2. A szokásos számolási szabályok
2.2.14. Állítás. Kommutatív csoportot alkotnak:
8. A komplex együtthatós polinomok az összeadásra: ℂ[x]+. 9. A {0,1,..., m-1} halmaz a modulo m összeadásra: ℤm+.
10. Az {1,2,3,4} halmaz a modulo 5 szorzásra: ℤ5× (ezt a jelölést majd később magyarázzuk meg).
A felsorolt csoportok között persze összefüggés van. Ha tudjuk, hogy hogyan kell összeadni a komplex számokat, akkor ebből megkaphatjuk, hogy hogyan kell összeadni a valósakat, a racionálisakat, az egészeket, hiszen ezek mind részhalmazai a komplex számoknak.
2.2.15. Definíció. Legyen G egy csoport. Ha H részhalmaza G-nek, amely maga is csoport a G-beli műveletre nézve, akkor azt mondjuk, hogy HrészcsoportjaG-nek. Ezt úgy jelöljük, hogy H≤ G.
Például ℤ+≤ℚ+≤ℝ+≤ℂ+ és ℚ×≤ℝ×≤ℂ×. Ugyanakkor ℚ× nem részcsoportja ℂ+-nak, mert más a művelet.
Ugyanúgy ℤ5+ nem részcsoportja ℤ+-nak, mert itt is más a művelet: 2+4=6, de 2+5 4=1. (Erre különösen kell figyelnünk akkor, ha az egyszerűbb jelölés kedvéért +5 helyett +-t írunk.)
Hogyan lehet ellenőrizni, hogy egy részhalmaz részcsoport-e? A legelső kérdés, hogy egyáltalán el tudjuk-e végezni a műveletet a H halmazon belül. Ha például G=ℝ+, és H a -10 és 10 közötti számokból áll, akkor ebben a H halmazban nem is tudjuk elvégezni az összeadást, az kivezet belőle: például 8, 9∈ H, de 8+9∉ H. Elsőként tehát azt kell ellenőriznünk, hogy a H részhalmaz zárt-eG műveletére.
Az asszociativitást nem kell megvizsgálnunk, az automatikusan öröklődik, hiszen a bővebb G halmazon már tudjuk, hogy teljesül. A következő kérdés, hogy van-e H-nak neutrális eleme, és hogy elvégezhető-e benne az inverzképzés. Be lehet látni, hogy egy részcsoport neutrális eleme ugyanaz kell, hogy legyen, mint az eredeti csoporté, és így az inverzet is ugyanúgy kell kiszámítani. Az alábbi állításban összefoglaljuk, hogyan célszerű ellenőrizni, hogy egy részhalmaz részcsoport-e.
2.2.16. Feladat. Mutassuk meg, hogy ha G csoport egy * műveletre, akkor egy H⊆ G részhalmaz akkor és csak akkor részcsoport, ha
1. H zárt a * műveletre, azaz h1,h2∈ H esetén h1*h2∈ H;
2. H tartalmazza G neutrális elemét;
3. H zárt a G-beli inverzképzésre, azaz ha h∈ H, akkor h-1∈ H.
Igazoljuk azt is, hogy tetszőleges H részcsoport neutrális eleme ugyanaz, mint G neutrális eleme.
2.2.17. Gyakorlat. Adjunk példát arra, hogy a 2.2.16. Feladatban (1) és (2) együtt nem elegendő ahhoz, hogy részcsoportot kapjunk.
2.2.18. Feladat. Adjunk példát egy olyan S neutrális elemes félcsoportra, és benne egy olyan T részfélcsoportra (azaz szorzásra zárt részhalmazra), amelynek van neutrális eleme, de ez nem egyezik meg az S neutrális elemével.
Megjegyzés
Az előző feladat egy másik megoldását kapjuk a 2.2.36. Gyakorlatban, illetve a 2.4.29. Feladat megoldásában szereplő példából, ha csak a szorzás műveletét tekintjük. Ezekből a példákból láthatjuk, hogy annak az állításnak a bizonyítása, hogy részcsoport egységeleme ugyanaz, mint a csoport egységeleme, az inverz elemek felhasználása nélkül nem végezhető el.
