• Nem Talált Eredményt

Polinomfüggvények és gyökök

In document Bevezetés az algebrába (Pldal 49-55)

Ebben a szakaszban már általános polinomokkal foglalkozunk, amelyek együtthatói egy tetszőleges kommutatív, egységelemes R gyűrű elemei lehetnek. Gyűrűn ezért most kommutatív és egységelemes gyűrűt értünk. Akinek ez az általánosság még nehézséget okoz, az nyugodtan képzelje, hogy az R elemei, vagyis a szereplő polinomok együtthatói (komplex) számok.

A polinomokkal formálisan számolunk ugyan, de sokszor konkrét számokat is be akarunk helyettesíteni az x helyére. Ha f=a0+a1 x +... + an xn, és b∈ R, akkor legyen

(2.2) Ebben a jelölésben a * feleslegesnek látszik (később el is hagyjuk majd). Arra szolgál, hogy figyelmeztessen bennünket: a b nem határozatlan immár, hanem egy konkrét R-beli elem. E jelölés mutatja, hogy f* egy függvénynek is felfogható, amely R-ből R-be képez. Középiskolában is sokszor képzeltük például az x2 polinomot függvénynek, sőt le is rajzoltuk a grafikonját.

2.4.1. Definíció. Ha f R[x] egy polinom, akkor a (2.2) képlet által definiált f*:R→ R függvényt az f-hez tartozó polinomfüggvénynek nevezzük.

Bár egy f polinom mint formális kifejezés, és az f* polinomfüggvény nyilván nem ugyanaz, esetleg valaki arra gondolhat, hogy gyakorlati szempontból nincs nagy különbség közöttük, hiszen például az x2 valós fölötti grafikonjából visszakaphatjuk az x2 polinomot. Nézzük meg, igaz marad-e ez, ha a ℤ2 gyűrű fölött dolgozunk.

Ennek csak két eleme van, így a „grafikon” mindössze két pontból áll. A polinomfüggvényeket tehát táblázatosan is megadhatjuk:

Itt bizony sok egybeesés van, például az x, x2 és x3 polinomokhoz is ugyanaz a polinomfüggvény tartozik. Ez nem meglepő: a {0,1} halmazból önmagába csak négy függvény létezik egyáltalán, hiszen 0-nál is és 1-nél is csak kétféle függvényérték lehetséges. Mind a négy lehetséges függvény szerepel is a fenti táblázatban, azaz ℤ2

fölött minden függvény polinomfüggvény. Polinom viszont végtelen sok van 2 fölött (például x, x2, x3,..., xk,...

csupa különböző polinomok). Később meglátjuk, milyen összefüggés van általában egy polinom és a hozzá tartozó polinomfüggvény között, mikor határozza meg az utóbbi az előbbit (2.4.11. Következmény).

Első lépésként vizsgáljuk meg, hogy mit kapunk eredményül, ha összeg-, illetve szorzatpolinomba helyettesítünk. A polinomok közötti műveleteket pontosan azzal a szándékkal definiáltuk, hogy az alábbi állítás igaz legyen.

2.4.2. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha f, g R[x], és b R, akkor

A középiskolában függvényekkel is végeztünk műveleteket. Például x sin x az a függvény volt, ami az x helyen az x és a sin x szorzatát veszi föl. Ennek alapján a polinomfüggvények összegét és szorzatát is definiálhatjuk.

Az alábbi definíció megemésztéséhez nagyon ajánljuk a 2.4.28. Gyakorlatot.

2.4.3. Definíció. Legyen R gyűrű, és p, q két függvény, ami R-et R-be képzi. Ekkor p+q, illetve pq az a függvény, ami minden b∈ R helyen p(b)+q(b)-t, illetve p(b)q(b)-t vesz föl. Képletben:

A p+q, illetve pq neve a p és q függvények pontonkénti összege, illetve szorzata.

Most egy gyors eljárást mutatunk polinomba való behelyettesítésre, melynek elméleti következményei is lesznek. Legyen f(x)=3x4+2x3+x-1, és helyettesítsünk x=2-t.

Megjegyzés

A Maple programmal ezt a következőképpen végeztethetjük el:

f := 3*x^4+2*x^3+x-1;

eval(f, x=2);

A szorzások számát csökkenthetjük (lásd 2.4.16. Gyakorlat), ha a polinomot a következőképpen alakítjuk át:

A részletszámításokat „belülről kifelé haladva” egy táblázatba írjuk:

A végeredmény f*(2)=65.

