Megjegyzés
Bizonyára sok Olvasónk hallott már Gödel nevezetes, és teljesen szabatosan bizonyítható tételéről, amely szerint nem lehet bebizonyítani, hogy a jelenleg használt matematikában soha nem fog felbukkanni ellentmondás (kivéve, ha a matematika már eleve ellentmondásos). Így teljes biztonságot nem érhetünk el a komplex számok bevezetésekor sem. De ha az igényeinket lejjebb adjuk, akkor sem lehetünk elégedettek a komplex számok eddig használt, szemléletes bevezetésével. Zavaró például az, hogy még mielőtt összeadást és szorzást definiáltunk volna, már magában a komplex szám a+bi definíciójában mindkettő szerepel. Márpedig a matematikában nem definiálhatunk egyetlen fogalmat sem Münchhausen-módra, saját maga segítségével.
Érdemes tehát a komplex számok fogalmát egy fokkal precízebben bevezetni, mint ahogy eddig tettük, hogy ne adjon félreértésre alkalmat, hogy meggyőzhessük magunkat arról: ha a valós számokkal való számolás során nem lehet baj (ellentmondás), akkor a komplex számok használata esetében sem lesz.
Természetesen mindez csak a szemléletesség rovására történhet. Ezért úgy kell ügyeskednünk, hogy a bevezetés végére érve az eddig szemléletesen használt fogalmakat, jelöléseket továbbra is ugyanúgy használhassuk, mint eddig.
A komplex számok precíz bevezetése magasabb fokú matematikai érettséget igényel, mint amit a könyv eddigi részeiben feltételeztünk. Meggyőződésünk, hogy először a komplex számokkal (sőt, esetleg a polinomokkal) való számolás gyakorlati fogásait célszerű elsajátítani. Ezért ezt a szakaszt teljes egészében apró betűs résznek érdemes tekinteni. Az Olvasó előszörre nyugodtan átugorhatja, annál is inkább, mert a konstrukció igazán tanulságos mozzanatai később újra és újra megjelennek majd. Először a polinomok precíz bevezetésekor (3. szakasz), később a hányadostest (5.7.2. Tétel), vagy az egyszerű algebrai testbővítés konstrukciójakor (6.4.3. Tétel). Sőt, a faktorgyűrűk vizsgálatakor a komplex számok bevezetésére is egy alternatív, precíz módszert lelünk majd (2. szakasz).
Abból indulunk ki, ahogyan a komplex számok egyenlőségét definiáltuk. A komplex számokat a valós és képzetes részük egyértelműen meghatározza, és ezek tetszőleges valós számok lehetnek. Így az a+bi komplex számra gondolva egy olyan matematikai objektumot kell keresnünk, amelyet az a és b számok (a sorrendre is tekintettel) egyértelműen meghatároznak. Ilyen objektum az (a,b) rendezett pár (de akinek jobban tetszik, gondolhat helyette a sík megfelelő pontjára is, és akkor egy füst alatt a komplex számok geometriai kapcsolatát is megkapja). Tehát a nem szemléletes, de jól kezelhető definíció a következő:
1.6.1. Definíció. Komplex számon egy z=(a,b) rendezett párt értünk, ahol a és b valós számok. A z=(a,b) komplex szám valós részea, képzetes részeb.
A műveleteket is könnyen definiálhatjuk, ha suttyomban az (a,b) helyére odaképzeljük az a+bi-t, és így
„átkódoljuk” az 1.3.2. Definíciót:
A komplex számok között most nincsenek ott a valós számok, hiszen azok nem rendezett párok. Az a valós számot a+0⋅ i-ként írtuk föl komplex számként, ehelyett az (a,0) párra kell gondolnunk. Az ilyen párokkal ugyanúgy kell számolni, mint a valós számokkal, hiszen a fenti képletek szerint
Másképp fogalmazva, a θ: a↦ (a,0) leképezés (amely kölcsönösen egyértelmű a valós számok és az (a,0) alakú komplex számok között) tartja az összeadást és a szorzást is. Ezért az a számot azonosítjuk a neki megfelelő (a,0) komplex számmal. (Ennek az azonosításnak vannak precíz technikái, lásd a 6.4.3. Tétel bizonyítása utáni megjegyzést.)
Látszólag nincs ott az újsütetű komplex számok között az i sem. A szemléletes definíció szerint persze i=0+1⋅ i, és így bevezethetjük az i=(0,1)jelölést. Ekkor a szorzás szabálya miatt
amit a -1 számmal azonosítottunk. Magyarul i2=-1, immár precízen. Végül az összeadás és a szorzás szabálya szerint
ezt a számot pedig éppen a+bi-vel azonosítottuk. Így a komplex számok tényleg az a+bi alakú kifejezések, melyekkel a műveleteket úgy kell végezni, ahogyan már megszoktuk.
7. Összefoglaló
A modulo m maradékok ℤm={0,1,...,m-1} halmazán bevezettük a modulo m összeadás és szorzás fogalmát (1.1.4. Definíció), és felderítettük ezek alapvető tulajdonságait (1.1.5. Állítás). Megállapítottuk, hogy ezek nagyon hasonlítanak a számok közötti műveletek tulajdonságaira, valamint hogy művelettartó az a leképezés, amely minden egész számhoz a mod m maradékát rendeli (1.1.6. Állítás). A kivonás az ellentett hozzáadása, az osztás a reciprokkal (inverzzel) való szorzás. Az ellentett mindig létezik, a reciprok azonban nem. Nyitva maradt a nullosztómentesség kérdése is: egy szorzat lehet-e nulla úgy, hogy egyik tényezője sem nulla. A maradékokkal való számolást felhasználtuk kombinatorikai és számelméleti feladatok megoldására.
Megbeszéltük a harmadfokú egyenlet megoldási ötletét, és ebből levezettük a Cardano-képletet, bár az még nem derült ki, hogy ez megadja-e az egyenlet összes megoldását. Konkrét példák alapján azt tapasztaltuk, hogy ha az egyenletnek csak egy valós gyöke van, akkor azt a képlet megadja, de három valós gyök esetén ezeket csak úgy tudjuk megkapni, ha hajlandók vagyunk formálisan számolni negatív számok négyzetgyökeivel.
Hogy a negatív számok négyzetgyökeivel való számolást precízzé tegyük, bevezettük a komplex számokat, mint a+bi alakú formális kifejezéseket, ahol i2=-1. Felfedeztük az összeadás és a szorzás szabályait és tulajdonságait (1.3.2. Definíció, 1.3.3. Állítás), melyek szintén nagyon hasonlítanak a számok közötti műveletek tulajdonságaihoz. A valós számokat is (a+0⋅ i alakú) komplex számnak képzeljük, és ezentúl „szám” alatt komplex számot értünk. Megmutattuk, hogy minden nem nulla komplex számmal lehet osztani (1.3.6. Állítás): a törtet a nevező konjugáltjával kell bővíteni. Ebből levezettük a nullosztómentességet is (1.3.7. Következmény).
Kiterjesztettük az abszolút érték fogalmát komplex számokra (de leszögeztük, hogy komplex számok között nem értelmezünk egyenlőtlenségeket). Összefoglaltuk a konjugálás és az abszolút érték tulajdonságait (1.3.10.
Állítás).
A komplex számokat a sík pontjaival, illetve az ezekbe az origóból mutató helyvektorokkal azonosítottuk.
Ekkor a komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Egy komplex szám abszolút értéke az origótól való távolsága, és emiatt teljesül a háromszög-egyenlőtlenség (1.4.3. Tétel). Definiáltuk nem nulla komplex szám szögét, és trigonometrikus alakját. Megállapítottuk, hogy komplex számok szorzásakor a hosszak összeszorzódnak, a szögek pedig (mod 2π) összeadódnak (1.4.5. Állítás). Így képletet kaptunk a gyors hatványozásra (pozitív és negatív egész kitevők esetében). Az a következmény, hogy egy komplex számmal való szorzás egy forgatva nyújtás, lehetővé teszi, hogy komplex számokat használjunk geometriai feladatok megoldásához.
Megállapítottuk, hogy egy nem nulla komplex számnak minden pozitív n egészre pontosan n darab n-edik gyöke van, amelyek egy origó középpontú szabályos sokszög csúcsaiban helyezkednek el. A gyökvonást trigonometrikus alakban célszerű elvégezni (1.5.2. Gyakorlat). Azokat az ε komplex számokat, amelyekre εn=1 teljesül, n-edik egységgyököknek neveztük. Ezek a cos (2kπ/n)+i sin (2kπ/n) alakú számok, ahol 0≤ k<n, így összesen n darab n-edik egységgyök van. Ha egy komplex számnak ismerjük az egyik n-edik gyökét, akkor az összes n-edik gyökeit ebből az n-edik egységgyökökkel való szorzással kapjuk (1.5.4. Tétel).
Egy z≠ 0 komplex szám o(z)rendje a különböző hatványainak a száma. Ez vagy végtelen, ebben az esetben z bármely két egész kitevőjű hatványa különböző, vagy egy pozitív r szám, ebben az esetben z hatványai r szerint periodikusan ismétlődnek, vagyis
(1.5.8. Tétel). Speciálisan zn akkor és csak akkor 1, ha o(z)∣ n (ezek a z szám „jó” kitevői). Egy z komplex szám rendje akkor és csak akkor véges, ha a szám egységgyök, vagyis ha hossza 1, szöge pedig a 2π racionális számszorosa. Ha ez a racionális szám p/q, és (p,q)=1, akkor z rendje q (1.5.11. Állítás). Mindez a hatvány rendjének
képletéből következik (1.5.10. Tétel).
Egy komplex számot primitívn-edik egységgyöknek nevezünk, ha rendje n. Ezek a cos (2kπ/n)+i sin (2kπ/n) alakú számok, ahol (k,n)=1. Összesen θ(n) darab primitív n-edik egységgyök van (itt θ(n) a számelméletből ismert Euler-függvény). Egy szám akkor és csak akkor n-edik primitív egységgyök, ha hatványai pontosan az összes n-edik egységgyökök (1.5.13. Tétel).
Végül mutattunk egy lehetséges módot a komplex számok precíz bevezetésére. Az a+bi-nek képzelt számot az (a,b) rendezett párként definiáltuk, és az ezek közötti műveleteket az 1.3.2. Definíció alapján adtuk meg (1.6.1.
Definíció). Az a valós számot azonosítottuk az (a,0) komplex számmal, ezt azért tehettük meg, mert az összeadást és a szorzást mindkettővel „ugyanúgy” kell végezni. Ily módon a valós számok is komplex számokká váltak. Az i=(0,1) jelölést használva (a,b)=a+bi adódott, és így precízzé tettük a komplex számok korábbi, szemléletes definícióját.