8. Hogyan keressünk normálosztót?
4.8.19. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy egy csoport tetszőleges normálosztóinak metszete is normálosztó
Így a 4.6.7. Állítás bizonyításához hasonlóan minden X⊆ G halmazhoz létezik az X-et tartalmazó legszűkebb normálosztó (mint az X-et tartalmazó normálosztók metszete). Ezt az X által generált normálosztónak nevezzük.
4.8.20. Gyakorlat. Legyen X részhalmaza a G csoportnak, és álljon Y az X összes elemeinek összes konjugáltjaiból:
Mutassuk meg, hogy G-ben az X által generált normálosztó pontosan az Y által generált részcsoport lesz. Tehát az X által generált normálosztó elemei az x elemeinek konjugáltjaiból és ezek inverzeiből készített tetszőleges szorzatok.
4.8.21. Állítás. Ha N és K normálosztók a G csoportban, akkor NK is az, méghozzá ez az N és K (uniója) által generált normálosztó.
Bizonyítás. A 4.7.23. Gyakorlat szerint KN=NK a K és az N által generált részcsoport. Legyen g∈ G, ekkor gN=Ng és gK=Kg miatt gNK=NgK=NKg, tehát NK normálosztó. Mivel minden normálosztó részcsoport, ezért ha NK a legszűkebb N-et és K-t tartalmazó részcsoport, akkor nyilván a legszűkebb az N-et és K-t tartalmazó normálosztók között is. □
A centrum részcsoportjai kommutatív normálosztók. Most megkeressük egy csoport összes kommutatív faktorcsoportját. Ha az a és b elemek egy csoportban, akkor (ab)(ba)-1=aba-1b-1 jól leírja, hogy a és b „mennyire nem fölcserélhetők”.
4.8.22. Definíció. Legyen G csoport és a,b∈ G. Az [a,b]=aba-1b-1 elemet az a és b elemek kommutátorának nevezzük. A G csoport kommutátor-részcsoportja az összes kommutátorok által generált részcsoport, jele G'.
Megjegyzés
Ha egy csoportot „kommutatívvá akarunk tenni”, akkor „meg kell szabadulnunk” a kommutátorelemektől. Pontosabban: ahhoz, hogy egy homomorf kép kommutatív legyen, minden kommutátorelemnek a homomorfizmus magjában kell lennie. Ezt fejezi ki a következő állítás.
4.8.23. Állítás. Tetszőleges G csoport kommutátor-részcsoportja normálosztó a G csoportban, sőt minden G'-t tartalmazó részcsoport is normálosztó G-ben. Ha N⊲ G, akkor G/N akkor és csak akkor kommutatív, ha G'⊆ N.
Bizonyítás. Jelölje θg a g elemmel való konjugálást. Ez szorzattartó, és ezért
Tehát ha X jelöli az összes kommutátorok halmazát, akkor az X elemeinek konjugáltjaiból készített Y halmaz megegyezik az X-szel. Így az X által generált részcsoport ugyanaz, mint az X által generált normálosztó (lásd 4.8.20. Gyakorlat). Ezért G'⊲ G.
Legyen most N⊲ G. Ekkor
Vagyis G/N akkor és csak akkor kommutatív, ha az összes kommutátor benne van N-ben. Mivel G' a kommutátorok által generált részcsoport, ez azzal ekvivalens, hogy G'⊆ N.
Végül legyen G'≤ H≤ G, be kell látnunk, hogy H normálosztó G-ben. Azt már láttuk, hogy a G/G' faktorcsoport kommutatív. De kommutatív csoport minden részcsoportja normálosztó. Speciálisan tehát a H/G' részcsoport is normálosztó, és ezért (a 4.7.24. Tétel (5) pontja miatt) H⊲ G. □
Ha csak annyi a célunk, hogy egy H részcsoport minden eleme fölcserélhető legyen egy K részcsoport minden elemével, akkor kevesebb kommutátorral is elég faktorizálnunk.
4.8.24. Definíció. Legyenek N és K részcsoportok a G csoportban. Ekkor az összes [n,k] kommutátorok által generált részcsoportot (ahol n∈ N és k∈ K) az N és Kkölcsönös kommutátor-részcsoportjának nevezzük, jele [N,K].
4.8.25. Gyakorlat. Legyen N,K⊲ G. Mutassuk meg, hogy [N,K]⊆ N∩ K. Speciálisan [N,G]⊆ N, és ha N∩
K={1}, akkor N minden eleme fölcserélhető K minden elemével (azaz NcentralizáljaK-t).
4.8.26. Definíció. Legyen H részcsoportja a G csoportnak és g∈ G. A gHg-1 részcsoportot a H részcsoport g-vel való konjugáltjának nevezzük.
Mivel a g-vel való konjugálás automorfizmus, a H részcsoport képe, azaz gHg-1 szintén részcsoport. Legyen X a G részcsoportjainak a halmaza. Ekkor
hatást definiál X-en. Ennek pályáit a részcsoportok konjugáltosztályainak nevezzük. Egy H részcsoport stabilizátora nyilván azokból a g∈ G elemekből áll, amelyekre gHg-1=H, vagyis gH=Hg.
4.8.27. Definíció. Legyen H részcsoport a G csoportban. Ekkor azon g∈ G elemek halmaza, melyekre gH=Hg, a H részcsoport G-beli normalizátora, jele NG(H).
A pálya elemszámáról szóló tétel most a következőt adja.
4.8.28. Következmény. Tetszőleges H≤ G részcsoport konjugáltjainak száma a H normalizátorának az indexe, vagyis |G:NG(H)|.
Nyilván H⊲ G akkor és csak akkor, ha NG(H)=G.
4.8.29. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy a H részcsoport normalizátora a legbővebb olyan H-t tartalmazó részcsoportja G-nek, amelyben H normálosztó (speciálisan H⊆ NG(H)).
Tetszőleges részhalmaznak is beszélhetünk a centralizátoráról és a normalizátoráról.
4.8.30. Definíció. Legyen X részhalmaza egy G csoportnak. Ekkor X centralizátora azon g∈ G elemek halmaza, amelyek X minden elemével fölcserélhetők (jele CG(X)), az X normalizátora pedig azon g∈ G elemek halmaza, melyre gX=Xg (jele NG(X)).
4.8.31. Gyakorlat. Legyen X részhalmaza a G csoportnak. Bizonyítsuk be a következő állításokat.
1. CG(X) részcsoport, méghozzá az CG(x) centralizátorok metszete, ahol x∈ X.
2. NG(X) részcsoport, méghozzá az X pont stabilizátora a G csoport egy alkalmas hatásánál.
3. CG(X)⊲ NG(X).
4. Ha X részcsoport, akkor NG(X)/CG(X) izomorf X automorfizmus-csoportjának egy alkalmas részcsoportjával.
Megjegyzés
A GAP ismeri az eddig tanult csoportelméleti fogalmakat. Az alábbiakban ezt illusztráljuk az M11
Mathieu-csoport példáján, ami a legkisebb sporadikus egyszerű csoport (F.2.2. Tétel).
g := (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11);
h := (3,7,11,8)(4,10,5,6);
M11 := Group([ g, h ]);
Size( M11 );
7920
IsAbelian( M11 );
false
IsSimple( m11 );
true
Size( ConjugacyClasses( M11 ));
10
(1,2,3) in M11;
false
Lefordítva: M11 a g és h permutációk által generált részcsoport S11-ben, melynek rendje 7920. Ez nemkommutatív egyszerű csoport, amelynek tíz konjugáltosztálya van, és nem tartalmazza az (123) ciklust.
Gondolkodjunk!
4.8.32. Gyakorlat. Normálosztó-e a H≤ G részcsoport:
1. G=ℤ+, H=3ℤ+. 2. G=D6, H={f2, f4, f6=1}.
3. G=D6, H={1, f3, t, tf3}.
4. G=GL(n,ℝ), H a diagonális mátrixok halmaza.
5. G=GL(n,ℝ), H az egységmátrix nem nulla skalárszorosaiból áll.
6. G=GL(n,ℝ), H a felső háromszögmátrixok halmaza.
4.8.33. Gyakorlat. Állapítsuk meg az alábbi csoportok konjugáltosztályait és normálosztóit: D3, D4, Q (a kvaterniócsoport), D5, S5, A5, GL(2,ℤ2).
4.8.34. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy a Lagrange-tétel megfordítása nem igaz.
4.8.35. Gyakorlat. A 4.2.31. Gyakorlatban már meghatároztuk az (1,2,..., n) ciklus centralizátorát. Adjunk erre új bizonyítást annak birtokában, hogy már ismerjük Sn konjugáltosztályait (4.8.14. Gyakorlat).
4.8.36. Gyakorlat. Határozzuk meg a ℤn+, Q, Dn, Sn, A4 csoportok centrumát és kommutátor-részcsoportját.
4.8.37. Gyakorlat. Legyen G tizedrendű nemkommutatív csoport. Bizonyítsuk be a következő állításokat, majd általánosítsunk arra az esetre, ha G rendje egy páratlan prím kétszerese.
1. G-ben nincs tizedrendű elem.
2. G-ben nem lehet minden elem másodrendű.
3. G-ben van másodrendű elem.
4. Ötödrendű elem nem lehet fölcserélhető másodrendű elemmel.
5. G generálható két másodrendű elemmel.
6. G≅ D5.