Az általános eljárás tehát a következő:

1. A táblázat felső sorába fölírjuk sorban a polinom együtthatóit, a főtagtól a konstans tagig. (Vigyázzunk arra, hogy a nulla együtthatókat is be kell írni a táblázatba, akkor is, ha azokat a polinomban nem írtuk ki.)

2. Az alsó sorba bemásoljuk a főegyütthatót, a főegyüttható alá. A sor elejére oda szokás írni a behelyettesítendő b értéket is.

3. Az alsó sort balról jobbra haladva töltjük ki. Az utoljára kitöltött mezőbeli értéket megszorozzuk b-vel, majd hozzáadjuk a következő, üres mező fölötti együtthatót, és az eredményt beírjuk ebbe az üres mezőbe.

4. Az f*(b) értékét az alsó sor végéről olvashatjuk le.

Általában a következő, úgynevezett Horner-elrendezést kapjuk:

2.4.4. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy a Horner-elrendezés tényleg az f*(b) értéket számítja ki. Igazoljuk az alábbi összefüggést:

ahol f(x)=anxn+...+a0, és cn-1,...,c0 a táblázatban kiszámított értékek.

Megjegyzés

Ezek szerint minden f∈ R[x] polinom tetszőleges b R esetén fölírható

alakban alkalmas q R[x] polinomra. Ezt az észrevételt (amely önmagában is elegendő a következő állítás bizonyításához) később általánosítani fogjuk, amikor a polinomok közötti maradékos osztásról beszélünk majd a 2. szakaszban.

2.4.5. Definíció. A b Rgyöke az f R[x] polinomnak, ha f*(b)=0.

2.4.6. Állítás. A b R akkor és csak akkor gyöke az f R[x] polinomnak, ha

alkalmas q∈ R[x] polinomra.

Bizonyítás. Ha f(x)=(x-b)q(x), akkor b nyilván gyöke f-nek. Megfordítva, ha b gyöke f-nek, akkor a Horner-elrendezés alsó sorában lévő számok egy megfelelő q polinom együtthatóit szolgáltatják (2.4.4. Gyakorlat). □ Ha b gyöke f-nek, akkor az x-b kifejezést az f polinom b-hez tartozó gyöktényezőjének nevezzük. Az előző állítás a gyöktényező kiemelhetőségéről szóló tétel.

Ha egy polinomnak több gyöke van, akkor megpróbálhatunk egyszerre több gyöktényezőt kiemelni. Ehhez nagyon fontos, hogy az R gyűrű nullosztómentes legyen. Ha ez nem teljesül, akkor furcsa dolgok történhetnek.

Például a ℤ8 gyűrű fölött tekintsük az x2-1 polinomot. Ennek gyökeit megállapíthatjuk úgy, hogy

végigpróbálgatjuk a ℤ8 gyűrű nyolc elemét. Az eredmény, hogy ennek gyökei a négy páratlan szám, azaz 1, 3, 5, 7. A gyöktényezőket kiemelve azonban kétféle felbontást kapunk:

A polinom tehát két, lényegesen különböző módon is felbontható gyöktényezők szorzatára, és egyszerre csak két gyöktényezőt tudunk szerepeltetni a lehetséges négy közül. A problémát az okozza, hogy ha az (x-1)(x-7) alakba a b=3 gyököt behelyettesítjük, akkor 0=2 *8 4 adódik, tehát a nullosztómentesség hiánya teszi lehetővé, hogy az 1-en és a 7-en kívül még legyen gyök.

2.4.7. Tétel. Egy nullosztómentes (egységelemes, kommutatív) R gyűrű (speciálisan egy test) fölött a gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők: minden nem nulla f∈ R[x] polinom fölírható

alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1,..., bk elemek az f-nek az összesR-beli gyökei, és q-nak egyáltalán nincs gyöke R-ben. Ezért nullosztómentes gyűrű fölött egy polinomnak legfeljebb annyi gyöke lehet, mint a foka.

Bizonyítás. Egy gyöktényező kiemelésekor a fok eggyel csökken (hiszen nullosztómentes gyűrűben polinomok szorzásakor a fokok összeadódnak). Emeljünk ki f-ből addig gyöktényezőket, ameddig lehet. Vagyis ha

de qm-nek még van gyöke R-ben, akkor qm-ből emeljünk ki egy további gyöktényezőt. Ezt csak véges sokszor lehet csinálni, mert qm foka minden lépésnél csökken. Ezért előbb-utóbb eljutunk az

alakhoz, ahol már q-nak nincs gyöke R-ben. Ha b gyöke f-nek, akkor

adódik. Mivel R nullosztómentes, valamelyik tényező nulla. De q*(b)≠ 0, tehát van olyan j, hogy b-bj=0, azaz b=bj. Megfordítva, a bj nyilván gyöke f-nek. Tehát f gyökei pontosan b1,..., bk.

