A 4.4.20. Definícióban a G csoport g eleme által generált ⟨ g⟩ részcsoportja a g egész kitevőjű hatványainak halmazát jelentette. Most ezt a fogalmat új megközelítésben vizsgáljuk meg, hogy általánosítani tudjuk. Vegyük észre, hogy ⟨ g⟩ a legszűkebb olyan részcsoportja G-nek, amely a g elemet tartalmazza. Ez alatt azt értjük, hogy ha H tetszőleges részcsoportja G-nek, amely a g elemet tartalmazza, akkor ⟨ g⟩ szűkebb H-nál, vagyis ⟨ g⟩ ⊆ H. Valóban, mivel H részcsoport, a g∈ H elem minden hatványát tartalmaznia kell.
Megjegyzés
A generálás szó, és a most említett „legszűkebb” tulajdonság is ismerős lineáris algebrából. Ha egy V vektortérben adottak a v1,...,vn vektorok, akkor olyan altereket szeretnénk keresni, amely ezeket tartalmazza. Az egyik véglet a V, ez a legbővebb ilyen altér. A másik véglet a λ1v1+... +λn vn alakú lineáris kombinációk halmaza, ahol λ1,...,λn tetszőleges skalárok. Ez a ⟨ v1,...,vn⟩ halmaz a v1,...,vn által generált altér, ami a legszűkebb azon alterek között, amelyek tartalmazzák vektorainkat. Ez azt jelenti, hogy ha W tetszőleges altere V-nek, ami a v1,...,vn vektorokat tartalmazza, akkor ⟨ v1,...,vn⟩ ⊆ W.
Legyen G csoport és g1,...,gn∈ G. Létezik-e a legszűkebb olyan részcsoport, amely ezeket az elemeket tartalmazza? Ha H részcsoportja G-nek, és g1,...,gn∈ H, akkor persze H-nak tartalmaznia kell a gi elemek összes egész kitevős hatványait, és ezek szorzatait is. Első próbálkozásunk tehát az, hogy a g1m
1... gnm
n alakú elemek halmazát tekintsük. Ez Abel-csoportokra működik is, és ha a csoport elemeit additívan írjuk, akkor a lineáris kombinációkhoz hasonló képletet kapunk.
4.6.1. Állítás. Tegyük föl, hogy A kommutatív csoport, melyben a művelet jele a +, és g1,...,gn∈ A. Tekintsük az m1g1+...+mngn alakú elemek L halmazát, ahol mi egész számok. Ekkor L részcsoport, mégpedig A legszűkebb olyan részcsoportja, amely a g1,...,gn elemeket tartalmazza.
Bizonyítás. Először azt látjuk be, hogy L részcsoportja A-nak, amely a gi elemeket tartalmazza. Nyilván 0=0g1+...+0gn∈ L. Az L zárt az összeadásra, mert ha a és b elemei L-nek, akkor
alkalmas ni, ki egészekre, de akkor
szintén a kívánt alakú, tehát eleme L-nek. Hasonlóan látható be az inverzre (azaz ellentettre) való zártság is.
Végül
tényleg eleme L-nek.
Be kell még bizonyítanunk, hogy L a legszűkebb olyan részcsoport, amely a g1,...,gn elemeket tartalmazza.
Tegyük föl, hogy H tetszőleges részcsoport, amelyre g1,...,gn∈ H. Meg kell mutatni, hogy L⊆ H, azaz hogy minden m1g1+...+mngn alakú elem H-ban van. De ez világos, hiszen egy ilyen elem a g1,...,gn elemekből összeadással és kivonással keletkezik (kivonásra a negatív mi számok esetén van szükség), ezekre a műveletekre pedig H zárt. □
Megjegyzés
A most kapott képlet nem véletlenül hasonlít a vektortereknél kapott lineáris kombinációs formulához.
A modulusokról szóló fejezetben fogjuk majd látni, hogy valójában egy általánosabb fogalom két speciális esetéről van szó (7.1.5. Gyakorlat).
4.6.2. Gyakorlat. Legyen X végtelen részhalmaza az A Abel-csoportnak, és tekintsük az olyan (véges) m1g1+...+mngn összegek L halmazát, ahol gi∈ X és mi∈ ℤ. Igazoljuk, hogy L az X elemeit tartalmazó legszűkebb részcsoport.
Ha a G csoport nem kommutatív, akkor a g1m 1... gnm
n képlet általában nem működik, hiszen semmi garancia nincs arra, hogy például g2g1 ilyen alakban fölírható. Sőt, a generált részcsoportnak tartalmaznia kell az olyasfajta elemeket is, mint mondjuk
Jól illusztrálja a problémát a 4.2.28. Gyakorlat, amelyben megmutattuk, hogy ha G=Sn, akkor G minden eleme fölírható a g1=(12) és g2=(1,2,..., n) elemek alkalmas, soktényezős szorzataként. Ha egy H részcsoport tartalmazza g1-et és g2-t, akkor ezeket a szorzatokat is, tehát csak G lehet. Új terminológiánkkal tehát azt mondhatjuk, hogy a g1 és g2 által generált részcsoport maga Sn. Szó sincs azonban arról, hogy Sn minden eleme g1m
1g2m
2 alakú lenne, hiszen ilyen alakú elemet összesen 2n-et írhatunk fel, az Sn elemszáma (ami n!) pedig ennél sokkal nagyobb. Ez a nagyságrendi különbség mutatja, hogy nagyon egyszerű képletet semmiképpen sem várhatunk, amely G összes elemét megadja.
Megjegyzés
Van még egy probléma. Generálásról eddig két struktúrában hallottunk: vektortérben és csoportban. De nagyon természetes kérdés az is, hogy létezik-e egy gyűrűben (vagy testben) adott elemeket tartalmazó legszűkebb részgyűrű (vagy résztest), és ha igen, akkor hogyan adhatjuk meg az elemeit. Ugyanezt a kérdést feltehetjük minden további struktúrában (modulusban, hálóban), amelyről tanulni fogunk. Az általános problémát a 8.1.20. Tétel kezeli. Mindenesetre érdemes szétválasztani a létezés kérdését attól, hogy hogyan lehet leírni a generált részstruktúra elemeit (vö. 8.3.7. Tétel).
4.6.3. Definíció. Tetszőleges G csoport esetén az X⊆ G által generált részcsoport a legszűkebbX-et tartalmazó részcsoportja G-nek, jele ⟨ X⟩ . Ez azt jelenti, hogy G minden olyan H részcsoportja, amely tartalmazza X összes elemét, tartalmazza az ⟨ X⟩ részcsoportot is. Az X részhalmazt Ggenerátorrendszerének nevezzük (illetve azt mondjuk, hogy XgeneráljaG-t), ha ⟨ X⟩ =G.
A fenti definíció csak akkor értelmes, ha egyértelműen létezik ez a legszűkebb részcsoport. Ezt most rögtön bebizonyítjuk, és látni fogjuk, hogy a bizonyítás nemcsak csoportra, hanem más struktúrákra, például gyűrűkre is szó szerint átvihető. Előbb azonban szeretnénk tisztázni a „legszűkebb” szó jelentését.
4.6.4. Definíció. Egy halmazrendszer legszűkebb eleme egy olyan halmaz (a halmazrendszerben), amely a halmazrendszer minden elemének részhalmaza. Egy halmazrendszer minimális eleme egy olyan halmaz, amelynél nincs szűkebb halmaz a rendszerben, vagyis amelynek a halmazrendszer egyetlen eleme sem valódi részhalmaza. Ugyanígy egy halmazrendszer legbővebb eleme egy olyan halmaz (a halmazrendszerben),
amelynek a halmazrendszer minden eleme részhalmaza. Egy halmazrendszer maximális eleme egy olyan halmaz, amelynél nincs bővebb halmaz a rendszerben, azaz amely a halmazrendszer egyetlen elemének sem valódi részhalmaza.
4.6.5. Gyakorlat. Bizonyítsuk be, hogy egy halmazrendszernek legfeljebb egy legszűkebb (és legfeljebb egy legbővebb) eleme lehet. Adjunk példát arra, amikor több minimális (illetve maximális) elem van. Igazoljuk azt is, hogy a legszűkebb elem (ha létezik, akkor) minimális, és ilyenkor ez az egyetlen minimális elem.
A generált részcsoport tehát egyértelműen meghatározott (vagyis nem lehet két különböző, X-et tartalmazó legszűkebb részcsoport). Most megmutatjuk, hogy létezik.
4.6.6. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy részcsoportok metszete is részcsoport (végtelen soké is).
4.6.7. Állítás. Az X által generált részcsoport egyértelműen létezik, mint az összes X-et tartalmazó részcsoport metszete.
Bizonyítás. Az X-et tartalmazó részcsoportok metszete is részcsoport, és ez a metszet részhalmaza minden tényezőjének, azaz tényleg a legszűkebb lesz az X-et tartalmazó részcsoportok között. □
4.6.8. Tétel. Legyen G csoport és X⊆ G. Ekkor ⟨ X⟩ a G azon elemeiből áll, melyek fölírhatók az X elemeiből és azok inverzeiből képzett akárhány tényezős szorzatként (X minden eleme többször is felhasználható egy ilyen szorzatban).
Bizonyítás. Legyen L a tételben leírt szorzatoknak a halmaza. Elegendő megmutatni, hogy L a legszűkebb X-et tartalmazó részcsoport, mert akkor a generált részcsoport egyértelműsége miatt L=⟨ X⟩ .
Az X elemei, mint egytényezős szorzatok, elemei L-nek. Az egységelem benne van L-ben, mint üres szorzat.
Nyilván L zárt a szorzásra, hiszen két bonyolult szorzatot egymás mellé írva egy ugyanilyen fajta, csak még bonyolultabb szorzatot kapunk. Végül a szorzat inverzének képletét (2.2.10. Feladat) alkalmazva látjuk, hogy L az inverzképzésre is zárt.
Tegyük föl, hogy egy H részcsoport tartalmazza X elemeit. Ekkor tartalmazza az X elemeinek inverzeit, és az X∪ X-1 elemeiből képzett szorzatokat is, azaz L valamennyi elemét. Tehát L tényleg a legszűkebb X-et tartalmazó részcsoport. □
4.6.9. Gyakorlat. Tegyük föl, hogy g1,...,gn generátorrendszere a G csoportnak, és h1,...,hn egy H csoport tetszőleges elemei. Mutassuk meg, hogy legfeljebb egy olyan ψ:G→ H homomorfizmus létezik, amelyre ψ(gi)=hi minden i-re teljesül. Igaz-e az állítás végtelen generátorrendszerre is?
Gondolkodjunk!
4.6.10. Gyakorlat. Az alábbi halmazrendszerek közül melyeknek van legszűkebb és legbővebb eleme?
Melyeknek van minimális illetve maximális eleme?
1. A ℤ összes kételemű részhalmaza.
2. A ℤ összes végtelen részhalmaza.
3. A ℤ összes olyan valódi részhalmaza, amelynek komplementere véges.
4. A ℤ összes olyan H részhalmaza, melyre 7∈ H vagy 13∈ H.
5. A ℤ összes olyan H részhalmaza, melyre 7∈ H és 13∈ H.
4.6.11. Gyakorlat. Határozzuk meg a G csoportban a ⟨ X⟩ részcsoportot.
1. G=ℤ+, X={28,34}.
2. G=ℝ×, X={2,3}.
3. G=Sn, X={(12),(1,2,..., n)}.
4. G=S4, X={(13),(1234)}.
5. G=S4, X={(123),(12)(34)}.
6. G=GL(n,ℝ), X a 2 determinánsú mátrixok halmaza.
4.6.12. Gyakorlat. Mutassuk meg a 4.1.23. Állítás felhasználásával, hogy a Dn diédercsoportot generálják az f és t elemek. Határozzuk meg a D5 és D6 diédercsoportokban a ⟨ t,f2⟩ részcsoportot.
4.6.13. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha X véges halmaz, és g∈ SX, akkor a g által generált részcsoport pályái épp a g ciklusfelbontását adják.
4.6.14. Feladat. Legyenek A és B részcsoportok a G csoportban. Igazoljuk, hogy az AB komplexusszorzat pontosan akkor részcsoport, ha AB=BA, és ekkor ez lesz az A és B (uniója) által generált részcsoport.
4.6.15. Feladat. Legyenek a, b, c, d egész számok, melyekre (a,b)=1 és (c,d)=1. Mutassuk meg, hogy az a/b és c/d törtek által ℚ+-ban generált részcsoport ciklikus. Melyik elem generálja?
4.6.16. Feladat. Igazoljuk, hogy a racionális számok additív csoportja nem végesen generált, sőt, minimális generátorrendszere sincs.
4.6.17. Feladat. * Bizonyítsuk be, hogy végesen generált csoportnak minden véges indexű részcsoportja végesen generált.
4.6.18. Feladat. Legyenek t és s másodrendű elemek a G csoportban és f=ts. Igazoljuk, hogy a H=⟨ t,s⟩ részcsoport minden eleme fölírható fi vagy tfi alakban alkalmas i egészre. Mutassuk meg, hogy ha f rendje n<∞, akkor n≥ 3 esetén H izomorf a Dn diédercsoporttal, n=2 esetén a Klein-csoporttal, n=1 esetén pedig a másodrendű ciklikus csoporttal.
4.6.19. Feladat. * Határozzuk meg a sík egybevágósági transzformációiból álló E(2) csoport összes véges részcsoportját.