Ha adott egy G csoport, ami nem egyszerű, akkor vegyünk egy N normálosztót, és tekintsük az N és G/N csoportokat. Ha még ezek sem egyszerűek, folytassuk az eljárást N-nel és G/N-nel is. Ha G véges, akkor előbb-utóbb már csupa egyszerű csoporthoz jutunk. A kapott egyszerű csoportok sokat elárulnak G szerkezetéről.
4.13.1. Definíció. Egy G csoport normálláncának nevezzük G részcsoportjainak egy olyan sorozatát, melyre
Az itt szereplő n szám a normállánc hossza. Ha az összes Ni+1/Ni faktorcsoport egyszerű, akkor az ilyen láncot Gkompozícióláncának nevezzük, az Ni+1/Ni egyszerű faktorcsoportokat pedig Gkompozíciófaktorainak.
Minden csoportnak van normállánca (például {1}⊲ G), és ha G véges, akkor biztosan van kompozíciólánca is.
Például az A4 alternáló csoport esetén a következő kompozícióláncot kaphatjuk:
Tudjuk, hogy {id,(12)(34)} nem lesz normálosztó A4-ben (lásd 4.8.16. Gyakorlat), vagyis egy normállánc elemei általában nem lesznek a G normálosztói. A fenti lánc kompozíciófaktorai
Természetesen számít a multiplicitás, egy faktorcsoport többször is szerepelhet (ugyanígy, ahogy a 12 szám prímtényezős felbontásában is kétszer szerepel a 2 prímszám).
A kompozíciófaktorok sok információt szolgáltatnak a csoportról, de nem határozzák meg a szerkezetét. Például az S3 csoport esetén
kompozíciólánc, a faktorok ℤ3+ és ℤ2+. Ugyanezek lesznek az S3-mal nem izomorf ℤ6+ csoport kompozíciófaktorai is, amit az alábbi lánc bizonyít:
A ℤ6+ csoportnak van egy másik kompozíciólánca is:
A kompozíciófaktorok most is ℤ2+ és ℤ3+, csak más sorrendben. Jordan és Hölder nevezetes tétele azt mondja ki, hogy ez általában is így van. Bárhogyan is vesszük egy G csoport két kompozícióláncát, a kapott kompozíciófaktorok (a multiplicitásokkal együtt) ugyanazok lesznek a két láncban.
4.13.2. Definíció. Tegyük föl, hogy a G csoportnak
és
normálláncai. Azt mondjuk, hogy ezek izomorfak, ha (n=m, vagyis a két lánc hossza egyenlő, és) az első lánc, illetve a második lánc faktorai, vagyis az
illetve az
csoport-rendszerek között létezik olyan kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, hogy az egymásnak megfelelő csoportok izomorfak.
A fenti csoport-rendszerek elemei között lehetnek egyformák (izomorfak) is. A megfeleltetést úgy kell érteni, hogy ha mondjuk az első rendszerben háromszor szerepel a ℤ3+ csoport, akkor a másodikban is pontosan háromszor kell, hogy szerepeljen.
4.13.3. Tétel. [Jordan–Hölder-tétel] Tetszőleges csoport bármely két kompozíciólánca izomorf.
Bizonyítás. Mivel nem minden csoportnak van kompozíciólánca, a bizonyításban hasznos lesz a következő segédállítás.
4.13.4. Lemma. Ha egy G csoportnak van kompozíciólánca, akkor minden normálosztójának is van, és a normálosztó kompozíciófaktorai az eredeti csoport kompozíciófaktorai közül kerülnek ki.
Bizonyítás. Tegyük föl, hogy
(4.7)
kompozíciólánca, K pedig normálosztója G-nek. Tekintsük a K csoport
normálláncát. Belátjuk, hogy az (Ni+1∩ K)/(Ni∩ K) faktorcsoport tetszőleges 0≤ i<n esetén vagy egyelemű, vagy Ni+1/Ni-vel izomorf (és így egyszerű csoport). Ezzel kész is leszünk, mert a láncból az ismétlődéseket elhagyva kompozícióláncot kapunk, melynek faktorai a (4.7)-beli lánc faktorai közül valók.
