Most egy olyan apparátust mutatunk be, amelynek segítségével alakzatok szimmetriáit tudjuk megszámolni.
Ehhez a 4.4.5. Kérdésben szereplő példát érdemes tetszőleges olyan csoportra általánosítani, amely transzformációkból áll.
4.5.1. Definíció. Legyen X halmaz. Az SX szimmetrikus csoport részcsoportjait transzformációcsoportoknak, illetve (elsősorban véges X esetén) permutációcsoportoknak nevezzük. Az X halmaz elemeit néha pontoknak hívjuk.
4.5.2. Definíció. Legyen G transzformációcsoport az X halmazon. Ha x∈ X, akkor tekintsük azokat a g∈ G elemeket, melyek x-et fixen hagyják, azaz g(x)=x. Ezek nyilván részcsoportot alkotnak G-ben, melynek neve az x pont G-beli stabilizátora, jele Gx. Ha g(x)=x, akkor mondjuk azt is, hogy xfixpontjag-nek. Egy transzformáció fixpontmentes, ha nincs fixpontja.
4.5.3. Lemma. Tegyük föl, hogy G≤ SX és g∈ G egy rögzített elem. Legyen x∈ X és y=g(x). Ekkor azok az f∈ G elemek, amelyekre f(x)=y, a gH mellékosztályt alkotják, ahol H=Gx az x elem stabilizátora G-ben.
Bizonyítás. Mivel g(x)=y, ezért
tetszőleges f∈ G esetén. □
Megjegyzés
Ha a leképezéseket jobbról írnánk, akkor a 4.5.3. Lemmában jobb oldali mellékosztályt kapnánk bal oldali helyett.
A sík bármelyik pontját bármelyik másik pontba el tudjuk vinni egy alkalmas egybevágósági transzformációval.
4.5.4. Definíció. A G≤ SX transzformációcsoport tranzitív, ha X bármely x és y elemeihez létezik olyan g∈ G, hogy g(x)=y.
Legyen G a sík egybevágósági transzformációinak csoportjában az origó stabilizátora. Ez már nem tranzitív a síkon, mert ha P tetszőleges pont, akkor P képei G elemeinél nem adják ki az egész síkot, hanem csak az origó körüli, P-t tartalmazó körvonal pontjait.
4.5.5. Definíció. Legyen G≤ SX transzformációcsoport és x∈ X. A g(x) alakú pontok halmazát, ahol g befutja G elemeit, az x pályájának (orbitjának) nevezzük, és G(x)-szel jelöljük. A pálya elemszámát a pálya hosszának hívjuk.
Ha G az origó stabilizátora az E(2) csoportban, akkor a pályák az origó középpontú körvonalak (ide értve az origót tartalmazó egyelemű halmazt is, mint elfajult esetet). Ezek a sík egy partícióját alkotják.
4.5.6. Állítás. Legyen G≤ SX transzformációcsoport. Ekkor G összes pályái az X halmaz egy partícióját alkotják.
Bizonyítás. Az állítást természetesen úgy kell érteni, hogy ha X két elemének a pályája ugyanaz, akkor ezt a pályát csak egyszer vesszük be a partíciót alkotó halmazok közé (hasonló érvényes a mellékosztályok esetében is).
Definiáljunk egy ∼G relációt X-en a következőképpen: x ∼G y akkor és csak akkor, ha van olyan g∈ G, melyre g(x)=y. Tehát két elem akkor áll relációban, ha az egyiket a másikba át lehet vinni G egy elemével. Azonnal látszik, hogy ∼G ekvivalenciareláció. Valóban, x∼G x (hiszen az egységelem x-et önmagába viszi); ha x∼G y, akkor y∼G x (hiszen ha g(x)=y, akkor g-1(y)=x); végül ha x∼G y és y∼G z, akkor x∼G z (hiszen ha g(x)=y és h(y)=z, akkor (hg)(x)=z).
A 4.4.9. Tétel szerint tehát ∼G egy partíciót definiál. Ennél az x∈ X elem osztálya nyilvánvalóan pontosan az X elem pályája lesz. □
4.5.7. Gyakorlat. Tekintsük a D4 diédercsoportot (a négyzet szimmetriacsoportját, lásd 4.1.23. Állítás), mint a sík egybevágósági transzformációinak részcsoportját. Határozzuk meg a sík minden pontjának pályáját és stabilizátorát. Mi az összefüggés a pálya és a megfelelő stabilizátor elemszáma között?
4.5.8. Tétel. Legyen G≤ SX. Ekkor tetszőleges x∈ X-re |G(x)|=|G:Gx|. Tehát egy pont pályájának a hossza épp a pont stabilizátorának az indexe, vagy másképp fogalmazva az x pályájának elemszáma szorozva az x stabilizátorának elemszámával mindig G elemeinek a számát adja.
Bizonyítás. Azt kell belátni, hogy G(x) elemszáma ugyanaz, mint Gx indexe, vagyis a szerinte vett bal oldali mellékosztályok száma. Kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést fogunk létesíteni a G(x) elemei és a Gx szerinti bal mellékosztályok között, melynél az y∈ G(x) ponthoz azoknak a G-beli elemeknek a halmaza tartozik, amelyek x-et y-ba viszik. Ez a halmaz tényleg Gx szerinti bal oldali mellékosztály a 4.5.3. Lemma szerint. Ha y1≠ y2, akkor a hozzájuk tartozó mellékosztályok különbözők, mert ha g közös elemük lenne, akkor y1=g(x)=y2
teljesülne. Minden mellékosztályt meg is kapunk ilyen alakban, hiszen ha g∈ G, akkor y=g(x)∈ G(x), és így az y ponthoz gGx tartozik. □
Megjegyzés
A fenti bizonyítás végtelen G-re vagy X-re is érvényes, azt láttuk be, hogy a pálya számossága és a mellékosztályok halmazának számossága ugyanaz. Speciálisan egy pont pályája akkor és csak akkor véges, ha a stabilizátora véges indexű részcsoport.
Most egy alkalmazást mutatunk be: kiszámoljuk, hány szimmetriája van a kockának. Legyen G azoknak az egybevágósági transzformációknak a halmaza, melyek a kockát önmagába képzik. Nyilván G részcsoportja a tér egybevágóságcsoportjának, de ha X jelöli a kocka csúcsainak halmazát, akkor G tekinthető az SX
részcsoportjának is, hiszen egybevágóság csúcsot csúcsba visz, és ha egy egybevágósági transzformációt a kocka csúcsain ismerünk, akkor már a tér minden pontjának a képét meg tudjuk határozni.
Legyen A a kocka egyik csúcsa. Egy egybevágósági transzformáció A-t csak a kocka valamelyik csúcsába viheti, azaz legfeljebb 8 helyre. Persze mind a nyolc csúcsba el is lehet vinni A-t a kocka egy-egy szimmetriájával: a szomszédos csúcsokba például egy síkra tükrözéssel, a többi csúcsba ilyenek egymásutánjával. Vagyis A pályája nyolcelemű (és így G tranzitív a kocka csúcsain). Jelölje H=GA az A stabilizátorát G-ben. Tudjuk tehát, hogy G elemszáma a H elemszámának nyolcszorosa.
Legyen B, C, D az A csúcs három szomszédja. Mi lehet a B csúcs képe egy g∈ H transzformációnál? Mivel g egybevágóság, a g(B)g(A) távolság meg kell hogy egyezzen az AB távolsággal. Tehát g(B) élhossznyi távolságra van g(A)=A-tól. Ilyen csúcs három van: B, C és D. Az A csúcsból induló testátló körüli két 120 fokos forgatás (mindkettő H-nak eleme) a B-t elviszi C-be, illetve D-be, ezért a B pályája a H csoportnál {B,C,D}. Legyen K a B stabilizátora H-ban. Így H elemszáma a K elemszámának háromszorosa.
A C pályája K-nál a C és D csúcsokból áll. Valóban: ha g∈ K, akkor g(C) az A-tól élnyi távolságra van, azaz B, C, D egyike, de g(C) nem lehet B, hiszen B is fixen marad K elemeinél. Másrészt az AB-n átmenő átlósíkra való tükrözés fixen hagyja A-t és B-t, és kicseréli C-t D-vel. Ezért C pályája K-nál tényleg a C és D csúcsokból áll, vagyis kételemű. Ha L jelöli a C stabilizátorát G-ben, akkor tehát K elemszáma az L elemszámának kétszerese.
Az L csoport elemei az A, B, C csúcsokat helyben hagyják, és a kockát is önmagába képzik, ilyen transzformáció már csak az identitás lehet. Tehát L elemszáma 1. Innen visszagöngyölítve |K|=2, ezért |H|=2⋅ 3=6, és végül G elemszáma 6⋅ 8=48. A kockának tehát 48 szimmetriája van. Ha ezt „kézzel” akartuk volna meghatározni, jó eséllyel kifelejtettünk volna néhányat.
4.5.9. Állítás. Összesen 48 olyan egybevágósági transzformáció van, amely egy adott kockát önmagába visz. A kocka csúcsait ezek tranzitívan permutálják.
4.5.10. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy n≥ 3 esetén egy szabályos n-szögnek 2n szimmetriája van.
4.5.11. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy a szabályos tetraédernek 24 szimmetriája van, vagyis a csúcsok bármely permutációja megvalósítható alkalmas egybevágósági transzformációval, és így ez a szimmetriacsoport S4-gyel izomorf.
Sokszor megtörténik az, hogy egy G csoport elemei maguk nem permutációi az X halmaznak, mégis G elemei
„hatnak” az X halmazon. Például a kocka esetében beszélhetünk arról is, hogy az egybevágóságok a kocka éleit, lapjait, vagy testátlóit permutálják. Egy egybevágósági transzformáció a tér pontjain értelmezett függvény, tehát nem szakaszokat permutál. De mondhatjuk azt, hogy ha F egybevágóság, akkor az szakaszt F „vigye” az
szakaszba. Ezt jelölhetjük a következőképpen: .
4.5.12. Definíció. Azt mondjuk, hogy a G csoport az X halmazon hat, ha minden g∈ G és x∈ X esetén értelmezve van a g*x∈ X elem úgy, hogy bármely g,h∈ G és x∈ X esetén
(azaz G elemeinek szorzata kompozícióként hat), és ha 1 jelöli G egységelemét, akkor bármely x∈ X esetén
(vagyis az egységelem identikusan hat X-en).
Megjegyzés
Ezek a szabályok hasonlítanak ahhoz, ahogy egy vektortér elemeit skalárokkal szorozzuk. Érdemes ellenőrizni, hogy a skalártest multiplikatív csoportja tényleg hat minden vektortéren a fenti értelemben.
Ha a leképezéseket jobbról írnánk, akkor a jobb oldali hatás fogalmát kellene definiálnunk. Ezt gyakran a kitevőbe írják, tehát az x∈ X és g∈ G esetén az xg∈ X-et értelmezik, melyre {(xg)}h=xgh teljesül.
4.5.13. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy a fenti hatásnál g-1 inverz leképezésként hat, azaz
Ezért minden g∈ G elemre az x↦ g*x leképezés az X halmaz egy transzformációja.
Az eddig tárgyaltakat speciális esetként kapjuk, ha G≤ SX, azaz G maga transzformációkból áll, és g*x=g(x).
4.5.14. Definíció. Legyen G az X-en ható csoport. Ekkor az x∈ X pont pályája a g*x alakú pontokból áll (g∈ G), vagyis azokból, ahová x-et G elemeivel el lehet vinni, jele G(x). Az x∈ Xstabilizátora azokból a g∈ G csoportelemekből áll, melyekre g*x=x, vagyis amelyek az x-et fixen hagyják, jele Gx. Azt mondjuk, hogy G hatása X-en tranzitív, ha csak egyetlen pálya van, azaz ha X bármely két eleme egymásba átvihető G egy elemével.
4.5.15. Tétel. Legyen G az X halmazon ható csoport. Ekkor G pályái X egy partícióját adják. Tetszőleges x∈ X pont pályájának a hossza épp a pont stabilizátorának az indexe.
Bizonyítás. Értelmezzük a ∼G ekvivalenciarelációt az X-en a következőképpen: x ∼G y akkor és csak akkor, ha van olyan g∈ G, melyre g*x=y. Ennek osztályai nyilván a pályák lesznek. A második állítás bizonyítása teljesen ugyanaz, mint a 4.5.8. Tételé: a Gx stabilizátor szerinti bal mellékosztályok elemei x-et ugyanoda, a különböző mellékosztályok elemei pedig különböző helyre viszik, hiszen
Ezért a pályának ugyanannyi eleme van, mint ahány mellékosztály. □
A permutációcsoportok olyan példákat szolgáltatnak, amelyek segítségével folytathatjuk a kis elemszámú csoportok felsorolását. Az egyelemű és a prímrendű csoportokat már megértettük. Az első két kimaradó szám a 4 és a 6. Vannak-e ilyen rendű csoportok? Természetesen igen, hiszen a ℤn+ csoport rendje n, azaz minden pozitív n-re van n-edrendű csoport. Vannak-e ezekkel nem izomorf, azaz nem ciklikus 4, illetve 6 rendű csoportok?
A D3 diédercsoportnak 6 a rendje, de nem kommutatív, és ezért nem is lehet ciklikus. Később belátjuk majd, hogy hatelemű csoportból izomorfia erejéig csak kettő van: a ℤ6+ ciklikus, és a D3 diédercsoport (4.8.37.
Gyakorlat).
4.5.16. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy a D3 diédercsoport izomorf az S3 szimmetrikus csoporttal.
4.5.17. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy egy téglalapnak, amely nem négyzet, pontosan négy szimmetriája van, az identitás kivételével ezek mindegyike másodrendű, és bármely két másodrendű szimmetria (bármely sorrendben vett) szorzata a harmadik másodrendű szimmetria.
Jelölje a téglalap szimmetriacsoportját K, ennek (és minden vele izomorf csoportnak) a neve Klein-csoport. Ez biztosan nem izomorf a ℤ4+ ciklikus csoporttal, hiszen ez utóbbiban van negyedrendű elem, a Klein-csoportban pedig nincsen. Ugyanakkor a Klein-csoport izomorf a ℤ8× csoporttal. Ezt sugallja, hogy ℤ8×-ben, minden egységtől különböző elem másodrendű. A bizonyítást általánosan végezzük.
4.5.18. Tétel. Minden négyelemű csoport izomorf vagy a négyelemű ciklikus csoporttal, vagy a Klein-csoporttal, attól függően, hogy van-e benne negyedrendű elem, vagy nincs.
Bizonyítás. Legyen G egy negyedrendű csoport. Ha G-nek van negyedrendű g eleme, akkor g-nek négy különböző hatványa van, ezért a G csoport a g hatványaiból áll, tehát ciklikus.
Tegyük föl, hogy G-ben nincs negyedrendű elem. Lagrange tétele miatt minden elemrend négynek osztója, és így csak 1 vagy 2 lehet. Nyilván az egységelem az egyetlen elsőrendű elem. Így a G csoport elemei {1,a,b,c}, ahol a, b, c mindegyike másodrendű. Próbáljuk meg kiszámítani az összes G-beli szorzatot.
Az áttekinthetőség kedvéért ezeket a szorzatokat egy táblázatba rendezzük. A táblázat minden sora és minden oszlopa G egy-egy elemének felel meg. A g-hez tartozó sor és a h-hoz tartozó oszlop metszéspontjába a gh szorzatot írjuk. Ezt a táblázatot a G csoport Cayley-táblázatának nevezzük. A ℤ5+ csoport Cayley-táblázatát már kiszámítottuk a 1.1. egyeletben. A G csoportban egyelőre a következő szorzatokat ismerjük:
Valóban, 1g=g1=g minden g-re, az a, b, c elemek négyzete pedig 1, mert ezek az elemek másodrendűek.
Mennyi lehet az ab szorzat értéke? Négy lehetőségünk van: 1, a, b és c, vegyük őket sorra.
1. Ha ab=1, akkor b-vel szorozva ab2=b. Mivel b2=1, innen a=b, ami lehetetlen.
2. (a) Ha ab=a, akkor a-val egyszerűsítve b=1, ez is lehetetlen.
3. (b) Ugyanígy ab=b sem lehetséges.
4. (c) Marad tehát egyedül az ab=c lehetőség.
Ezt a számolást elmondhatjuk másképp is, a következő állításra hivatkozva.
4.5.19. Állítás. A Cayley-táblázatban minden sor és minden oszlop a csoport elemeinek egy permutációja.
Bizonyítás. A g elem sorában a gx alakú elemek vannak felsorolva. Ezek kiadják a csoport összes elemét: az y elemet g(g-1y) alakban kaphatjuk. A sorban nincs két egyenlő elem az egyszerűsítési szabály miatt. Ugyanez elmondható g oszlopáról is, ahol az xg alakú elemek szerepelnek. □
Ezek után vizsgáljuk a fenti táblázatban az ab szorzatot. Az a elem sora tartalmazza az a és 1 elemeket, és ezért ab nem lehet ezek egyike sem. A b oszlopa tartalmazza b-t, ezért ab nem lehet b sem, és így csakis c lehet.
Mivel az a, b, c elemek szerepe teljesen szimmetrikus, ugyanez a gondolatmenet mutatja, hogy ezek közül bármely két elem bármely sorrendben vett szorzata a harmadik. Ezért a táblázatot teljesen kitölthetjük.
Tehát minden szorzat ugyanaz, mint a Klein-csoportban, és ezzel a 4.5.18. Tétel állítását beláttuk. □
Megjegyzés
A fenti bizonyítás igazából azt mutatja, hogy legfeljebb két darab négyelemű csoport létezik izomorfia erejéig. A kapott táblázat esetében nagyon hosszadalmas lenne ellenőrizni a csoportaxiómákat (például az asszociativitást). Ezt a négyelemű csoportot azonban kétféleképpen is megkonstruáltuk (a téglalap szimmetriacsoportjaként, illetve a ℤ8
× csoportként), és mindkét esetben (más-más okból) könnyen adódott, hogy tényleg csoportról van szó.
Az eddig látott négyelemű példák közül a ℤ8× és a ℤ12× csoportok, illetve az A4 csoport egyetlen négyelemű részcsoportja (4.4.25. Gyakorlat) a Klein-csoporttal izomorf, ℤ5× pedig a ℤ4+ csoporttal. Később belátjuk majd, hogy általában a prím-négyzet elemszámú csoportok száma is kettő, és mindketten kommutatívak.
Megjegyezzük, hogy a Cayley-táblázat fölírása csak kis csoportok esetében segít az izomorfizmus vizsgálatában, nagyobb csoportoknál már túl sok szorzatot kellene ellenőrizni. Ilyenkor az izomorfia bizonyításához inkább valamiféle elvet érdemes felhasználni, mint például a 4.5.11. Gyakorlatban, ahol megmutattuk, hogy a szabályos tetraéder szimmetriacsoportja S4-gyel izomorf.
4.5.20. Gyakorlat. Írjuk föl a D4 diédercsoport elemeit, mint a négyzet csúcsainak permutációit diszjunkt ciklusok segítségével, és készítsük el a Cayley-táblázatát.
Nyolcelemű csoport ötféle létezik: három kommutatív (ezek szerkezetéről később lesz szó), a D4 diédercsoport, és a Hamilton által felfedezett Qkvaterniócsoport (4.11.10. Feladat). Ennek táblázata a következő:
Szerencsére ezt a szorzást könnyen meg lehet jegyezni a következőképpen. Az 1 az egységelem, a -1-gyel való szorzás minden elemet az ellentettjére változtat. Az i, j, k mindegyike úgy viselkedik, mint a komplex i szám, azaz négyzetük -1. Egymással ezeket úgy szorozzuk, hogy az {i,j,k} „körön” sorrendben haladva bármely kettő szorzata a harmadik, visszafelé haladva pedig bármely kettő szorzata a harmadik ellentettje.
Megjegyzés
Ha az Olvasó már hallott vektoriális szorzatról, akkor a kvaterniók szorzása ismerős a számára.
Feleltessük meg ugyanis az i, j, k szimbólumokat rendre az szokásos háromdimenziós térbeli (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) pontokba mutató helyvektoroknak, a -i, -j, -k szimbólumokat pedig e vektorok ellentettjeinek. Ekkor a kvaterniók szorzása pontosan a vektoriális szorzást adja, azzal a különbséggel, hogy a felsorolt hat vektor önmagával vett vektoriális szorzata nulla, míg a kvaterniócsoportban ezeknek az elemeknek a négyzete -1. A vektoriális szorzás nem asszociatív.
Ellenőrizni kellene, hogy a kvaterniócsoportban a szorzás asszociatív (ez elvileg 83 egyenlőség vizsgálatát jelentené). Ezt nem is így fogjuk elvégezni, hanem a következőképpen.
4.5.21. Gyakorlat. Tekintsük az alábbi ℂ fölötti mátrixokat.
Mutassuk meg, hogy a ± I, ± J, ± K mátrixok az egységmátrixszal és az ellentettjével együtt részcsoportot alkotnak GL(2,ℂ)-ben, mely teljesíti a kvaterniócsoport definíciójában megszabott szorzási szabályokat (vö.
5.11.1. Gyakorlat).
Ez a gyakorlat tehát bizonyítja, hogy a kvaterniócsoportban asszociatív a művelet (és azt is, hogy a GL(2,ℂ) csoportban van Q-val izomorf részcsoport).
4.5.22. Feladat. Mutassuk meg, hogy a D4 és a Q csoportok nem izomorfak.
Már láttuk, hogy egy G csoport Cayley-táblázatának minden sora (és minden oszlopa) a csoport elemeinek egy permutációja (4.5.19. Állítás). A következő célunk annak megmutatása, hogy a sorok, mint permutációk, egy G-vel izomorf permutációcsoportot alkotnak. Ehhez egy segédállításra lesz szükségünk.
4.5.23. Gyakorlat. Legyen θ: G→ H tetszőleges csoporthomomorfizmus. Mutassuk meg, hogy θ értékkészlete, vagyis a θ(g) alakú H-beli elemek halmaza, ahol g befutja G-t, részcsoport H-ban.
4.5.24. Tétel. [Cayley-tétel] Minden csoport izomorf egy permutációcsoporttal.
Bizonyítás. Jelölje ψ(g) a g elem sorához tartozó permutációt G szorzástáblájában. Ez a csoport egy x elemét gx-be viszi, képlettel [ψ(g)](x)=gx. Mivel a G csoport elemeinek egy permutációjáról van szó, a ψ(g) permutáció az SG szimmetrikus csoportnak eleme. Megmutatjuk, hogy ψ:G→ SG homomorfizmus.
A ψ szorzattartása azt jelenti, hogy ψ(g1g2)=ψ(g1)∘ ψ(g2). Ez két függvény egyenlősége, azt kell megmutatni, hogy minden x∈ G helyen megegyeznek. De ez igaz, mert
Tehát a ψ:G→ SG leképezés tényleg csoporthomomorfizmus.
Legyen C⊆ SG a ψ értékkészlete, a 4.5.23. Gyakorlat szerint ez részcsoport SG-ben. Mivel ψ izomorfizmus G és a C≤ SG részcsoport között, Cayley tételét beláttuk. □
Cayley tétele úgy is fogalmazható, hogy minden G csoport beágyazható az SG szimmetrikus csoportba.
Megjegyzés
A bizonyításban a táblázatra való hivatkozás csak a jobb érthetőséget szolgálta, a tételt beláttuk végtelen csoportokra is, ahol a táblázatot nem is tudnánk fölírni (ekkor illene permutációk helyett inkább transzformációkról beszélni). A Cayley-tétel szerint elég lenne csak permutációcsoportokat vizsgálni (mint azt Galois korában tették). A Cayley-reprezentáció vizsgálata azonban csak ritkán segít a csoport szerkezetének feltárásában (a 4.12.49. Feladat egy ilyen alkalmazás).
Ha a leképezéseket jobbról írnánk, akkor a Cayley-tételben nem a táblázat sorait, hanem az oszlopait kellene tekinteni.
4.5.26. Gyakorlat. Mik az alábbi G≤ SX transzformációcsoportokban a pályák és a stabilizátorok?
1. X a sík pontjai, G az origót fixáló egybevágóságok csoportja.
2. X a sík pontjai, G az x-tengellyel párhuzamos eltolások csoportja.
3. X egy szabályos n-szög csúcsai, G ezt az n-szöget önmagába vivő egybevágóságok csoportjának egy adott csúcsot fixáló elemei.
4. X egy kocka csúcsai, G a kocka szimmetriacsoportjában egy csúcs stabilizátora.
5. X={1,2,3,4}, G=A4.
4.5.27. Gyakorlat. Mely négyszögeknek van pontosan két szimmetriája? Melyeknek van ennél több?
4.5.28. Gyakorlat. Határozzuk meg az alábbi testek szimmetriáinak számát.
1. Egy olyan téglatest, aminek mindhárom élhosszúsága különböző.
2. Egy olyan négyzet alapú egyenes hasáb, ami nem kocka.
3. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb.
4. Egy szabályos háromszög alapú egyenes gúla, amely nem szabályos tetraéder.
5. Egy szabályos oktaéder.
4.5.29. Feladat. Mutassuk meg, hogy a kocka G szimmetriacsoportja tranzitívan hat az élek halmazán, és minden él stabilizátora négyelemű. Igazoljuk azt is, hogy G a lapok halmazán is tranzitívan hat, és itt mindegyik stabilizátor a D4 diédercsoporttal izomorf. Van-e G-nek 16 elemű részcsoportja?
4.5.30. Feladat. * Hasson a G véges csoport az X véges halmazon. Bizonyítsuk be, hogy a G pályáinak száma éppen a G elemei fixpontjainak átlagos száma.
Az előző feladat állítása Burnside-lemma néven ismeretes. Egyes leszámlálási feladatokban nagyon hasznos, ilyen például a következő.
4.5.31. Feladat. Bontsunk egy négyzetet 9 egybevágó kisebb négyzetre. Hányféleképpen lehet ezek közül négyet kiszínezni (egy színnel) úgy, hogy a négyzet szimmetriáival egymásba átvihető színezéseket nem tekintjük különbözőnek?
4.5.32. Feladat. Legyen X legalább kételemű véges halmaz. Igazoljuk, hogy SX minden tranzitív részcsoportjában van fixpontmentes elem. Elhagyható-e a tranzitivitás feltétele?
4.5.33. Gyakorlat. Egy gráf szimmetriáján a csúcsainak egy olyan permutációját értjük, amely élt élbe visz.
Rajzoljunk olyan nem egypontú gráfokat, melyeknek rendre pontosan 2, 4, 3, 1 szimmetriája van.
4.5.34. Feladat. * Igazoljuk, hogy minden véges csoport egy alkalmas véges, irányítatlan (többszörös és hurokél nélküli) gráf szimmetriacsoportja.
4.5.35. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha n≥ 3, akkor az An alternáló csoportban minden pont stabilizátora A n-1-gyel izomorf.
4.5.36. Gyakorlat. Legyen X véges halmaz, Y⊆ X és G≤ SX. Mutassuk meg, hogy a G csoport azon g elemei, amelyek az Y halmazt önmagába képzik (azaz melyekre g(Y)⊆ Y), részcsoportot alkotnak G-ben. Ezt szokás az Y részhalmaz stabilizátorának is nevezni.
4.5.37. Gyakorlat. Tegyük föl, hogy G hat az X halmazon, legyen x, y∈ X. Igazoljuk, hogy ha g*x=y, és x stabilizátora H, akkor y stabilizátora gHg-1.
4.5.38. Gyakorlat. Legyenek A és B részcsoportok a G csoportban. Legyen X a B szerinti bal oldali mellékosztályok halmaza, és hasson ezen A balszorzással, azaz legyen a*(gB)=agB. Határozzuk meg a B pályáját és stabilizátorát, majd igazoljuk, hogy |AB|=|A||B|/|A∩ B| (a 4.4.31. Gyakorlatban már láttuk az elemi bizonyítást).
4.5.39. Gyakorlat. Keressük meg S4-nek azt a részcsoportját, amit a Cayley-tétel bizonyítása a Klein-csoporthoz rendel. Tegyük meg ugyanezt a D3 csoporttal is S6-ban.