• Nem Talált Eredményt

Egységgyökök és rendjeik

In document Bevezetés az algebrába (Pldal 27-31)

Moivre képlete alapján már el tudjuk végezni komplex számok között a gyökvonás műveletét is. Ehhez a megoldást trigonometrikus alakban keressük. Ha z=r( cos α+i sin α) nem nulla szám, és n≥ 1 egész, akkor tehát

olyan w számot keresünk, amelyre wn=z. A jó lesz, hiszen ezt a számot

n-edik hatványra emelve z-t kapjuk vissza.

1.5.1. Gyakorlat. Ahhoz, hogy w0 értékét kiszámítsuk, az r számból n-edik gyököt kell vonni. Miért egyszerűbb dolog ez, mint egy általános komplex számból vonni n-edik gyököt?

A z szám összesn-edik gyökét közvetlen számolással is megkereshetjük.

1.5.2. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy a z=r( cos α+i sin α) szám n-edik gyökei pontosan a

alakú számok, ahol 0≤ k<n egész szám.

A közvetlen számolás helyett a következőképpen is eljárhatunk. Legyen w a z tetszőleges n-edik gyöke. A fenti w0 számra ekkor w0n=z=wn, ami ekvivalens azzal, hogy (w/w0)n=1. Jelöljük a w/w0 hányadost ε-nal, akkor tehát εn=1. Így ha sikerülne meghatározni az ilyen ε számokat, akkor az összes keresett w-t is megkapnánk a w=ε w0

összefüggésből.

1.5.3. Definíció. Az ε∈ ℂ számot n-edik komplex egységgyöknek nevezzük, ha εn=1. Egy komplex szám egységgyök, ha n-edik egységgyök alkalmas pozitív n egészre.

Például az i szám negyedik egységgyök, hiszen i2=-1, és ezért i4=1. Az i szám hatványai tehát

Vagyis a hatványok periodikusan ismétlődnek. Ha lerajzoljuk őket, egy négyzetet kapunk, melynek a középpontja az origó, az egységkörbe írható, és az egyik csúcsa az 1. Ezeket az észrevételeket rövidesen általánosítani fogjuk, és akkor az is kiderül majd, hogy az i, -1, -i, 1 számok az 1 szám összes negyedik gyöke, vagyis az összes negyedik egységgyök.

Az n-edik egységgyököket trigonometrikus alakban keressük. Mivel εn=1, és az abszolút érték szorzattartó,

|ε|n=1, azaz |ε|=1. Ha ε szöge α, akkor

Az 1.4.4. Gyakorlat miatt nα=2kπ alkalmas k egészre. Tehát α=2kπ/n.

1.5.4. Tétel. Az n-edik egységgyökök száma pontosan n, ezek az

képlettel definiált ε1, ε2, ..., εn=1 számok. Ha z=r( cos α+i sin α) nem nulla komplex szám, akkor egyik n-edik gyöke

a többi n-edik gyökét pedig úgy kapjuk meg, hogy a w0 számot végigszorozzuk az n-edik egységgyökökkel.

Minden nem nulla komplex számnak pontosan n darab n-edik gyöke van a komplex számok között, és ezek egy origó középpontú szabályos sokszög csúcsaiban helyezkednek el.

Bizonyítás. Ha lerajzoljuk az ε1, ε2,..., εn=1 számokat a síkon, akkor egy szabályos n-szöget kapunk, amelynek természetesen mind különbözők a csúcsai. Viszont εn+11, εn+22, és így tovább, vagyis körbe-körbe járunk a szabályos n-szög csúcsain. Általában ha k-nak az n-nel való osztási maradéka r, akkor nyilván εkr. Az εk1k

összefüggés nyilvánvalóan következik Moivre képletéből. Végül a z szám n-edik gyökei azért alkotnak szabályos n-szöget, mert ez w0-lal szorzással, azaz forgatva nyújtással kapható az egységgyökök által alkotott sokszögből. □