Az utolsó állítás bizonyításához írjuk föl a fokszámokat:

Ezért tényleg gr(f)≥ k. □

2.4.8. Gyakorlat. Az előző bizonyításban mely állítások maradnak érvényesek, ha az R gyűrűről nem tesszük föl a nullosztómentességet? A fokszámokkal kapcsolatos érveléseknél is kihasználtuk-e a nullosztómentességet, vagy csak b behelyettesítésekor?

Megjegyzés

Annak igazolásához, hogy egy polinomnak legfeljebb annyi gyöke lehet, mint amennyi a foka, nemcsak a nullosztómentesség szükséges, hanem a kommutativitás is. Bár nemkommutatív gyűrűk fölött a polinomok definíciójával is gondok merülnek föl, az x2+1-et minden egységelemes gyűrű fölött nyilván polinomfüggvénynek tekinthetjük. Az 5.11.5. Következményben meglátjuk majd, hogy van olyan nullosztómentes gyűrű (az úgynevezett kvaterniók ferdeteste), amelyben ennek a polinomnak végtelen sok gyöke van.

2.4.9. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy ha R nullosztómentes gyűrű, akkor minden nem konstans f R[x] polinom minden c∈ R értéket csak véges sok R-beli helyen vehet föl.

Most már könnyű belátni, hogy ha két polinom „elég sok” helyen megegyezik, akkor azonosak.

2.4.10. Következmény. [A polinomok azonossági tétele] Ha egy R nullosztómentes gyűrű fölött adott két, legfeljebb n-edfokú polinom, amelyek több mint n (R-beli) helyen megegyeznek, akkor a két polinom egyenlő (vagyis együtthatóik is megegyeznek).

Bizonyítás. Legyen f és g a két polinom. Az, hogy a b helyen megegyeznek, azt jelenti, hogy f*(b)=g*(b), azaz hogy f-g-nek gyöke a b. Tehát f-g-nek több, mint n gyöke van. Ha f-g nem a nullapolinom, akkor van foka, ami legfeljebb n lehet. Ez ellentmond az előző 2.4.7. Tételnek. Az ellentmondást abból kaptuk, hogy feltettük: f-g nem a nullapolinom. Ezért f-g a nullapolinom, azaz f=g. □

Megjegyzés

Ez a bizonyítás akkor is működik, ha f vagy g a nullapolinom, noha a tételben ezt elvileg nem engedtük meg, mert f és g fokáról beszéltünk. Néha ezért megállapodnak abban, hogy (noha a nullapolinomnak nincs foka), a legfeljebb n-edfokú polinomok közé mégiscsak odaértjük a nullapolinomot is. Egy ilyesfajta megállapodás sokat egyszerűsíthet egy-egy tétel szövegén, és könnyebben megjegyezhetővé teheti azt.

2.4.11. Következmény. Végtelen nullosztómentes gyűrű fölött minden polinomot egyértelműen meghatároz a hozzá tartozó polinomfüggvény, véges gyűrű fölött viszont nem.

Bizonyítás. Ha R végtelen, és f*=g*, akkor f és g végtelen sok helyen megegyezik (mert R minden elemén megegyezik). Tehát az azonossági tétel miatt f=g. Ha R véges, akkor csak véges sok függvény van R-ből R-be, tehát csak véges sok polinomfüggvény van. Polinom viszont végtelen sok van, tehát nem tartozhat minden polinomhoz más és más polinomfüggvény. □

A polinomfüggvények tárgyalását ezzel befejeztük. Ezentúl f*(r) helyett egyszerűen f(r)-rel jelöljük majd az f polinom r helyen felvett értékét.