Alkalmazzuk az első izomorfizmustételt (4.7.25. Következmény) az Ni normálosztóra és a H=Ni+1∩ K részcsoportra:
A bal oldalon (Ni+1∩ K)/(Ni+1∩ K∩ Ni) áll. De Ni+1∩ K∩ Ni=Ni∩ K (hiszen tudjuk, hogy Ni⊆ Ni+1). A jobb oldalon szereplő HNi viszont normálosztója Ni+1-nek, mert Ni+1-ben H=Ni+1∩ K és Ni is normálosztó. Ezért a fenti izomorfia így alakul:
(itt felhasználtuk, hogy a 4.7.24. Tétel szerint a faktorcsoport normálosztói az eredeti csoport magot tartalmazó normálosztóinak felelnek meg). De Ni+1/Ni egyszerű csoport, ezért (Ni+1∩ K)/(Ni∩ K) vagy Ni+1/Ni-gyel izomorf, vagy az egyelemű csoport, amikor Ni+1∩ K=Ni∩ K, és így a láncból e két normálosztó egyike elhagyható. □ A Jordan–Hölder-tételt a kompozíciólánc hossza szerinti indukcióval látjuk be. Ha a G csoportnak van 1 hosszú kompozíciólánca, akkor ez {1}⊲ G alakú, és ilyenkor ez az egyetlen kompozíciólánc, tehát a tétel igaz. Most tegyük fel, hogy a tétel igaz minden olyan csoportra, amelynek van n-nél rövidebb kompozíciólánca (és akkor a tétel állítása szerint minden kompozíciólánca egyforma hosszúságú). Legyenek
és
a G csoport kompozícióláncai. Meg kell mutatnunk, hogy ezek izomorfak.
Ha a két lánc legfelső szeme egyenlő, azaz ha Nn-1=Mm-1, akkor készen vagyunk. Az indukciós feltevést ugyanis alkalmazhatjuk az Nn-1 normálosztóra, amelynek van n-1 hosszú kompozíciólánca, N0⊲...⊲ Nn-1. Mivel M0⊲...⊲ Mm-1=Nn-1 egy másik kompozíciólánca Nn-1-nek, az indukciós feltevés szerint n-1=m-1, és ez a két lánc izomorf.
Ekkor pedig az eredeti két lánc is izomorf, hiszen a kompozíciófaktorok rendszeréhez mindkét esetben a G/N n-1=G/Mm-1 csoportot kell hozzávenni.
Tegyük föl most, hogy Nn-1≠ Mm-1. Mivel G/Nn-1 egyszerű csoport, a G csoportnak nincsen Nn-1-et tartalmazó más normálosztója, mint Nn-1 és G. Ugyanígy Mm-1-et tartalmazó normálosztó is csak Mm-1 vagy G lehet. Az Nn-1Mm-1
normálosztó mind Nn-1-et, mind Mm-1-et tartalmazza, és ha nem G lenne, akkor Nn-1=Nn-1Mm-1=Mm-1 teljesülne, amiről most feltettük, hogy nem igaz. Ezért Nn-1Mm-1=Mm-1Nn-1=G. Az első izomorfizmustétel miatt így
és
Legyen K=Mm-1∩ Nn-1. Ez normálosztó G-ben, ezért az előző lemma szerint van kompozíciólánca:
Ehhez a lánchoz vegyük hozzá Nn-1-et. Ekkor az Nn-1 csoport egy kompozícióláncát kapjuk, mert láttuk, hogy N n-1/K≅ G/Mm-1, és G/Mm-1 egyszerű csoport. Az Nn-1 csoportnak van n-nél rövidebb kompozíciólánca, ezért az indukciós feltevés miatt az N0⊲...⊲ Nn-2⊲ Nn-1 és a K0⊲...⊲ K⊲ Nn-1 láncok izomorfak, speciálisan k=n-2. Most vegyük hozzá a K0⊲...⊲ K lánchoz az Mm-1 normálosztót. Ekkor Mm-1 egy kompozícióláncát kapjuk (hiszen M
m-1/K≅ G/Nn-1 egyszerű csoport), melynek hossza k+1=n-1. Tehát az Mm-1 csoportnak is van n-nél rövidebb kompozíciólánca, így alkalmazható az indukciós feltevés, amely szerint a K0⊲...⊲ K⊲ Mm-1 és az M0⊲...⊲ Mm-1
láncok izomorfak. De akkor készen vagyunk, mert ezek szerint a két eredeti N0⊲...⊲ Nn és M0⊲...⊲ Mm lánc kompozíciófaktorait úgy kaphatjuk meg, hogy a K0⊲...⊲ K lánc faktoraihoz még hozzátesszük a G/Nn-1≅ Mm-1/K és a G/Mm-1≅ Nn-1/K faktorokat (csak más sorrendben). Ezzel a Jordan–Hölder-tétel bizonyítását befejeztük. □ 4.13.5. Definíció. Egy G csoportot feloldhatónak nevezünk, ha van olyan normállánca, amelynek minden faktora Abel-csoport.
4.13.6. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy egy véges csoport akkor és csak akkor feloldható, ha a kompozíciófaktorai mind prímrendű ciklikus csoportok (vagyis nincs közöttük nemkommutatív egyszerű csoport). Speciálisan egy véges egyszerű csoport akkor és csak akkor feloldható, ha prímrendű ciklikus.
4.13.7. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy az S2, S3, S4 és E(2) csoportok feloldhatók.
4.13.8. Gyakorlat. Adjuk meg az S4×ℤ3+× ℤ2+ csoport egy kompozícióláncát, és kompozíciófaktorait.
Mutassuk meg, hogy két feloldható csoport direkt szorzata is feloldható.
Az E(3) csoport már nem feloldható (4.13.28. Feladat). A feloldható csoportok fontos szerephez jutnak az egyenletek gyökképleteinek vizsgálatában (és a geometriai szerkesztések elméletében is). Az, hogy pontosan a legfeljebb negyedfokú egyenletekre van általános megoldóképlet (6.9.7. Tétel), az alábbi állításnak a következménye.
4.13.9. Tétel. Az Sn szimmetrikus csoport pontosan akkor feloldható, ha n≤ 4.
Bizonyítás. A 4.13.7. Gyakorlat miatt csak azt kell igazolni, hogy n≥ 5 esetén Sn nem feloldható. De ilyenkor An
egyszerű (4.12.30. Tétel), és ezért Sn-nek kompozíciólánca lesz {1}⊲ An⊲ Sn. Tehát Sn-nek kompozíciófaktora a nemkommutatív egyszerű An csoport, és így nem feloldható. □
Minden A Abel-csoport feloldható, hiszen {0}⊲ A olyan normállánc, amelynek a faktorai Abel-félék.
4.13.10. Következmény. Minden véges prímhatványrendű csoport feloldható.
Bizonyítás. Legyen p prím és P tetszőleges p-csoport. Készítsük el P egy kompozícióláncát. Ebben a faktorok rendje osztója |P|-nek, azaz mindegyik ilyen F faktorcsoport egyszerű p-csoport. A 4.11.5. Állítás miatt F rendje p. Ez a P kompozícióláncának minden faktorára igaz, tehát P feloldható. □
4.13.11. Tétel. [Burnside „kétprímes” tétele] Ha a G véges csoport rendjének legfeljebb két prímosztója van, akkor G feloldható.
Ez már jóval nehezebb tétel, nem is bizonyítjuk. Még ennél is sokkal-sokkal nehezebb azt megmutatni, hogy minden páratlan rendű véges csoport feloldható.
4.13.12. Tétel. [Feit–Thompson-tétel] A nemkommutatív véges egyszerű csoportok rendje páros.
4.13.13. Következmény. Minden páratlan rendű véges csoport feloldható.
Bizonyítás. Legyen G páratlan rendű csoport, és F egy kompozíciófaktora. Ekkor F rendje osztója G rendjének, azaz páratlan. Így a Feit–Thompson-tétel miatt F csakis kommutatív egyszerű csoport, tehát prímrendű lehet. □ Feloldható csoportokra a Sylow-tételek erősebb formában igazak.
4.13.14. Tétel. [Hall-tétel] Tegyük föl, hogy az n pozitív egész szám osztója a G véges feloldható csoport rendjének. Ha n és |G|/n relatív prímek, akkor G-ben van n-edrendű részcsoport, és az összes n-edrendű részcsoport egymás konjugáltja.
Megfordítva, megmutatható, hogy ha G rendjének minden olyan n osztójára, melyre n és |G|/n relatív prímek, van n rendű részcsoport G-ben, akkor G feloldható. A tételben szereplő részcsoportokat, tehát azokat, amelyek rendje és indexe relatív prím, Hall-részcsoportoknak nevezzük. A Hall-tétel bizonyításában alapvető szerepet játszik az alábbi, önmagában is fontos tétel.
4.13.15. Tétel. [Schur–Zassenhaus-tétel] Tegyük föl, hogy a G véges csoport egy N normálosztójának rendje és indexe relatív prím. Ekkor van olyan H részcsoportja G-nek, melyre NH=G és N∩ H={1} (vagyis az N normálosztónak van komplementuma G-ben), és ezek a H komplementumok egymás konjugáltjai.
A Schur–Zassenhaus-tétel viszonylag egyszerűen bebizonyítható abban az esetben, ha N és G/N egyike feloldható. De ez a feltétel mindig teljesül! Ugyanis N és G/N rendjei relatív prímek, ezért valamelyikük rendje páratlan, és az feloldható a Feit–Thompson-tétel miatt.
A feloldhatóságnál erősebb a nilpotencia fogalma, a szakasz hátralévő részében erről mesélünk. Elsőként a feloldhatóság fogalmát fogalmazzuk át a kommutátor-részcsoport segítségével (4.8.24. Definíció). Legyen
egy normállánca a G csoportnak. A 4.8.23. Állítás szerint az Ni/Ni-1 faktorcsoport akkor és csak akkor Abel-féle, ha [Ni,Ni]⊆ Ni-1.
4.13.16. Feladat. Képezzük a G csoport kommutátor-részcsoportját, azaz G'-t, ennek a kommutátor-részcsoportját, azaz G”-t, és így tovább (ezt a Gkommutátorláncának nevezzük). Mutassuk meg, hogy G akkor és csak akkor feloldható, ha ez a lánc véges sok lépésben leér az {1} részcsoportig. Igazoljuk azt is, hogy a kommutátorlánc minden eleme normálosztó G-ben.
4.13.17. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a feloldható csoportok osztálya zárt a részcsoportképzésre és a faktorcsoport képzésére.
4.13.18. Feladat. Legyen G tetszőleges csoport, mutassuk meg az alábbiakat.
1. Ha N normálosztó G-ben, melyre N és G/N is feloldható, akkor G is feloldható, azaz a feloldható csoportok osztálya zárt a bővítésre.
2. Ha N és K feloldható normálosztók G-ben, akkor NK is feloldható.
4.13.19. Definíció. Egy G csoport centrális láncának a G egy olyan
normálláncát nevezzük, amelyre tetszőleges 1≤ i≤ n esetén [Ni,G]⊆ Ni-1. A G csoport nilpotens, ha van centrális lánca.
Mivel [Ni,Ni]⊆ [Ni,G], a 4.13.16. Feladat miatt minden nilpotens csoport feloldható. A következő állítás elmagyarázza, hogy az ilyen láncokat miért hívják centrálisnak. Az egyszerű bizonyítást az Olvasóra hagyjuk.
4.13.20. Állítás. A G csoport {1}=N0⊲ N1⊲ ...⊲ Nn-2⊲ Nn-1⊲ Nn=G normállánca akkor és csak akkor centrális lánc, ha minden 1≤ i≤ n esetén Ni normálosztó G-ben is, és Ni/Ni-1 része G/Ni-1 centrumának.
A nilpotencia kétféleképpen is jellemezhető ahhoz hasonlóan, ahogy ezt a feloldhatósággal tettük a 4.13.16.
Feladatban.
4.13.21. Definíció. Képezzük egy tetszőleges G csoportban a
normálosztók sorozatát (vagyis mindig G-vel képzünk kölcsönös kommutátor-részcsoportot). Ennek a sorozatnak a neve a G csoport alsó centrális lánca.
Nem nehéz belátni, hogy a G csoport akkor és csak akkor nilpotens, ha az alsó centrális lánca leér az egyelemű részcsoportig. Ebből a jellemzésből a 4.13.17. Feladat megoldásához hasonlóan könnyű megmutatni, hogy a nilpotens csoportok osztálya is zárt a részcsoportképzésre és a faktorcsoport képzésére. A 4.13.8. Gyakorlat megoldásához hasonlóan azt is beláthatjuk, hogy két (vagy véges sok) nilpotens csoport direkt szorzata is nilpotens.
A 4.13.18. Feladat állításai közül az első nem marad igaz, azaz a nilpotens csoportok osztálya nem zárt a bővítésre. Ha ugyanis így lenne, akkor minden feloldható csoport nilpotens lenne, hiszen ezek Abel-csoportokból kaphatók bővítések véges sorozatával. Ez azonban nincs így, például az S3 szimmetrikus csoport
feloldható, de nem nilpotens. A 4.13.18. Feladat másik állítása azonban igaz marad: két nilpotens normálosztó szorzata is nilpotens normálosztó.
A nilpotens csoportok másik jellemzéséhez az egyelemű részcsoportból kiindulva fölfelé haladunk a következőképpen. Ha már az N⊲ G megvan, akkor a lánc következő szeme a G/N csoport centrumának teljes inverz képe G-ben. A G csoport könnyen láthatóan akkor és csak akkor nilpotens, ha ez az úgynevezett felső centrális lánc felér a G csoportig.
4.13.22. Állítás. Minden véges p-csoport nilpotens.
Bizonyítás. A 4.11.2 Tétel szerint nem egyelemű véges p-csoport centruma sem egyelemű, és így a felső centrális lánc felér a csoport tetejére. □
A 4.11.8. Tételben beláttuk, hogy véges p-csoportban minden maximális részcsoport normálosztó, és ezt általánosítottuk a 4.11.22. Gyakorlatban. Itt valójában a nilpotencia egy következményéről van szó.
4.13.23. Állítás. Ha H valódi részcsoportja egy G nilpotens csoportnak, akkor van olyan H-t valódi módon tartalmazó részcsoportja G-nek, amelyben H normálosztó.
Másképp fogalmazva: NG(H)>H teljesül minden valódi részcsoportra, ezt normalizátorfeltételnek is nevezik.
Bizonyítás. Vegyük G-nek egy centrális láncát. Ennek van olyan Ni eleme, amely még része H-nak, de Ni+1 már nem. Elég belátni, hogy Ni+1⊆ NG(H), mert akkor NG(H)=H nem lehetséges. Ha g∈ Ni+1 és h∈ H, akkor ghg-1h
-1=[g,h]∈ [Ni+1,G]⊆ Ni, és így ghg-1∈ NiH⊆ H. □ 4.13.24. Tétel. Minden G véges csoportra ekvivalens:
1. G nilpotens.
2. G-ben teljesül a normalizátorfeltétel.
3. G-ben minden maximális részcsoport normálosztó.
4. G a p-Sylow részcsoportjainak a direkt szorzata.
Bizonyítás. Csak vázlatot írunk. Láttuk, hogy a véges p-csoportok nilpotensek, továbbá, hogy a nilpotens csoportok osztálya zárt a véges direkt szorzat képzésére, tehát (4)⇒ (1) teljesül. Azt is megmutattuk, hogy minden nilpotens csoportban érvényes a normalizátorfeltétel, és ebből nyilván következik, hogy minden maximális részcsoport normálosztó, azaz (1)⇒ (2)⇒ (3) igaz. A (3)⇒ (4) bizonyításához használjuk föl a Frattini-elv alkalmazásával megoldott 4.11.37. Feladatot. Ebben beláttuk, hogy ha P egy p-Sylow G-ben, akkor minden NG(P)-t tartalmazó K részcsoport normalizátora önmaga. A K-t maximális részcsoportnak választva a (3) feltétellel ellentmondásra jutnánk. Ez úgy oldódik föl, hogy NG(P)=G, azaz G-ben minden Sylow-részcsoport normálosztó. A 4.11.30. Feladat miatt tehát (4) is teljesül. □
Nilpotens csoportra másik fontos példát a következő állításból kapunk, itt már végtelen csoportok is szerepelnek.
4.13.25. Feladat. Mutassuk meg, hogy tetszőleges T test fölött az unitrianguláris mátrixok UT(n,T) csoportja nilpotens, az invertálható felső háromszögmátrixok T(n,T) csoportja pedig feloldható.
Gondolkodjunk!
4.13.26. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy egy Abel-csoportnak akkor és csak akkor van kompozíciólánca, ha véges.
4.13.27. Gyakorlat. Igazoljuk Burnside tételének felhasználása nélkül, hogy ha egy véges csoport rendje két prím szorzata, akkor a csoport feloldható.
4.13.28. Feladat. Igazoljuk, hogy az E(3) csoport nem feloldható.
4.13.29. Feladat. Igazoljuk Burnside kétprímes tételének felhasználása nélkül, hogy ha p páratlan prím, akkor minden 4pα rendű csoport feloldható. Mely p prímek esetén biztos, hogy a csoportban a p-Sylow részcsoport normálosztó?
4.13.30. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy véges feloldható csoportban minden minimális normálosztó úgynevezett elemi Abel-féle p-csoport, azaz izomorf (ℤp+)n-nel valamilyen p prímre és n egészre.
4.13.31. Feladat. Igazoljuk, hogy véges feloldható csoport maximális részcsoportjának indexe prímhatvány, és ezért egy feloldható primitív permutációcsoport foka mindig prímhatvány.