3. Izomorfizmus, ciklikus csoportok
4.3.11. Gyakorlat. Határozzuk meg az E(2) csoportban (a sík egybevágósági transzformációinak csoportjában) az elemek rendjeit
Egy permutáció ciklusfelbontása nemcsak az előjel, hanem a rend kiszámításához is komoly segítség. Azonban míg az előjelképzésnél nem volt lényeges, hogy a felbontásban szereplő ciklusok diszjunktak-e, a rend kiszámításánál ez alapvetően fontos.
4.3.12. Állítás. Bontsuk az f permutációt diszjunkt ciklusok szorzatára. Ekkor f rendje a szereplő ciklusok hosszának legkisebb közös többszöröse.
Bizonyítás. Elsőként azt mutatjuk meg, hogy minden k hosszú ciklus rendje k. Ha az f=(x1,...,xk) ciklust ℓ<k-adik hatványra emeljük, akkor fℓ az x1-et xℓ+1-be viszi. Ez nem az x1, és így fℓ még nem az identikus permutáció.
Viszont fk=id, hiszen ekkor a ciklus minden xi eleme egyszer „körbemegy”. Vagyis k a legkisebb pozitív egész, amelyre f-et emelve az identitást kapjuk, és így k az f rendje.
Tekintsük most az f=f1... fm permutációt, ahol az f1,..., fm diszjunkt ciklusok. Azt állítjuk, hogy fℓ=id akkor és csak akkor teljesül, ha minden j-re fjℓ=id. Ez azért igaz, mert ezek a ciklusok diszjunkt halmazokat mozgatnak. Ha például f1 az (x1,...,xk) ciklus, akkor az f2,..., fn permutációk az x1,...,xk mindegyikét fixen hagyják, és ezért fℓ ugyanoda viszi mindegyik xi elemet, mint az f1
ℓ. De fj
ℓ akkor és csak akkor az identitás, ha fj rendje (vagyis a hossza) osztója ℓ-nek. Tehát fℓ=id akkor és csak akkor, ha mindegyik fj ciklus hossza osztója ℓ-nek. A legkisebb ilyen tulajdonságú pozitív egész pedig e ciklushosszak legkisebb közös többszöröse. □
Ha egy g csoportelem rendje n<∞, akkor az előzőek szerint gn-1=g-1, vagyis g inverze megkapható úgy, hogy a g elemet néhány példányban önmagával összeszorozzuk.
4.3.13. Következmény. Ha G olyan csoport, amelynek minden eleme véges rendű (például G véges csoport), akkor G minden nem üres, szorzásra zárt részhalmaza részcsoport.
Megjegyzés
Egy csoportot torziócsoportnak nevezünk, ha minden elemének véges a rendje. Ebből nem következik, hogy a csoport maga is véges, például az összes komplex egységgyökök végtelen torziócsoportot alkotnak a szorzás műveletére. Egy csoport torziómentes, ha az egységelemen kívül minden elem rendje végtelen. Ilyen például a komplex számok additív csoportja.
4.3.14. Gyakorlat. Legyen G csoport, és g∈ G. Mutassuk meg, hogy a g elem egész kitevőjű hatványai részcsoportot alkotnak G-ben.
4.3.15. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy minden csoporthomomorfizmus tartja az egész kitevős hatványozás műveletét is, vagyis ha ψ: G→ H homomorfizmus, g∈ G, és n egész szám, akkor ψ(gn)=ψ(g)n.
4.3.16. Gyakorlat. Legyen ψ: G→ H csoporthomomorfizmus. Mi a kapcsolat g∈ G és ψ(g)∈ H rendje között?
Igazoljuk, hogy izomorfizmusnál az elemrend nem változik.
Fontos szerepet játszanak azok a csoportok, amelyek „olyan kicsik, hogy” egy elemük hatványaiból állnak.
Ilyen például az egész számok ℤ+ csoportja az összeadásra. Mivel a művelet az összeadás, itt hatvány helyett többszörösről kell beszélnünk. Az pedig világos, hogy az 1 szám összes egész számú többszöröse kiadja az összes egész számot.
4.3.17. Definíció. Egy G csoportot ciklikusnak nevezünk, ha egy alkalmas g elemének az egész kitevőjű hatványaiból áll. Az ilyen g elemeket a Ggenerátorelemeinek (ritkán primitív elemeinek) nevezzük. Még máshogy fogalmazva: a g elem generálja a G csoportot.
Minden ciklikus csoport kommutatív, hiszen egy elem hatványai egymással fölcserélhetők. További fontos példa ciklikus csoportra a ℤn+ csoport, ez is nyilván az 1 szám összes többszöröseiből áll. Nemsokára belátjuk első csoportelméleti struktúratételünket, ami azt mondja ki, hogy a felsoroltakon kívül „nincs más” ciklikus csoport.
4.3.18. Gyakorlat. Határozzuk meg a ℤ+ és a ℤ12+ csoportok összes generátorelemét.
4.3.19. Gyakorlat. Legyen ψ: G→ H szürjektív homomorfizmus. Mutassuk meg, hogy ha G ciklikus csoport, akkor H is az. Adjunk ellenpéldát az állítás megfordítására.
4.3.20. Tétel. Egy csoport akkor és csak akkor ciklikus, ha izomorf a ℤ+ vagy a ℤn+ csoportok valamelyikével (ahol n≥ 1 egész). Speciálisan minden ciklikus csoport kommutatív.
Bizonyítás. Tegyük föl, hogy G ciklikus csoport, vagyis van olyan g eleme, hogy G a g elem egész kitevős hatványaiból áll. A G csoport műveletét szorzásnak nevezzük, és egymás mellé írással jelöljük majd.
Először azt az esetet vizsgáljuk, amikor g rendje végtelen. Tudjuk, hogy ekkor a gk elemek páronként különbözők, és ezért a ψ: k→ gk leképezés ℤ-ből G-be injektív (azaz különböző elemek képe is különböző).
Mivel G a g hatványaiból áll, ez a leképezés szürjektív is, vagyis kölcsönösen egyértelmű. A művelettartás a hatványozás azonosságaiból következik: a 2.2.20. Gyakorlat szerint
Tehát G izomorf a ℤ+ csoporttal.
Ha a g elem rendje véges, mondjuk n, akkor azt mutatjuk meg, hogy G a ℤn+ csoporttal izomorf. Most is a ψ(k)=gk leképezést tekintjük. Az elemrendről tanultak miatt ez kölcsönösen egyértelmű ℤn és G között (hiszen g összes hatványa éppen g0,g1,...,gn-1). A művelettartáshoz azt kell megmutatni, hogy
Ez teljesül: gkgℓ=gk+ℓ, a k+ℓ és k+nℓ számok különbsége a +n művelet definíciója szerint osztható n-nel, és így az n rendű g elem megfelelő két hatványa tényleg megegyezik.
Beláttuk tehát, hogy minden ciklikus csoport izomorf a ℤ+, illetve a ℤn+ csoportok valamelyikével. Még azt kell megmutatni, hogy megfordítva, ha egy G csoport izomorf a ℤ+, illetve a ℤn+ csoportok valamelyikével, akkor ciklikus. Azt már tudjuk, hogy ℤ+ és ℤn+ ciklikus csoportok. Ezért a 4.3.19. Gyakorlat miatt G is ciklikus. □ 4.3.21. Kérdés. Ciklikus-e a ℤ17× csoport?
Némi keresgélés után rájöhetünk arra, hogy igen: ez a csoport a 3 hatványaiból áll. Általában is igaz az, hogy ha p prímszám, akkor a ℤp× csoport ciklikus. Ez nevezetes számelméleti tétel, amit ott úgy szokás fogalmazni, hogy
„létezik primitív gyök modulo p”.
4.3.22. Tétel. Legyen T véges test. Ekkor T multiplikatív csoportja ciklikus. Speciálisan ha p prímszám, akkor a ℤp× csoport ciklikus, és így izomorf a ℤp-1+ csoporttal.
Erre a tételre két bizonyítást is adunk a későbbiekben (4.4.33. Feladat, illetve 4.9.36. Feladat). A k számot akkor nevezzük primitív gyöknek mod n, ha generálja a ℤn× csoportot.
Megjegyzés
Mi egy ilyen izomorfia haszna? Tegyük föl, hogy az x6≡ 9 (17) kongruenciát akarjuk megoldani. A ℤ17×
csoport ciklikus, tehát izomorf a ℤ16+ csoporttal, amiben már könnyebb számolni. Az izomorfizmusnál a g∈ ℤ16-nak a 3g∈ ℤ17, az összeadásnak a szorzás felel meg. A 9∈ ℤ17 inverz képe 2, mert 32=9. Ezért ha y jelöli az x inverz képét ennél az izomorfizmusnál, azaz 3y≡ x (17), akkor az eredeti kongruenciának a 6y≡ 2 (16) lineáris kongruencia felel meg. Például az y=11 megoldáshoz az x=311=7 tartozik. A ℤp× csoport ciklikus mivolta teszi lehetővé az úgynevezett binom kongruenciák megoldását a számelméletben.
4.3.23. Lemma. Legyen G csoport, és g egy d<∞ rendű eleme. Ekkor g hatványainak rendje d-nek osztója, és g-nek pontosan θ(d) darab d rendű hatványa van (itt θ az Euler-függvény).
Bizonyítás. A hatvány rendjének képlete szerint
Ez tényleg osztója d-nek, és pontosan akkor lesz d, ha (d,k)=1. Mivel g rendje d, a k kitevő a 0,1,..., d-1 értékeket veheti fel. A keresett d rendű elemek száma tehát azon 0≤ k< d egészek számával egyenlő, amelyek d-hez relatív prímek, azaz θ(d). □
4.3.24. Állítás. Legyen G véges ciklikus csoport. Ha a d pozitív egész osztója G rendjének, akkor G-nek pontosan d darab olyan g eleme van, melyre gd=1, és ezek ciklikus részcsoportot alkotnak. A G csoportnak pontosan θ(d) darab d rendű eleme van, amelyek egymás hatványai. Ha d nem osztója G rendjének, akkor G-ben nincs d rendű elem.
Bizonyítás. Legyen |G|=n. Mivel G ciklikus, egy g∈ G elemének a hatványaiból áll. Így a g elemnek n különböző hatványa van, tehát a rendje n.
Tegyük föl, hogy d∣ n. A gk elem d-edik hatványa akkor 1, ha gkd=1, vagyis ha n∣ kd, ami azzal ekvivalens, hogy (n/d) ∣ k. Ha h=gn/d, akkor ezek az elemek
Tehát azok az elemek, amelyek d-edik hatványa 1, tényleg egy d rendű ciklikus részcsoportot alkotnak. Az előző lemma miatt így G-ben θ(d) darab d rendű elem van (hiszen ha egy elem rendje d, akkor a d-edik hatványa 1, vagyis szerepel a felsoroltak között).
Ha h1 egy másik d rendű eleme G-nek, akkor az előző lemma miatt ennek is θ(d) darab d rendű hatványa van, vagyis G összes d rendű eleme hatványa lesz. Ezért a d rendű elemek tényleg egymás hatványai. Végül ha d nem osztója n-nek, akkor G-ben az előző lemma miatt nincs d rendű elem. □
4.3.25. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy a komplex n-edik egységgyökök csoportot alkotnak a szorzásra, és ez ciklikus csoport. Vezessük le az előző állításból, hogy a primitív n-edik egységgyökök száma θ(n).