Megjegyzés

A Maple programban a solve paranccsal kereshetjük meg polinomok gyökeit. Ha a közelítő numerikus értékekre is kíváncsiak vagyunk, akkor az evalf parancsot használhatjuk.

solve(x^3+1, x);

1/2 1/2

-1, 1/2 + 1/2 I 3 , 1/2 - 1/2 I 3 evalf(solve(x^3+1, x));

-1., .5 + .866 I, .5 - .866 I

Zárásként röviden, két feladat formájában, megemlítjük az interpoláció problémáját. Olyan polinomfüggvényt fogunk keresni, amely adott helyeken adott értékeket vesz föl. Ezek a helyek egy T test páronként különböző elemei, jelölje őket a1,..., an, a felveendő értékeket pedig b1,...,bn. Az azonossági tétel miatt a legfeljebb n-1-edfokú polinomok között legfeljebb egy olyan f polinom létezik, melyre f(aj)=bj minden j-re. Meg fogjuk mutatni, hogy mindig van ilyen polinom. A legegyszerűbb konstrukció a Lagrange-interpoláció, amit a következő gyakorlatban írunk le.

2.4.12. Gyakorlat. [Lagrange-interpoláció] Tegyük föl, hogy a1,a2,...,an egy T test páronként különböző elemei.

1. Melyek azok az n-1-edfokú polinomok, melyeknek az aj kivételével az a1,..., an mindegyike gyöke?

2. Melyik az az fj polinom, ami ezen kívül még azt is teljesíti, hogy fj(aj)=1? (Ezek az úgynevezett Lagrange-féle alappolinomok.)

3. Ha b1,..., bn T, akkor hogyan lehet az fj polinomokból és a bj elemekből egy olyan f polinomot összekombinálni, amelyre f(aj)=bj minden j-re?

E módszer előnye, hogy a keresett interpolációs polinomra képletet kapunk. Hátránya viszont a következő.

Képzeljük el, hogy az interpoláció célja az, hogy mérési eredményekhez polinomot illesszünk. Ha új mérési eredmény érkezik, akkor a Lagrange-féle technikával elölről kell kezdenünk a számolást. Newton módszere azt teszi lehetővé, hogy a már meglevő polinomunkat úgy módosítsuk, hogy az új helyen is a kívánt értéket vegye föl.

2.4.13. Gyakorlat. [Newton-interpoláció] Tegyük föl, hogy az f polinom legfeljebb n-2-edfokú, és f(aj)=bj, ha j=1,2,..., n-1.

1. Mi az általános alakja az olyan n-1-edfokú g polinomoknak, melyekre (f+g)(aj)=bj minden j=1,2,..., n-1 esetén?

2. Hogyan kell g-t megválasztani, hogy (f+g)(an)=bn is teljesüljön?

Többváltozós függvényeket többhatározatlanú polinomokkal lehet interpolálni, erről a 2.6.11. Feladatban lesz szó.

2.4.14. Gyakorlat. Adjunk meg olyan legfeljebb harmadfokú komplex együtthatós polinomot, amelyre f(0)=3, f(1)=3, f(4)=15 és f(-1)=0.

Megjegyzés

Az előző gyakorlatot a következő Maple-parancsok segítségével oldhatjuk meg:

with(CurveFitting):

PolynomialInterpolation([[0,3],[1,3],[4,15],[-1,0]],x);

Gondolkodjunk!

2.4.15. Gyakorlat. A Horner elrendezés segítségével döntsük el, hogy a 2 szám gyöke-e az f(x)=x6-4x4+x3-x2+4 polinomnak, és írjuk is föl f(x)-et (x-2)g(x)+f(2) alakban.

2.4.16. Gyakorlat. Az n-edfokú f(x) polinomba behelyettesítjük a b számot. Hány szorzásra van szükség f(b) kiszámításához, ha

1. egyáltalán nem trükközünk;

2. a b hatványait előre kiszámoljuk;

3. a Horner-elrendezést használjuk?

2.4.17. Gyakorlat. Az ak-bk=(a-b)(ak-1+ak-2b+... +bk-1) azonosság felhasználásával adjunk új bizonyítást a gyöktényező kiemelhetőségéről szóló tételre (2.4.6. Állítás). Mutassuk meg azt is, hogy ha f egész együtthatós, akkor a-b∣ f(a)-f(b) minden a, b egészre.

2.4.18. Feladat. Igazoljuk, hogy ha R szokásos gyűrű és b R, akkor minden f R[x] polinom egyértelműen fölírható x-b polinomjaként, melynek foka ugyanaz, mint az f foka.

2.4.19. Feladat. Mely m-ekre van m[x]-ben olyan polinom, amelynek több gyöke van, mint a foka?

2.4.20. Feladat. Létezik-e olyan f∈ ℤ[x] polinom, melyre f(10)=400, f(14)=440 és f(18)=520?

2.4.21. Feladat. Tegyük föl, hogy n egész alapponthoz keresünk interpolációs polinomot, és az itt felvett értékek maguk is egészek, de a kapott legfeljebb n-1-edfokú interpolációs polinom mégsem egész együtthatós.