Következő célunk a „többszörös”, illetve „hatvány” fogalmának általánosítása. Mindkét esetben arról van szó, hogy egy műveletet (a többszörös esetében az összeadást, hatványozás esetében a szorzást) sokszor végzünk el.
2.2.19. Definíció. Legyen * asszociatív művelet az R halmazon, és a∈ R. Ekkor tetszőleges n pozitív egészre legyen
Ha *-ra nézve van egy e neutrális elem, akkor legyen a0=e. Végül ha a invertálható, és inverze b, akkor legyen
Ezek az a elem egész kitevőjű hatványai. Ha a műveletet + jelöli, akkor hatvány helyett többszörösről beszélünk, és az na írásmódot alkalmazzuk.
Most áttekintjük a hatványozás ismert azonosságait.
2.2.20. Gyakorlat. Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív, egymás mellé írással jelölt műveletre nézve, és m,n egész (nem feltétlenül pozitív) számok. Mutassuk meg a következőket.
1. a-n az an inverze.
2. aman=am+n. 3. (am)n=amn.
4. Ha a és b fölcserélhetők, azaz ab=ba, akkor (ab)n=anbn.
A „szokásos” számolási szabályokban összeadás és szorzás is szerepelt, ezeket a disztributivitás kapcsolta össze.
Az ilyen struktúrát gyűrűnek nevezzük.
2.2.21. Definíció. Az Rgyűrű, ha az R halmazon értelmezett egy összeadásnak nevezett + jelű művelet is, és egy szorzásnak nevezett, általában egymás mellé írással jelölt művelet is, a következő tulajdonságokkal.
1. R az összeadásra nézve Abel-csoport. (Ez tehát azt jelenti, hogy + egy asszociatív és kommutatív művelet, amelyre nézve van nullelem, és minden elemnek van ellentettje.)
2. R a szorzásra nézve félcsoport (azaz a szorzás asszociatív).
3. Érvényes a disztributivitás: tetszőleges x,y,z∈ R esetén
A gyűrűbeli szorzást nem definiáltuk kommutatívnak (ezért kellett két disztributív azonosságot is fölírni), és azt sem tettük föl, hogy van rá nézve egységelem. Ha a szorzás kommutatív, akkor kommutatív gyűrűről, ha van egységelem, akkor egységelemes gyűrűről beszélünk.
Az összeadásra kapott csoportot az R gyűrű additív csoportjának nevezzük, és R+-szal jelöljük. Egységelemes gyűrűben van értelme annak, hogy egy elem invertálható-e vagy sem. A 2.2.10. Feladatból kapjuk, hogy az R invertálható elemei csoportot alkotnak az R-beli szorzásra, melynek egységeleme a gyűrű egységelemével egyenlő. Ez az Rmultiplikatív csoportja, jele R×.
Azt a gyűrűt, amelynek a nulla az egyetlen eleme, nullgyűrűnek nevezzük. Ezt nem tekintjük egységelemes gyűrűnek. A többi egységelemes gyűrűben az egységelem különbözik a nullelemtől, és ilyenkor a multiplikatív csoportban nem lehet benne a nulla, más szóval a nullával soha nem lehet osztani:
2.2.22. Feladat. Mutassuk meg, hogy egy gyűrűben a nullával való szorzás mindig nullát ad eredményül, és így egy invertálható elem (speciálisan az egységelem) nem lehet nullával egyenlő. Igazoljuk azt is, hogy tetszőleges r és s elemekre r(-s)=(-r)s=-(rs).
Az olyan kommutatív, egységelemes gyűrűket, amelyben minden nem nulla elemmel lehet osztani, testnek nevezzük. (A nullgyűrű tehát nem test, mert nem is egységelemes.)
2.2.23. Definíció. Ha egy gyűrű nem nulla elemei csoportot alkotnak a szorzásra, akkor a gyűrűt ferdetestnek hívjuk. A testek a kommutatív ferdetestek.
Egy testben tehát két művelet van: egy összeadás, amely asszociatív, kommutatív, van nullelem, és minden elemnek van ellentettje; továbbá egy szorzás, amely szintén asszociatív és kommutatív, van egységelem, és erre nézve minden nem nulla elemnek van inverze (reciproka). A két műveletet a disztributív szabály kapcsolja össze.
2.2.24. Állítás. Kommutatív, egységelemes gyűrűt alkotnak:
1. A komplex számok: ℂ. 2. A valós számok: ℝ. 3. A racionális számok: ℚ. 4. Az egész számok: ℤ.
5. A komplex együtthatós polinomok: ℂ[x].
6. A {0,1,..., m-1} halmaz a modulo m összeadásra és szorzásra: ℤm. A felsoroltak közül ℂ, ℝ és ℚ testek is.
A 2.2.31. Állításban megvizsgáljuk majd, hogy ℤm mikor test. A fenti példákban, a csoportokhoz hasonlóan, többször előfordul, hogy az egyik gyűrű részhalmaza egy másiknak.
2.2.25. Definíció. Legyen R egy gyűrű. Ha S részhalmaza R-nek, amely maga is gyűrű az R-beli műveletekre nézve, akkor azt mondjuk, hogy SrészgyűrűjeR-nek. Ezt úgy jelöljük, hogy S≤ R. Ha R és S testek, akkor résztestről beszélünk. Ilyenkor azt is mondjuk, hogy az R test bővítése az S testnek.
Például ℚ≤ℝ≤ℂ résztestek, és ℤ részgyűrűje ℚ-nak. Azt, hogy egy részhalmaz részgyűrű, illetve résztest-e, szintén a műveletekre való zártság vizsgálatával ellenőrizhetjük, a műveleti azonosságokkal (asszociativitás, disztributivitás) nem kell foglalkoznunk.
2.2.26. Feladat. Mutassuk meg, hogy ha R gyűrű, akkor egy S⊆ R részhalmaz akkor és csak akkor részgyűrű, ha
1. S zárt az R összeadására és szorzására, azaz r1,r2∈ S esetén r1+r2 és r1r2∈ S;
2. S tartalmazza R nullelemét;
3. S zárt az R-beli ellentettképzésre, azaz ha r∈ S, akkor -r∈ S.
Ha R test, akkor az S részgyűrű pontosan akkor résztest, ha 4. S tartalmazza R egységelemét;
5. S zárt az R-beli inverzképzésre, azaz ha 0≠ r∈ S, akkor r-1∈ S.
Tetszőleges S részgyűrű nulleleme ugyanaz, mint R nulleleme, és ha R test, akkor tetszőleges S résztest egységeleme ugyanaz, mint R egységeleme.
Megjegyezzük, hogy általában egy részgyűrű egységeleme különbözhet a gyűrű egységelemétől (lásd a 2.2.36.
Gyakorlatot és a 2.4.29. Feladatot).
Az eddig vizsgált gyűrűk többségében egy szorzat csak úgy lehetett nulla, ha valamelyik tényezője nulla volt.
Ilyen például ℂ összes részgyűrűje, de a ℤ6 gyűrű nem ilyen, mert itt a nem nulla 2 és 3 elemek szorzata nulla lesz.
2.2.27. Definíció. Ha egy R gyűrűben uv=0, de sem u, sem v nem nulla, akkor azt mondjuk, hogy u bal oldali, v pedig jobb oldali nullosztó. Az Rnullosztómentes, ha nincs benne nullosztó, vagyis uv=0-ból u=0 vagy v=0 következik.
Egy u elem tehát akkor bal oldali nullosztó, ha nem nulla, és van olyan v nem nulla elem, amelyre uv=0 teljesül.
2.2.28. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy ha egy R gyűrű egy u≠ 0 eleme nem bal oldali nullosztó, akkor szabad vele balról egyszerűsíteni, azaz tetszőleges r,s∈ R esetén ur=us-ből r=s következik. Igaz-e az állítás megfordítása, azaz hogy ha az u≠ 0 elemmel szabad balról egyszerűsíteni, akkor az u nem bal oldali nullosztó?