Megjegyzés

Az n-edik komplex egységgyököket „ugyanúgy kell szorozni, ahogy a modulo n maradékokat összeadni”. Valóban, amikor az εk és ε számokat szorozzuk össze, akkor a szögeket modulo 360° kell összeadni, és ezért az indexek modulo n adódnak össze. Képlettel fölírva: εk+n= εkε. Még máshogy fogalmazva a k εk leképezés (kölcsönösen egyértelmű, és) művelettartó a ℤn halmaz és az n-edik egységgyökök halmaza között akkor, ha az első esetben a modulo n összeadást, a másodikban pedig a komplex számok szorzását tekintjük műveletnek. (De mondhatjuk azt is, hogy a ℤ-ből ℂ-be vezető kεk leképezés művelettartó, ha az első művelet az összeadás, a második a szorzás, hiszen εk+ℓkε is teljesül. Ez a leképezés azonban már nem kölcsönösen egyértelmű.)

A szakasz hátralévő részében a komplex szám rendjének a fogalmával ismerkedünk meg. Ez a téma kicsit nehezebb az eddigieknél, ezért az Olvasó megteheti, hogy előreszalad a polinomokhoz, és ide akkor tér vissza, amikor már kicsit jobban beleszokott az új gondolkodásmódba. A most következő anyagra legközelebb a körosztási polinomok vizsgálatakor, azután pedig a csoportelméleti elemrend tárgyalásakor lesz szükség.

Az ε1 komplex számról beláttuk, hogy hatványai periodikusan ismétlődnek. Vizsgáljunk most meg ebből a szempontból egy tetszőleges z nem nulla komplex számot. „Tipikus esetben” a z szám összes egész kitevőjű hatványa páronként különböző lesz. Ilyen szám például a z=2, hiszen az 1, 2, 4, 8, ... és 1, 1/2, 1/4, 1/8,...

számok között nincs két egyenlő.

1.5.5. Gyakorlat. Mely valós z≠ 0 számokra fordulhat elő, hogy zk=z, noha k≠ ℓ?

Tegyük föl, hogy a z komplex számra zk=z teljesül, noha k≠ ℓ. Ekkor zk-ℓ=zℓ-k=1, így léteznek olyan nem nulla kitevők, melyekre z-t emelve 1-et kapunk.

1.5.6. Definíció. Az n egész szám jó kitevője a z komplex számnak, ha zn=1.

Mivel a k-ℓ és ℓ-k jó kitevők egyike pozitív, van pozitív jó kitevő is. Legyen d a legkisebb pozitív jó kitevő.

Osszuk el k-ℓ-et maradékosan d-vel: k-ℓ=dq+r, ahol 0≤ r<d. Ekkor

Tehát r is jó kitevő. Mivel d a legkisebb pozitív jó kitevő volt, és r<d, az r már nem lehet pozitív. Ezért r=0, vagyis d∣ k-ℓ. Beláttuk tehát, hogy ha zk=z, akkor d∣ k-ℓ.

Ennek az állításnak a megfordítása is igaz. Ha d k-ℓ, akkor zk-ℓ hatványa zd=1-nek, és így zk-ℓ=1, vagyis zk=z. Szavakban megfogalmazva: z két hatványa akkor és csak akkor egyenlő, ha a kitevők különbsége a d szám többszöröse.

Tehát z hatványai d szerint periodikusak! Hiszen z, z2, ..., zd=1 még páronként különböző (mert ezeknek a d-nél kisebb kitevőknek a különbsége nem lehet d-vel osztható), de már zd+1=z, zd+2=z2, és így tovább. Így z-nek pontosan d darab különböző hatványa van. Ezt a d számot a zrendjének nevezzük.

1.5.7. Definíció. Egy z komplex szám különböző (egész kitevős) hatványainak a számát a zrendjének nevezzük és o(z)-vel jelöljük. Ez vagy pozitív egész, vagy a ∞ szimbólum.