Lehetséges-e, hogy az interpoláció egy magasabb fokú, de egész együtthatós polinommal is elvégezhető?

2.4.22. Feladat. Tegyük föl, hogy az f∈ ℂ[x] polinom minden racionális helyen racionális értéket vesz föl.

Következik-e ebből, hogy f racionális együtthatós? Igaz-e az állítás, ha „racionális” helyett mindenütt „egész”

szerepel?

2.4.23. Feladat. Tegyük föl, hogy az f∈ ℂ[x] polinomhoz létezik olyan r valós szám, hogy az r-nél nagyobb egész helyeken f egész értéket vesz föl. Igazoljuk, hogy akkor f minden egész helyen egész értéket vesz föl.

2.4.24. Feladat. Tegyük föl, hogy az f∈ ℂ[x] polinom foka n, és n+1 egymást követő egész helyen egész értéket vesz föl. Igazoljuk, hogy léteznek olyan c0,...,cn egész számok, hogy

Megjegyzés

Így ha az n-edfokú f polinom n+1 egymást követő egész helyen egész értéket vesz föl, akkor minden egész helyen egész értéket vesz föl. Ez élesítése a 2.4.23. Feladat állításának.

2.4.25. Feladat. Legyen g(x)∈ ℂ[x] az a lehető legalacsonyabb fokú polinom, amelyre g(j)=2j minden 0≤ j≤ 10 esetén. Számítsuk ki g(11) értékét.

2.4.26. Feladat. Ha az f∈ ℤ[x] polinom négy különböző egész helyen is felveszi az 5 értéket, akkor felveheti-e egy egész helyen a 12-t?

2.4.27. Feladat. Mutassuk meg, hogy ha R kommutatív, egységelemes gyűrű, amely fölött az interpoláció korlátlanul elvégezhető, akkor R test.

2.4.28. Gyakorlat. Legyen R (mint eddig is) kommutatív, egységelemes gyűrű. Ellenőrizzük az alábbi állításokat.

1. Az R-ből R-be menő függvények egységelemes, kommutatív gyűrűt alkotnak a pontonkénti összeadásra és szorzásra (2.4.3. Definíció), ami nem nullosztómentes.

2. A pontonkénti összeadás és szorzás nem vezet ki a polinomfüggvények közül, és azok is egységelemes, kommutatív gyűrűt alkotnak erre a két műveletre.

3. Ha b∈ R egy rögzített elem, akkor az f f*(b) leképezés összeg- és szorzattartó az R[x] és az R gyűrűk között (röviden: a bbehelyettesítése gyűrűhomomorfizmus).

4. Igazoljuk, hogy az f f* leképezés összeg- és szorzattartó az R[x] és a polinomfüggvények gyűrűje között (azaz a polinomfüggvény képzése gyűrűhomomorfizmus).

2.4.29. Feladat. Legyen R a valós számokon értelmezett, valós értékű függvények gyűrűje a pontonkénti műveletekre. Mutassuk meg, hogy R-nek van olyan S részgyűrűje, amely egységelemes, de S egységeleme nem ugyanaz, mint R egységeleme. Előfordulhat ez a jelenség nullosztómentes R gyűrűben is? (Lásd a 2.2.36.

Gyakorlatot is.)

2.4.30. Gyakorlat. Álljon R a [x] polinomgyűrű azon polinomjaiból, amelyek konstans tagja nulla (ez nyilván részgyűrű), és legyen S tetszőleges (nem feltétlenül kommutatív) gyűrű, melyben rögzítünk egy s elemet. Bizonyítsuk be, hogy az a θ:R→ S leképezés, amely az f(x)=a1x+... +anxn polinomhoz az f*(s)=a1s+...

+ansn S elemet rendeli, összeg- és szorzattartó, azaz gyűrűhomomorfizmus. Mutassuk meg azt is, hogy ha S egységelemes, és egységeleme e, akkor az f(x)=a0+a1x+... +anxn∈ ℤ[x] polinomhoz az f*(s)=a0e+a1s+... +ansnS elemet rendelve egy [x]→ S gyűrűhomomorfizmust kapunk. E homomorfizmusok neve szintén az sbehelyettesítése.

In document Bevezetés az algebrába (Pldal 49-55)

Outline

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK