Ebben a szakaszban megismerkedünk a mellékosztály fogalmával, és belátjuk Lagrange tételét, mely szerint minden csoportelemnek és részcsoportnak a rendje osztója a csoport rendjének (ezt ciklikus csoportok esetében már tudjuk).
A 2.2.16. Feladatban megmutattuk, hogy egy G csoport egy H részhalmaza akkor és csak akkor részcsoport (képletben H≤ G), ha tartalmazza az egységelemet, továbbá zárt a szorzásra és az inverzképzésre.
4.4.1. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy egy G csoport egy nem üres H részhalmaza pontosan akkor részcsoport, ha tetszőleges a,b∈ H esetén ab-1∈ H teljesül.
Ezt az állítást egy új jelöléssel átfogalmazzuk. Ez a jelölés, az úgynevezett komplexusszorzás azért hasznos, mert az elemekkel való számolásokat lerövidíti. Komplexusnak régebben egy csoport részhalmazait nevezték (ez az elnevezés a geometriából származik).
Megjegyzés
Lineáris algebrában tanultuk, hogy ha U és W alterek egy vektortérben, akkor összegük az U+W={u+w : u∈ U, w∈ W} halmaz, ami maga is altér (sőt, az U és W által generált altér). Ennek analógiájára vezetjük be tetszőleges csoportban részhalmazok szorzatát.
4.4.2. Definíció. Ha X és Y tetszőleges részhalmazai egy G csoportnak, akkor
az X és Ykomplexusszorzata, és
az Xkomplexusinverze. Ha speciálisan X={a} egy egyelemű halmaz, akkor {a}Y és Y{a} helyett egyszerűen aY-t, illetve Ya-t írunk.
4.4.3. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy a komplexusszorzás asszociatív művelet, és (XY)-1=Y-1X-1.
4.4.4. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy egy G csoport egy H nem üres részhalmazára az alábbi három állítás ekvivalens.
1. H részcsoport.
2. HH=H-1=H.
3. HH-1⊆ H.
Igazoljuk azt is, hogy ha H részcsoport, és h∈ H, akkor hH=Hh=H.
4.4.5. Kérdés. Legyen G=E(2) a sík egybevágóságainak csoportja, H azoknak a transzformációknak a részcsoportja, amelyek a P pontot fixálják, és Q egy tetszőleges másik pont. Hogyan írhatnánk le azokat a transzformációkat, melyek a P pontot Q-ba viszik?
A kérdés megválaszolásához érdemes megnézni a 4.1.34. Gyakorlat megoldását, most hasonló gondolatmenet következik. Legyen g rögzített olyan transzformáció, melyre g(P)=Q. Ekkor f(P)=Q pontosan akkor teljesül, ha g-1f(P)=P, azaz ha h=g-1f∈ H. Ezért f=gh, vagyis a keresett transzformációk a gH halmazt alkotják.
4.4.6. Definíció. Legyen G csoport, H≤ G és g∈ G. A gH halmazt (a H részcsoport szerinti) bal oldali mellékosztálynak nevezzük. Ugyanígy a Hg halmaz jobb oldali mellékosztály.
A 4.4.5. Kérdésben szereplő példában világos, hogy a G csoport elemeit osztályokba soroltuk: a sík Q pontjához azok az f∈ G elemek tartoznak, melyekre f(P)=Q. Semelyik két osztálynak nincs közös eleme, és az egyesítésük kiadja a G csoportot. Ilyenkor partícióról beszélünk.
4.4.7. Definíció. Legyen X egy halmaz, és osszuk föl X-et nem üres, páronként diszjunkt halmazok egyesítésére. Egy ilyen felosztást X egy partíciójának nevezünk, a benne szereplő halmazokat pedig a partíció osztályainak.
Most egy módszert mutatunk arra, hogy hogyan lehet partíciókat kényelmesen megadni. Egy X halmazon akkor értelmezünk egy relációt, ha X bármely két elemére megmondjuk, hogy azok relációban vannak-e, vagy sem.
Ilyen reláció például az oszthatóság, vagy a ≤ reláció az egész számok halmazán. Azt, hogy a és b az R relációban áll, (vagy néha (a,b)∈ R) jelöli.
Megjegyzés
Ha formalizálni akarnánk a reláció fogalmát, akkor a következőt kellene mondanunk. Tekintsük az összes (x,y) párok X× X halmazát, ahol x,y∈ X (vagyis az X halmaz Descartes-szorzatát önmagával).
Egy R reláció az X× X egy tetszőleges részhalmaza: pontosan azokból a párokból áll, melyekre a reláció teljesül. Ez magyarázza a fenti (a,b)∈ R jelölést is.
Ha az X halmaznak adott egy partíciója, akkor készítsünk belőle egy R relációt a következőképpen: két elem akkor van relációban, ha azonos osztályhoz tartoznak. Ez a reláció nyilván teljesíti a következő definícióban megfogalmazott három tulajdonságot.
4.4.8. Definíció. Az R relációt ekvivalenciarelációnak nevezzük, ha bármely x,y,z∈ X esetén teljesül az alábbi három tulajdonság.
1. Rreflexív, azaz minden x-re.
2. Rszimmetrikus, azaz ha , akkor . 3. Rtranzitív, azaz ha és , akkor .
A 4.3.6. Gyakorlatban tehát azt láttuk be, hogy az izomorfia ekvivalenciareláció a csoportok között (és a csoportokat izomorfia szerint osztályozza). Az oszthatóság nem ekvivalenciareláció, mert bár reflexív és tranzitív, de nem szimmetrikus. Az asszociáltság viszont ekvivalenciareláció minden egységelemes, kommutatív gyűrűben, a 3.1.8. Gyakorlat pontosan ezt fogalmazza meg.
Láttuk, hogy minden partíció meghatároz egy ekvivalenciarelációt. A megfordítás is igaz: minden ekvivalenciareláció meghatároz egy partíciót. Noha ez az állítás igen egyszerű, lépten-nyomon alkalmazzák, mert a matematikában igen gyakran fordulnak elő partíciók, és ezeket sokszor így érdemes megadni.
4.4.9. Tétel. Legyen R ekvivalenciareláció az X halmazon. Tetszőleges a∈ X esetén legyen Ra azoknak az X-beli x elemeknek a halmaza, melyekre . Ekkor az Ra halmazok az X egy partícióját adják.
Bizonyítás. Az Ra halmazok között lehetnek egyenlők; az állítást úgy kell érteni, hogy az Ra halmazok közül bármely kettő vagy egyenlő, vagy diszjunkt, és egyesítésük az egész X halmaz. Ez utóbbi állítás nyilván következik R reflexivitásából (hiszen a∈ Ra minden a-ra). Tegyük föl, hogy Ra és Rb nem diszjunkt, be kell látni, hogy egyenlőek. Legyen c∈ Ra∩ Rb, megmutatjuk, hogy Ra=Rc=Rb. Valóban, c∈ Ra miatt , és mivel R szimmetrikus és tranzitív, minden x-re igaz, hogy akkor és csak akkor, ha . Ezért Ra=Rc. Az a és b szerepét fölcserélve Rb=Rc adódik. □
4.4.10. Állítás. Legyen G csoport és H≤ G. Ekkor az
képlet ekvivalenciarelációt definiál G elemei között, melynek osztályai a H szerinti bal oldali mellékosztályok.
Bizonyítás. Az R reflexív, hiszen a-1a=1∈ H. Ha a-1b∈ H, akkor H∋ (a-1b)-1=b-1a (itt a 2.2.10. Feladatban igazolt (uv)-1=v-1u-1 összefüggést használtuk), ezért R szimmetrikus. Végül ha a-1b∈ H és b-1c∈ H, akkor a-1c = a-1bb-1c∈ H, vagyis R tranzitív. Tehát R ekvivalenciareláció.
Ha a∈ G, akkor a osztályát azon x∈ G elemek alkotják, melyekre , azaz a-1x∈ H, vagyis x∈ aH. Tehát a osztálya az aH mellékosztály. □
4.4.11. Tétel. [Lagrange-tétel] Véges csoport minden részcsoportjának rendje osztója a csoport rendjének.
Bizonyítás. A 4.4.10. Állítás szerint ha H≤ G, akkor a H szerinti bal oldali mellékosztályok a G egy partícióját adják. Az aH halmaznak ugyanannyi eleme van, mint H-nak, hiszen a h↔ ah az egyszerűsítési szabály miatt kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés H és aH között. Ezért G elemszámát úgy kaphatjuk meg, hogy H elemszámát megszorozzuk az osztályok számával. Így |H| osztója |G|-nek, és ezzel Lagrange tételét bebizonyítottuk. □
4.4.12. Definíció. Legyen G csoport és H részcsoportja G-nek. A különböző H szerinti bal mellékosztályok számát a H részcsoport G-beli indexének nevezzük, jele |G:H|.
4.4.13. Következmény. Bármely két H-szerinti bal oldali mellékosztály vagy megegyezik, vagy diszjunkt, és a bal oldali mellékosztályok uniója G. Ugyanez a jobb oldali mellékosztályokra is igaz. Ha G véges, akkor
|G|=|H|⋅ |G:H|.
4.4.14. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy ha H részcsoport a G csoportban, a,b∈ G, és a∈ bH, akkor aH=bH.
4.4.15. Gyakorlat. Adjuk meg az S3 szimmetrikus csoportban a H={id, (12)} részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályokat, és igazoljuk, hogy (123)H≠ H(123).
4.4.16. Gyakorlat. A 4.4.5. Kérdés jelöléseit használva igazoljuk, hogy azok az f transzformációk, melyekre f
-1(P)=Q, jobb oldali mellékosztályt alkotnak H szerint. Megegyeznek-e a H szerinti bal- és jobb oldali mellékosztályok?
A bal és jobb oldali mellékosztályok általában különbözők lesznek, mint az előző két gyakorlat is demonstrálja.
Ezért tulajdonképpen a H szerinti bal, illetve jobb index fogalmát kellett volna definiálnunk. Ez a két szám azonban megegyezik (4.4.18. Feladat). Ez véges csoportnál azonnal világos az imént bizonyított tételből (hiszen mindkettő |G|/|H|). Az index azonban lehet véges akkor is, ha a csoport maga végtelen!
4.4.17. Gyakorlat. Jelölje nℤ+ az n-nel osztható egészekből álló részcsoportot ℤ+-ban. Igazoljuk, hogy
|ℤ+:nℤ+|=n.
4.4.18. Feladat. Legyen H részcsoport a G csoportban. Mutassuk meg, hogy a H szerinti bal és jobb oldali mellékosztályok száma megegyezik.
4.4.19. Definíció. Tegyük föl, hogy H részcsoport G-ben. Ha kiválasztunk minden H szerinti bal oldali mellékosztályból egy-egy elemet, akkor egy H szerinti bal oldali reprezentánsrendszert kapunk. Analóg módon definiáljuk a jobb oldali reprezentánsrendszer fogalmát is.
A 4.3.14. Gyakorlatban már láttuk, hogy egy elem hatványai részcsoportot alkotnak.
4.4.20. Definíció. Legyen G csoport, és g∈ G. Ekkor a g elem egész kitevőjű hatványaiból álló részcsoportot a g elem által generált részcsoportnak nevezzük, és ⟨ g⟩ -vel jelöljük.
4.4.21. Következmény. Véges csoport minden elemének rendje osztója a csoport rendjének. Tetszőleges csoportelemet a csoport rendjére mint kitevőre emelve az egységelemet kapjuk.
Bizonyítás. Legyen g eleme a G véges csoportnak, és tekintsük a g által generált H részcsoportot (4.3.14.
Gyakorlat). Ennek rendje ugyanaz, mint a g rendje. Lagrange tétele szerint H rendje osztója G rendjének. Így
|G| jó kitevője g-nek, ahonnan g|G|=1. □
4.4.22. Gyakorlat. Az előző következményből vezessük le a számelméletből ismert Euler–Fermat-féle kongruenciatételt: ha az a és n pozitív egészek relatív prímek, akkor aθ(n)≡ 1 (n).
A 3. szakaszban már megbeszéltük, hogy a csoportokat izomorfia szerint akarjuk osztályozni. Mivel az izomorf csoportok tulajdonságai ugyanazok, nem érdemes megkülönböztetni őket egymástól. Ez a Steinitz-féleizomorfia-elv.
Megjegyzés
Van egy kivételes helyzet, amikor az izomorf csoportokat mégiscsak meg kell különböztetnünk, éspedig akkor, ha egy nagyobb csoportnak a részcsoportjairól van szó. Nyilvánvaló például, hogy az S3
szimmetrikus csoportnak az {id ,(12)} és az {id, (13)} részcsoportjai izomorfak, hiszen mindkettő a kételemű ciklikus csoport. De két különböző részcsoportról van szó, nem azonosíthatjuk őket.
Korábban már megértettük a ciklikus csoportok szerkezetét, és tudjuk, hogy az összes tízelemű ciklikus csoport egymással izomorf. Ezért a tízelemű ciklikus csoportról beszélhetünk (határozott névelővel). A tizedrendű ciklikus csoportok egy izomorfiaosztályt alkotnak.
Ahogy tételeket bizonyítunk, úgy egyre többet fogunk megtudni a csoportok szerkezetéről. Visszatérő témánk lesz, ahogy haladunk előre az anyagban, hogy a viszonylag kis elemszámú csoportokat fokozatosan felsoroljuk, lehetőleg olyan áttekinthető szerkezetű alakban, hogy a felmerülő kérdéseket könnyen megválaszolhassuk.
Ennek a folyamatnak az összefoglalása a Függelék 2. szakaszában olvasható. Első lépéseként most leírjuk a prímrendű csoportokat izomorfia erejéig, továbbá azokat a csoportokat is, amelyeknek csak két részcsoportjuk van.
4.4.23. Tétel. Egy G csoportnak akkor és csak akkor van pontosan két részcsoportja (a két triviális részcsoport), ha G prímrendű. Ilyenkor G ciklikus csoport (és így kommutatív).
Tehát minden prímrendű csoport ciklikus, és mivel az azonos rendű ciklikus csoportok izomorfak, így izomorfia erejéig egyetlen prímrendű csoport létezik minden p prímszámra.
Bizonyítás. Tegyük föl, hogy G-nek pontosan két részcsoportja van. Ekkor |G|>1, és így G-nek létezik 1-től különböző eleme. Minden ilyen g elemre ⟨ g⟩ ≠{1}, azaz a feltétel miatt ⟨ g⟩ =G. Tehát G ciklikus. A g rendje nem lehet végtelen, mert egy ilyen elem hatványai páronként különbözők, tehát 1≠ g2 nem generálná G-t. Ha o(g)=n(≠ 1), akkor legyen p prímosztója n-nek. A hatvány rendjének képlete miatt h=gn/p rendje p (ezt az ötletet használtuk már a 4.3.34. Gyakorlat megoldásában is). Így 1≠ h is generálja G-t, azaz G prímrendű, és egyúttal ciklikus is. Megfordítva, ha G rendje egy p prím, és H részcsoportja G-nek, akkor H rendje csak 1 vagy p lehet, tehát H={1} vagy H=G. □
Gondolkodjunk!
4.4.24. Gyakorlat. Az X halmazon alább megadott R relációk mindegyikéről döntsük el, hogy ekvivalenciareláció-e. Ha igen, adjuk meg a hozzá tartozó partíció osztályait.
1. X=ℤ, .
2. X=ℝ, .
3. X=ℂ, .
4. X a sík pontjai, (P,Q)∈ R akkor és csak akkor, ha van olyan A egybevágósági transzformáció, mely fixálja az origót, és melyre A(P)=Q.
5. X tetszőleges halmaz, f egy X-en értelmezett tetszőleges függvény, .
4.4.25. Gyakorlat. Határozzuk meg Lagrange tételének felhasználásával az S3, ℤ12+ és a ℤ12× csoportok összes részcsoportját, valamint az A4 alternáló csoport összes negyedrendű részcsoportját.
4.4.26. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy a sík, illetve a körvonal egybevágósági transzformációinak csoportjában is a mozgások részcsoportjának indexe 2.
4.4.27. Feladat. Igazoljuk, hogy ha két részcsoport uniója is részcsoport, akkor az egyik tartalmazza a másikat.
Igaz ez három részcsoportra is?
4.4.28. Gyakorlat. Legyen G csoport és H≤ K≤ G. Bizonyítsuk be, hogy |G:H| akkor és csak akkor véges, ha
|G:K| és |K:H| is véges, és ilyenkor |G:H|=|G:K|⋅ |K:H|.
4.4.29. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy két véges indexű részcsoport metszete is véges indexű (ez Poincaré tétele). Mennyi lehet a metszet indexe legfeljebb?
4.4.30. Gyakorlat. Legyen H részcsoportja a G csoportnak és g∈ G. Igazoljuk, hogy a gHg-1 komplexusszorzat is részcsoport (ez a H-nak a g-vel vett konjugáltja), mely H-val izomorf. Igaz-e, hogy a gH bal oldali mellékosztály G egy alkalmas részcsoportja szerinti jobb oldali mellékosztály is egyben?
4.4.31. Feladat. Legyenek A és B részcsoportok a G csoportban. Bizonyítsuk be, hogy |AB|=|A||B|/|A∩ B| (a 4.5.38. Gyakorlatban egy másik megoldást mutatunk, csoporthatás segítségével).
4.4.32. Feladat. Igazoljuk, hogy egy G véges csoport rendje akkor és csak akkor páros, ha G-ben van másodrendű elem.
4.4.33. Feladat. * Bizonyítsuk be, hogy ha T test, akkor T multiplikatív csoportjának minden véges részcsoportja ciklikus.
4.4.34. Feladat. * Legyen G véges csoport, és H részcsoportja G-nek. Mutassuk meg, hogy van olyan H szerinti bal oldali reprezentánsrendszer, ami egyúttal jobb oldali reprezentánsrendszer is H szerint.