1.5.8. Tétel. A z számnak vagy bármely két egész kitevőjű hatványa különböző (ilyenkor a rendje végtelen), vagy pedig a hatványok a rend szerint periodikusan ismétlődnek. A rend a legkisebb pozitív „jó” kitevő, vagyis a legkisebb olyan pozitív egész, melyre a számot emelve 1-et kapunk. Továbbá

A jó kitevők tehát pontosan a rend többszörösei.

Megjegyzés

Az Olvasónak a lehető legmelegebben ajánljuk, hogy a fentiek jobb megértése érdekében ismételje át a rendnek a számelméletben használt, analóg fogalmát (lásd [1], 3.2. szakasz). Röviden összefoglaljuk a legfontosabb tudnivalókat.

Legyen z∈ ℤm olyan szám, amely m-hez relatív prím. Hatványozzuk z-t a modulo m szorzás szerint. A hatványok periodikusan ismétlődni fognak. Nevezzük z rendjének modulo m (jele om(z)) a z szám modulo m különböző hatványainak a számát. A rend most is a legkisebb pozitív „jó” kitevő, vagyis a legkisebb olyan pozitív egész, melyre a számot a *m szorzás szerint hatványozva 1-et kapunk. Az elemi számelméletben szívesebben használnak mindennek a kifejezésére kongruenciákat. Így tetszőleges m-hez relatív prím z egészre

A jó kitevők tehát pontosan a rend többszörösei.

Vigyázzunk, nem minden edik komplex egységgyök rendje n. Például az 1 rendje 1, noha az 1 minden re n-edik egységgyök. A negyn-edik egységgyökök közül az i és -i rendje 4, a -1 rendje 2, az 1 rendje pedig 1. A hatodik egységgyökök rendjeit a 3.1. ábrán szemléltettük. Próbáljuk most általánosan meghatározni az n-edik egységgyökök rendjeit. Ebben a következő feladat lesz a segítségünkre.

1.5.9. Feladat. Egy bolha ugrál körbe egy n-szög csúcsain, úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit lép előre.

Hány lépés után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen?

1.5.10. Tétel. Ha a z komplex szám rendje véges, és k egész szám, akkor

Ez a hatvány rendjének képlete.

Bizonyítás. Legyen o(z)=n, és írjuk föl a z hatványait sorban egy n-szög csúcsaira. Helyezzünk rá egy bolhát a zn=1-nél levő csúcsra. Amikor a zk számot hatványozzuk, akkor mindig azokra a csúcsokra jutunk, ahol a bolha lesz, amikor k-asával ugrál (az első ugrás után a zk-ban, azután a (zk)2-ben, és így tovább). A zk rendje a hatványainak a száma, vagyis a bolha által érintett csúcsok száma, ami az előző feladat szerint n/(n,k). □

A képlettel ellenőrizhetjük, hogy mivel o(i)=4, ezért o(i2)=4/(4,2)=2, és o(i3)=4/(4,3)=4. Általában, ha

akkor már láttuk, hogy ε1-nek n különböző hatványa van, tehát a rendje n, és így a hatvány rendjének képlete szerint

(1.5)

Ezt praktikusabban is megfogalmazhatjuk. Az εk képletében egyszerűsítsük le a k/n törtet. Ekkor elérhetjük, hogy k és n relatív prímek legyenek. Ilyenkor pedig az (1.5) képlet n-et ad eredményül. Ez az észrevétel igen hasznos konkrét számoláskor, feladatmegoldáskor, ezért egy külön állításba foglaljuk.

1.5.11. Állítás. Egy z≠ 0 komplex szám rendje pontosan akkor véges, ha abszolút értéke 1, szöge pedig a 2π racionális többszöröse. Ha ez a racionális szám egyszerűsíthetetlen tört alakjában fölírva p/q (ahol q>0), akkor a z rendje q.

1.5.12. Definíció. Az n rendű komplex számokat primitív n-edik egységgyököknek nevezzük.

Ezek mind az n-edik egységgyökök között vannak, és az (1.5) képlet szerint azok az εk számok lesznek primitív n-edik egységgyökök, melyekre (k,n)=1.

1.5.13. Tétel. A primitív n-edik egységgyökök pontosan az

alakú számok, ahol k és n relatív prímek, és 0≤ k<n. Számuk θ(n), ahol θ a számelméletből ismert Euler-függvény (D.4.1. Definíció). Egy komplex szám akkor és csak akkor n-edik primitív egységgyök, ha a hatványai pontosan az összes n-edik egységgyökök.

Bizonyítás. Csak az utolsó állítást nem láttuk be az eddigiek során. Ha ε primitív n-edik egységgyök, akkor a rendje n, ezért n különböző hatványa van. Ezek mind n-edik egységgyökök, és mivel abból is n darab van, mindet meg kell kapjuk. Megfordítva, ha ε hatványai pont az n-edik egységgyökök, akkor n különböző hatványa van, és így a rendje n. □

A rend fogalmának bevezetésével befejeztük a komplex számokkal való ismerkedést. Láttunk néhány geometriai alkalmazást, és a gyökvonás sem probléma többé, de a harmadfokú egyenlettel kapcsolatos kérdéseket még nem tisztáztuk. Erre akkor kerül majd sor, amikor már eleget fogunk tudni polinomokról is.

Mostantól kezdve szám alatt mindig komplex számot értünk.

Gondolkodjunk!

1.5.14. Gyakorlat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket (x komplex szám).

1. x3=1.

2. x4=-4.

3. . 4. xn=-1.

1.5.15. Gyakorlat. Az alábbi számoknak mennyi a rendje? Mely n-ekre lesznek n-edik egységgyökök? És primitív n-edik egységgyökök?

1. 1+i.

2. .

3. .

4. cos (336°)+i sin (336°).

1.5.16. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy minden komplex egységgyök pontosan egy n-re lesz primitív n-edik egységgyök, de végtelen sok n-re lesz n-edik egységgyök.

1.5.17. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha n>0 egész, ε∈ ℂ, és εn=i, akkor ε rendje véges, és néggyel osztható.

1.5.18. Gyakorlat. Ha ε primitív 512-edik egységgyök, akkor mik a -iε rendjének lehetséges értékei?

1.5.19. Feladat. Hogyan függ össze egy komplex szám és az ellentettjének a rendje? (Először kis n számokra vizsgáljuk meg.)

1.5.20. Gyakorlat. Szorozzuk össze a hatodik egységgyököket a negyedik egységgyökökkel az összes lehetséges módon. Hány különböző számot kapunk? Mi a helyzet, ha a hatodik és a hetedik egységgyököket szorozzuk össze?

1.5.21. Gyakorlat. Legyenek m és n pozitív egészek.

1. Hány közös gyöke van az xn=1 és xm=1 egyenleteknek ℂ-ben?

2. Mutassuk meg, hogy egy n-edik és egy m-edik egységgyök szorzata nm-edik egységgyök.

3. Bizonyítsuk be, hogy egy n-edik és egy m-edik primitív egységgyök szorzata akkor és csak akkor nm-edik primitív egységgyök, ha m és n relatív prímek.

1.5.22. Gyakorlat. Mennyi az n-edik egységgyökök összege, szorzata és négyzetösszege? (A primitív n-edik egységgyökök összegét és szorzatát majd a 3.9.18. Feladatban határozzuk meg.)

Az alábbi feladatokban használjuk föl a 2.2.46. Gyakorlatban bizonyított binomiális tételt.

1.5.23. Feladat. Hozzuk „zárt alakra” a következő összeget:

(Az utolsó tagban alul 1864 szerepel, de ezt nem kell kiírni, mert egy binomiális együttható értéke megállapodás szerint nulla, ha alul nagyobb szám van, mint fölül, és így az összeg tagjai egy idő után nullává válnak.)

1.5.24. Feladat. Fejezzük ki cos x és sin x segítségével sin 7x-et. Általánosítsuk a kapott képletet.

In document Bevezetés az algebrába (Pldal 27-31)

Outline

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK