nem hű.
4.12.3. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy az előző 4.12.2. Definícióban szereplő ψ tényleg homomorfizmus, melynek N magja az összes pont stabilizátorainak a metszete. Igazoljuk azt is, hogy G/N izomorf SX egy alkalmas részcsoportjával, és ha a hatás hű, akkor G maga is beágyazható SX-be.
Két hatást akkor szeretnénk egyformának nevezni, ha minden g∈ G elemhez „ugyanolyan” permutáció tartozik.
Ennek akkor is van értelme, ha a két esetben a g elem más halmazokon hat, hiszen csak a g működése az érdekes, az nem, hogy a pontokat éppen hogyan hívják. Ilyen alapon tehát a fenti *1 és *5 hatásokat ekvivalensnek nevezhetjük, hiszen a pontokat átnevezhetjük így:
és akkor a két permutáció már ugyanaz lesz.
4.12.4. Definíció. Legyen *1 és *2 a G csoport hatása az X1 és az X2 halmazokon. Azt mondjuk, hogy ez a két hatás ekvivalens, ha létezik olyan α:X1→ X2 kölcsönösen egyértelmű leképezés, hogy tetszőleges x∈ X1 és g∈ G esetén
Megjegyzés
A most elmondottak ugyanúgy hangzanak, mint amikor a csoportok közötti izomorfizmus fogalmát magyaráztuk: csak a műveletek számítanak, az elemeket bárhogyan átfesthetjük. Ezt az érzésünket csak megerősíti a formai hasonlóság a fenti képlet, és a lineáris algebrában tanult A(λ v)=λ A(v) összefüggés között, amely a lineáris leképezéseket jellemzi. Az általános algebrákról szóló részben fogjuk majd megmutatni mindennek a hátterét (8.2.24. Definíció, 8.2.25. Állítás).
4.12.5. Gyakorlat. Vizsgáljuk meg, hogy a fenti öt hatás közül melyek ekvivalensek, és melyek nem.
4.12.6. Definíció. Legyen G csoport, H részcsoportja G-nek, és X a H szerinti bal oldali mellékosztályok halmaza. Definiáljuk G hatását az X halmazon a g*(aH)=gaH képlettel. Ezt a H részcsoport szerinti mellékosztályokon való hatásnak nevezzük.
4.12.7. Gyakorlat. Legyen H≤ G, és hasson G a H szerinti bal mellékosztályokon balszorzással az előző definíció szerint. Igazoljuk az alábbi állításokat.
1. Tényleg hatást kaptunk.
2. Ez a hatás tranzitív.
3. Az aH pont stabilizátora az aHa-1 részcsoport.
4. A hatás N magja az aHa-1 részcsoportok metszete (a befutja G-t).
5. A G/N faktor izomorf az Sk egy részcsoportjával, ahol k=|G:H|.
6. Ha H={1}, akkor ez a Cayley-tétel bizonyításában használt hatás.
Egy csoport tranzitív hatásai ekvivalensek egy stabilizátor mellékosztályain való hatással, mint azt az alábbi feladat mutatja.
4.12.8. Feladat. Tegyük föl, hogy G tranzitívan hat az X halmazon, és jelölje H az x∈ X pont stabilizátorát.
Mutassuk meg, hogy G hatása X-en ekvivalens G hatásával a H szerinti bal mellékosztályokon.
Egy X halmazon ható G permutációcsoportot tranzitívnak neveztünk, ha X bármely elemét X bármely elemébe el lehet vinni G egy alkalmas elemével. Ilyen volt például a kocka szimmetriacsoportjának hatása a kocka csúcsainak a halmazán. Ez azt fejezi ki, hogy a kocka csúcsai egyenrangúak, semelyik sincs kitüntetve a másikhoz képest.
Ennél magasabb szintű szimmetria lenne az, ha a kocka bármely két különböző csúcsát bármely két másik csúcsba át tudnánk vinni egy alkalmas egybevágóság segítségével. Ez már nem teljesül, hiszen ha a kiinduló két csúcs élnyi távolságban volt, akkor ezeket nem lehet átvinni két olyan csúcsba, melyek lapátlónyi (vagy testátlónyi) távolságra vannak egymástól. Ugyanakkor legyen G a sík összes hasonlósági transzformációiból álló csoport. Bármely P1≠ P2 és Q1≠ Q2 pontokhoz van olyan eleme G-nek, amely P1-et Q1-be, P2-t pedig Q2-be viszi.
Ugyanez ponthármasokra már nem igaz, hiszen ha például P1P2P3 egy szabályos háromszög, akkor minden hasonlósági transzformációnál vett képe is az, vagyis a kép nem lehet tetszőleges ponthármas.
4.12.9. Definíció. Legyen G az X halmazon ható permutációcsoport. Azt mondjuk, hogy ez k-szorosan tranzitív (k≥ 1 egész), ha bármely páronként különböző x1,...,xk∈ X és szintén páronként különböző y1,...,yk∈ X pontokhoz van olyan g∈ G, hogy g*xi=yi minden 1≤ i≤ k esetén. Ha ez a g elem egyértelműen meghatározott, akkor szigorúk-tranzitivitásról beszélünk.
Megjegyzés
A szigorú tranzitivitásnak ez a definíciója pontatlan. Ha ugyanis a hatás nem hű, akkor ez elrontja az egyértelműséget. Ezért a szigorú tranzitivitás pontos definíciójában a mag elemeit nem veszik figyelembe, vagyis G helyett a hatás magja szerinti faktorcsoporttal dolgoznak. Mi csak hű hatások esetén fogjuk használni ezt a fogalmat.
Az Sn csoport nyilván szigorúan n-tranzitív az {1,2,...,n} halmazon.
4.12.10. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy n≥ 3 esetén An szigorúan n-2-tranzitív az {1,2,...,n} halmazon.
Szeretnénk kevésbé triviális példát mutatni sokszorosan tranzitív permutációcsoportra. E tulajdonság ellenőrzése a stabilizátorok vizsgálatával lehetséges.
4.12.11. Állítás. Ha a G csoport k-tranzitívan hat az X halmazon, akkor minden x∈ X pont stabilizátora k-1-tranzitívan hat az X-ből az x pont kihagyásával kapott X-{x} halmazon. Megfordítva, ha G tranzitívan hat az X halmazon, és valamely x∈ X pont stabilizátora k-1-tranzitív az X-{x} halmazon, akkor G hatása az X halmazon k-tranzitív.
Bizonyítás. Ha G hatása k-tranzitív, és x∈ X, akkor legyen x2,...,xk, illetve y2,...,yk páronként különböző pontokból álló két pontrendszere az X-{x} halmaznak. Ekkor van olyan g∈ G, ami az (x,x1,...,xk) pontrendszert az (x,y1,...,yk) pontrendszerbe viszi, azaz amelyre igaz, hogy g*x=x és g*xi=yi ha 2≤ i≤ k. Ez a g elem benne van x stabilizátorában, és így ez a stabilizátor tényleg k-1-tranzitív az X-{x} halmazon.
Megfordítva, tegyük föl, hogy G tranzitív az X halmazon, és egy x∈ X pont H stabilizátora k-1-tranzitív X-{x}-en. Meg kell mutatnunk, hogy ha x1,...,xk, illetve y1,...,yk páronként különböző pontokból álló két pontrendszer az X halmazon, akkor van olyan g∈ G elem, amelyre g*xi=yi minden 1≤ i≤ k-ra.
A G tranzitivitása miatt van olyan u∈ G elem, amelyre u*x1=x, továbbá olyan v∈ G is, amelyre v*x=y1. Az u elem permutációként hat az X halmazon, és ezért
páronként különböző elemei X-{x}-nek. Ugyanez mondható a
pontrendszerről is. Mivel az x elem H stabilizátora k-1-tranzitív X-{x}-en, van olyan h∈ H, melyre
minden 2≤ i≤ k esetén. Ekkor a g=vhu elem megfelel a feltételeknek. □
4.12.12. Gyakorlat. Jellemezzük a szigorú tranzitivitást is a stabilizátorok segítségével.
4.12.13. Állítás. Az AGL(1,T) csoport (4.1.25. Definíció) szigorúan 2-tranzitív a T halmazon.
Bizonyítás. Az állítás azonnal adódik abból, hogy legfeljebb elsőfokú polinommal két helyen lehet egyértelműen interpolálni (2.4.12, Gyakorlat), vagy akár közvetlen számolással is. Mi egy harmadik utat mutatunk.
Az x↦ x+b alakú leképezések mutatják, hogy a csoport tranzitív: ha u,v∈ T, akkor az x↦ x+(v-u) leképezés u-t elviszi v-be. Ezért az előző állítás miatt elegendő megmutatni, hogy a 0∈ T elem stabilizátora tranzitív a T-{0}
halmazon. Nyilván az x↦ ax+b leképezés akkor és csak akkor viszi a nullát önmagába, ha b=0. Ha u és v nem
nulla elemei T-nek, akkor az x↦ (vu-1)x leképezés a nullát nullába, u-t pedig v-be viszi. Így az AGL(1,T) csoport tényleg 2-tranzitív.
A szigorú 2-tranzitivitás a 4.12.12. Gyakorlatból következik, mert a 0 stabilizátora szigorúan 1-tranzitív: az u-t a v-be egyedül a vu-1 szorozza át. □
4.12.14. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy az AGL(n,T) csoport 2-tranzitív a Tn halmazon. Mikor lesz szigorúan 2-tranzitív? Lehet-e 3-tranzitív, illetve szigorúan 3-tranzitív?
Megjegyzés
A most vizsgált AGL(1,T) csoportot 3-tranzitív permutációcsoporttá bővíthetjük a következőképpen.
Egészítsük ki a T testet egy ∞ nevű elemmel, és tekintsük az
úgynevezett törtlineáris leképezéseket, ahol a,b,c,d∈ T, és ad-bc≠ 0. Ezeket a leképezéseket az X=T∪{∞} halmazon értelmezzük úgy, hogy a ∞ szimbólummal a határértékszámításban megszokott módon bánunk. Például ha c≠ 0, akkor f(x) határértékét x→∞ esetén úgy számítanánk ki, hogy x-szel elosztanánk a számlálót és a nevezőt is. Ekkor b/x és d/x nullához tartana, így az eredmény a/c lenne. A T testben ugyan nem létezik általában a határérték fogalma (ez a test például véges is lehet), de azt megtehetjük, hogy
értékét c≠ 0 esetén a/c-nek definiáljuk. Hasonlóképpen x=-d/c esetén f(x) értékét ∞-nek célszerű definiálni (a számláló x=-d/c-re nem lesz nulla, mert ad≠ bc).
Az eseteket végiggondolva láthatjuk, hogy egy permutációcsoportot kaptunk (az ad≠ bc feltételre az inverz létezéséhez is szükség van). Ezt a csoportot PGL(2,T)-vel jelöljük. Ezt a jelölést majd a 4.14.4.
Gyakorlatban indokoljuk meg, ahol megmutatjuk, hogy hogyan lehet ezt a csoportot mátrixok segítségével származtatni. A ∞ stabilizátora könnyen láthatóan az x↦ ax+b alakú leképezésekből áll (vagyis ahol c=0). Mivel ezek csoportjáról már beláttuk, hogy 2-tranzitív, a PGL(2,T) már 3-tranzitív (sőt szigorúan 3-tranzitív) a T∪{∞} halmazon. A PGL(2,T) csoport a projektív geometriában és a komplex függvénytanban játszik szerepet.
A most látott bővítési procedúrát azonban nem folytathatjuk vég nélkül. Ennek illusztrálására két olyan eredményt mutatunk, amelyek bizonyítása nagyon nehéz, mert felhasználja a véges egyszerű csoportok klasszifikációját (osztályozását), amelyről a 14. szakaszban részletesebben is szó lesz.
Az AGL(1,ℤp) csoport rendje nyilván p(p-1) (hiszen az x↦ ax+b leképezésben az a-t p-1-féleképpen, a b-t p-féleképpen választhatjuk). Ez a csoport a {0,1,...,p-1} halmaz permutációiból áll, és így a p-edfokú szimmetrikus csoport egy részcsoportjáról van szó, amelyről láttuk, hogy 2-tranzitív. Az AGL(1,ℤp) rendkívül kicsi részcsoport, hiszen az indexe, ami (p-2)!, nagyon nagy a rendjéhez képest. Ezért úgy gondolhatnánk, hogy bőségesen lenne hely arra, hogy ehhez a részcsoporthoz még további elemeket hozzávegyünk, abban reménykedve, hogy sokszorosan tranzitív csoportot kapunk. De ezt nem lehet megcsinálni! Akárhogy is veszünk hozzá akár egyetlen új permutációt is, az összes többi permutáció ki fog generálódni.
4.12.15. Tétel. Legyen p>3 prímszám. Ekkor az AGL(1, ℤp) csoport maximális részcsoportja a p-edfokú szimmetrikus csoportnak.
A permutációcsoportok elmélete a kombinatorikával függ szorosan össze. Rendkívül szimmetrikus véges halmazrendszerek (úgynevezett blokkrendszerek) vizsgálatával még 1861-ben öt egyszerű csoportra bukkantak, amelyeket felfedezőjükről Mathieu-csoportoknak neveztek el. Jelük M11, M12, M22, M23 és M24. Az index azt fejezi ki, hogy ezek az adott elemszámú halmazon ható permutációcsoportok. Az M24 csoport 5-tranzitív, és M23 (ami M24-ben egy pont stabilizátora) 4-tranzitív. Ugyanígy 5-tranzitív (sőt szigorúan 5-tranzitív) az M12 is. Nevezetes, és szintén a klasszifikációból következő tétel, hogy más sokszorosan tranzitív véges csoport nem létezik!
4.12.16. Tétel. Ha az Sn szimmetrikus és az An alternáló csoportoktól eltekintünk, akkor az M24, M23, M12 és M11
Mathieu-csoportokon kívül minden véges permutációcsoport legfeljebb 3-tranzitív lehet.
Megjegyzés
A klasszifikációból erősebb eredmények is következnek: a véges 2-tranzitív csoportok szerkezetét is sikerült megérteni. Ide kapcsolódó eredmény Burnside híres tétele, amely szerint egy ilyen csoport vagy egy véges „majdnem” egyszerű csoportból származtatható (ezekről mesélünk kicsit a 14.
szakaszban), vagy pedig a foka prímhatvány, és a csoport része a 4.1.25. Gyakorlatban leírt affin csoportnak (tehát lineáris algebrai eszközökkel vizsgálható).
Az Olvasó joggal kérdezheti azonban a következőt. Ha ismerünk is egy egyszerű csoportot izomorfia erejéig, hogyan tudjuk eldönteni, hogy van-e SX-nek ezzel izomorf, sokszorosan tranzitív részcsoportja?
Tegyük föl, hogy a G csoport 2-tranzitív részcsoportja SX-nek. Ekkor minden pont stabilizátora maximális részcsoport G-ben (ezt a szakasz hátralévő részében be fogjuk bizonyítani), és ha ez a maximális M részcsoport adott, akkor a csoport hatása ekvivalens az M szerinti bal mellékosztályokon való hatással (lásd 4.12.8. Feladat). Ezért ha a majdnem egyszerű csoportoknak ismerjük a maximális részcsoportjait, akkor ebből a 2-tranzitív csoportok is megkaphatók.
Az 1-tranzitív csoportok pontosan a tranzitívak. A szigorúan 1-tranzitív csoportokat regulárisnak nevezzük.
4.12.17. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy egy permutációcsoport pontosan akkor szigorúan 1-tranzitív, ha tranzitív, és valamelyik pont stabilizátora egyelemű. Igazoljuk, hogy ilyenkor a csoport elemszáma ugyanannyi, mint a foka.
Mivel a 4.5.37. Gyakorlat szerint tranzitív csoportban a stabilizátorok konjugáltak, ha az egyik stabilizátor egyelemű, akkor valamennyi az.
4.12.18. Definíció. Legyen G részcsoportja az SX csoportnak. Azt mondjuk, hogy Greguláris, ha tranzitív, és minden pont stabilizátora az egyelemű részcsoport.
4.12.19. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy a Cayley-tételben (4.5.24. Tétel) minden G csoporthoz egy olyan vele izomorf részcsoportot rendeltünk SG-ben, amely reguláris.
Így minden csoport izomorf egy reguláris permutációcsoporttal. Ugyanakkor láttuk, hogy a 2-tranzitivitás már igen erős megszorítás a csoport szerkezetére. Most egy olyan fogalmat vezetünk be, amely a tranzitivitás és a 2-tranzitivitás között helyezkedik el.
4.12.20. Definíció. Legyen G az X halmazon ható permutációcsoport. Az X egy ∼ ekvivalenciarelációját (partícióját) G-invariáns partíciónak vagy kongruenciának nevezzük, ha tetszőleges x∼ y és g∈ G esetén g*x∼ g*y.
A kongruencia fogalmát (a fentinél általánosabb formában) a 2. szakaszban próbáljuk majd megérteni. Ott azt is elmagyarázzuk, mi köze a most bevezetett fogalomnak a számelméletben tanult kongruenciákhoz (8.2.25.
Állítás).
Bármi az X és a G, két kongruencia mindig létezik. Az első az, ahol X mindegyik eleme egyedül, egyelemű osztályban van, ennek neve 0X. A másik az ellenkező véglet, amikor az egész X halmaz egyetlen osztály, ennek jele 1X. Ezt a két partíciót az X halmaz triviális partícióinak (illetve triviális kongruenciáinak) nevezzük.
Partíciókról többet a 1. szakasz végén olvashatunk.
4.12.21. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy ha G hat X-en, akkor a pályák kongruenciát alkotnak, amely pontosan akkor lesz 1X, ha ez a hatás tranzitív.
4.12.22. Gyakorlat. Legyenek X elemei egy szabályos hatszög csúcsai, és hasson ezeken a D6 diédercsoport a szokásos módon. Tekintsük X-nek azt a partícióját, amelynek három kételemű osztálya van: az átellenes csúcspárok. Mutassuk meg, hogy ez kongruencia. Van még más nemtriviális kongruencia is?
4.12.23. Gyakorlat. Tekintsük a sík mozgásainak hatását a síkon. Mik lesznek a kongruenciák?
4.12.24. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy egy véges halmazon ható tranzitív permutációcsoport esetében egy kongruencia minden osztálya ugyanannyi elemből áll.
Most megvizsgáljuk, hogy egy tranzitív permutációcsoportban miként kaphatjuk meg az összes kongruenciát.
Hasson G tranzitívan az X halmazon, legyen x∈ X egy rögzített pont, és H az x stabilizátora.
Ha ∼ egy kongruencia, akkor belátjuk, hogy
egy H-t tartalmazó részcsoportja G-nek. Valóban, ha g∈ H, akkor g*x=x, tehát g∈ K. Tegyük föl, hogy k1,k2∈ K, ekkor k1*x∼ x és k2*x∼ x. Mivel ∼ kongruencia, innen k1*(k2*x)∼ k1*x, így (k1k2)*x=k1*(k2*x)∼ x (hiszen ∼ tranzitív). Tehát K zárt a szorzásra. A k1*x∼ x összefüggésre k1 inverzét alkalmazva adódik, hogy x=k1-1*(k1*x)∼ k1-1*x, azaz K zárt az inverzképzésre is, és így részcsoport.
Megfordítva, tegyük föl, hogy H≤ K≤ G. Egy ∼ kongruenciát fogunk készíteni a K részcsoportból. Ha x1,x2∈ X, akkor mivel G tranzitív, léteznek (nem feltétlenül egyértelműen) olyan g1,g2 elemek G-ben, melyekre x1=g1*x és x2=g2*x. Legyen
Megmutatjuk, hogy ∼ jóldefiniált (vagyis x1∼ x2 csak az x1 és x2 pontoktól függ, nem pedig a g1 és g2
választásától). Tegyük föl, hogy x1=g1'*x és x2=g2'*x. Ekkor (g1-1g1')*x=x, így h1=g1-1g1' és ugyanúgy h2=g2-1g2' elemei H-nak. Nyilván
Mivel H⊆ K, ez akkor van K-ban, ha g1-1g2∈ K (hiszen h1-1Kh2=K). Tehát ∼ tényleg jóldefiniált, belátjuk, hogy kongruencia. Ha g1*x∼ g2*x, akkor g*(g1*x)∼ g*(g2*x), mert
A H részcsoporthoz nyilván a 0X, a G-hez pedig az 1X kongruencia tartozik.
4.12.25. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy a most kapott megfeleltetés az X kongruenciái és a G csoportnak a H stabilizátort tartalmazó részcsoportjai között kölcsönösen egyértelmű.
Megjegyzés
Arra biztatjuk az Olvasót, hogy a most vizsgált megfeleltetést a kongruenciák és a részcsoportok között vizsgálja meg abban a speciális esetben, amikor a G csoport egy H részcsoportjának bal mellékosztályain hat balszorzással. (A 4.12.8. Feladat miatt ez igazából az általános eset.) Az állítás bizonyítása ebben az esetben egyszerűbb: egy K≥ H részcsoporthoz tartozó kongruenciánál ugyanis két H szerinti mellékosztály akkor lesz relációban, ha ugyanannak a K szerinti bal mellékosztálynak a részhalmazai.
4.12.26. Definíció. A G csoport primitíven hat az X halmazon, ha tranzitív, és az X halmaznak pontosan két kongruenciája van: a triviálisak.
Megjegyzés
Ha az X legalább háromelemű, akkor abból, hogy nincs nemtriviális kongruencia, következik, hogy a csoport tranzitív (lásd 4.12.44. Gyakorlat). Egy kételemű halmazon azonban csak triviális partíciók vannak, és így a fenti definícióban a tranzitivitás feltétele csupán ebben az esetben nem fölösleges.
Az egyszerű csoport definíciójához hasonlóan itt is két különböző kongruenciáról beszélünk, azaz kizárjuk azt az esetet, amikor az X egyelemű. Az előbbi gyakorlat szerint a primitív csoportokat a következőképpen jellemezhetjük.
4.12.27. Következmény. Egy tranzitív permutációcsoport pontosan akkor primitív, ha valamelyik (vagy ami ezzel ekvivalens: mindegyik) pont stabilizátora maximális részcsoport.
Ha tehát H maximális részcsoportja G-nek, akkor G primitíven hat a H szerinti bal mellékosztályok halmazán.
Így a primitív permutációcsoportok is elég nagy számban fordulnak elő: ha az M maximális részcsoportja G-nek, amelynek konjugáltjai csak az egységelemben metszik egymást, akkor a 4.12.7. Gyakorlat miatt G izomorf az Sn egy primitív részcsoportjával, ahol n=|G:M|.
4.12.28. Állítás. Minden 2-tranzitív permutációcsoport primitív.
Bizonyítás. Tegyük föl, hogy a G csoport 2-tranzitívan hat az X halmazon. Legyen ∼ egy kongruencia X-en, ami nem a 0X. Ez azt jelenti, hogy van olyan x1≠ x2∈ X, melyre x1∼ x2. A 2-tranzitivitás miatt tetszőleges y1≠ y2
elemekhez létezik olyan g∈ G, melyre g*x1=y1 és g*x2=y2. Mivel a ∼ reláció kongruencia, y1∼ y2. Ezért ∼ az 1X
partíció. □
4.12.29. Állítás. Egy primitív permutációcsoport minden normálosztója tranzitív, kivéve azokat a normálosztókat, amelyek minden eleme identikusan hat (vagyis amelyek részei a hatás magjának).
Bizonyítás. Legyen G primitív permutációcsoport X-en, N⊲ G, és ∼ az N pályáiból álló partíció. Megmutatjuk, hogy ∼ kongruencia. Valóban, tegyük föl, hogy x∼ y. Ez azt jelenti, hogy van olyan n∈ N, melyre n*x=y. De akkor
Mivel N normálosztó, gng-1∈ N, ami azt jelenti, hogy g*x∼ g*y. Tehát ∼ kongruencia, és mivel G primitív, ez valamelyik triviális kongruencia. Ha N-nek van olyan eleme, ami nem hat identikusan, akkor ∼ nem a 0X
partíció, tehát akkor az 1X partíció. Ez pedig azt jelenti, hogy N tranzitív. □
4.12.30. Tétel. Az An alternáló csoport n≥ 5 esetén nemkommutatív egyszerű csoport.
Bizonyítás. Az állítást n szerinti indukcióval bizonyítjuk. Az n=5 kiinduló esetet már elintéztük a 4.8.33.
Gyakorlatban.
4.12.31. Gyakorlat. Vizsgáljuk meg a következő bizonyítást abból a szempontból, hogy a szereplő ötletek felhasználhatók-e az n=5 esetben is.
Tegyük föl, hogy n≥ 6, és hogy An-1 egyszerű csoport. Legyen N egy nemtriviális normálosztó An-ben. Mivel n≥
6, az An csoport 2-tranzitív (sőt, n-2≥ 4-tranzitív). Ezért An primitív (4.12.28. Állítás), és így az N normálosztó tranzitív (4.12.29. Állítás).
Jelölje H az 1 pont stabilizátorát An-ben. Ez a {2,3,...,n} halmaz páros permutációiból áll, vagyis egyrészt n-3≥ 3-tranzitív ezen a halmazon, másrészt izomorf An-1-gyel, amiről feltettük, hogy egyszerű csoport. De N∩ H normálosztó H-ban. Ezért két lehetőség van: vagy N∩ H csak az identitásból áll, vagy pedig N∩ H=H, vagyis H⊆ N. Ez a második eset azonban nem lehetséges. Ugyanis An primitív, és így H maximális részcsoport (4.12.27. Következmény). Mivel N nemtriviális normálosztó, így N≠ G, vagyis H maximalitása miatt N=H, ami ellentmond annak, hogy N tranzitív (hiszen H nem tranzitív: az 1 pontot H elemei fixen hagyják).
Beláttuk tehát, hogy N∩ H egyelemű. Ebből következik, hogy |N|=n. Valóban, tekintsük azt a megfeleltetést, amely a g∈ N elemhez a g(1) pontot rendeli. Mivel N tranzitív, {1,2,...,n} minden eleme előáll g(1) alakban.
Másfelől ha g1,g2∈ N, és g1(1)=g2(1), akkor g1-1g2∈ H∩ N={1}, vagyis g1=g2. Jelöljük ni-vel azt az egyértelműen meghatározott N-beli elemet, melyre ni(1)=i.
Megjegyzés
Az N normálosztó reguláris, hiszen az N∩ H éppen az 1 pont N-beli stabilizátora. Ezért a 4.12.17.
Gyakorlat miatt N elemszáma n. Számunkra azonban fontos lesz a most megadott i↦ ni megfeleltetés.
A H részcsoport konjugálással hat az N normálosztó egységelemtől különböző elemeinek N-{1} halmazán.
Megmutatjuk, hogy ennek a halmaznak pontosan a páros permutációit kapjuk meg így. Valóban, ha h∈ H, és mondjuk h(i)=j, akkor
Mivel hnih-1∈ N, ezért hnih-1=nj. Tehát H elemei konjugálással ugyanúgy hatnak N elemein, mind ahogy h permutálja a nekik megfelelő pontokat.
Megjegyzés
Azt láttuk be, hogy H hatása az {1,2,...,n} halmazon ekvivalens azzal, ahogyan a H konjugálással hat az N normálosztón (lásd 4.12.4. Definíció). Érdemes ezt a gondolatmenetet összehasonlítani a 4.9.19.
Gyakorlat megoldásával.
Ez ellentmondásra vezet, mert a H elemeivel való konjugálások N-nek automorfizmusai, és így N automorfizmusai 3-tranzitívan hatnak az N egységtől különböző elemeinek a halmazán (hiszen |N|=n≥ 6, és a teljes alternáló csoportot megkapjuk ezen a legalább ötelemű halmazon). Ilyen sok automorfizmusa azonban csak nagyon kevés csoportnak lehet! Hiszen a (g1,g2,g1g2) hármast nem lehet elvinni a (g1,g2,x) hármasba, kivéve ha x=g1g2.
Pontosan a gondolatmenet a következő. Legyen g1∈ N tetszőleges egységtől különböző elem, g2∈ N olyan, ami az egységelemtől, g1-től és g1-1-től különbözik, végül g3∈ N olyan, amely az egységtől, g1-től, g2-től és g1g2-től is különböző. Ilyenek léteznek, hiszen |N|=n≥ 6. Mivel g1, g2, g1g2 az N-{1}-nek páronként különböző elemei, a 3-tranzitivitás miatt van olyan α automorfizmusa N-nek, hogy
Ez lehetetlen, mert α szorzattartó, és így α(g1g2)=α(g1)α(g2)=g1g2. Ezzel a bizonyítást befejeztük. □ Még egy fontos permutációcsoport-típussal ismerkedünk meg.
4.12.32. Definíció. A G≤ SX csoportot Frobenius-csoportnak nevezzük, ha tranzitív, de nem reguláris, és minden g∈ G permutációnak legfeljebb egy fixpontja van. Egy Frobenius-csoport magja az egységelemből, továbbá a fixpontmentes elemekből álló részhalmaz. Az X-beli pontok stabilizátorait Frobenius-komplementumnak hívjuk.
A sík mozgásai például Frobenius-csoportot alkotnak, mert egy nem identikus forgatásnak egyetlen fixpontja van, egy nem identikus eltolásnak meg egy sem. A mag az eltolásokból álló normálosztó, és minden komplementum SO(2)-vel izomorf.
4.12.33. Tétel. [Frobenius-tétel] Minden véges Frobenius-csoport magja normálosztó.
Ez nehéz tétel, nem bizonyítjuk. Azt könnyű megmutatni, hogy a mag konjugáltságra zárt, a nehéz állítás az,
Ez nehéz tétel, nem bizonyítjuk. Azt könnyű megmutatni, hogy a mag konjugáltságra zárt, a nehéz állítás az,