Gyakorlat. Számítsuk ki a prímhatvány-indexű körosztási polinomokat

3.9.12. Feladat. Igazoljuk, hogy ha n>1 páratlan, akkor Φ2n(x)=Φn(-x).

3.9.13. Gyakorlat. Számítsuk ki az n-edik körosztási polinomot minden n≤ 20 egészre.

3.9.14. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy , ahol μ az úgynevezett Möbius-függvény (D.4.5. Definíció).

3.9.15. Feladat. Legyenek m∣ n pozitív egészek úgy, hogy n minden prímosztója osztja m-et is. Igazoljuk, hogy Φn(x)=Φm(x^n/m).

3.9.16. Gyakorlat. Számítsuk ki az előző feladat alapján a Φn(x) polinomokat abban az esetben, amikor n=36, 72, 144, 100.

3.9.17. Gyakorlat. Legyenek m és n relatív prímek. Igazoljuk, hogy minden mn-edik egységgyök egyértelműen előáll egy m-edik és egy n-edik egységgyök szorzataként, és minden mn-edik primitív egységgyök egyértelműen előáll egy m-edik és egy n-edik primitív egységgyök szorzataként. Vezessük le ebből, hogy θ(mn)=θ(m)θ(n), továbbá, hogy S(mn)=S(m)S(n), ahol S(n) jelöli az n-edik primitív egységgyökök összegét.

3.9.18. Feladat. Alkalmazzuk a gyökök és együtthatók összefüggését a 12-edik, 18-adik, illetve 24-edik primitív egységgyökök összegének és szorzatának kiszámítására. Határozzuk meg Φn(x)-ben a konstans tagot és x^θ(n)-1 együtthatóját, és ennek alapján általánosítsuk a feladatot n-edik primitív egységgyökökre.

3.9.19. Feladat. Határozzuk meg a Φn polinom együtthatóinak összegét.

3.9.20. Feladat. Határozzuk meg a Φn(-1) értékét.

3.9.21. Feladat. A 3.9.12. Feladat általánosításaként mutassuk meg, hogy ha m és n relatív prímek, akkor

kivéve az m=2, n=1 esetben, amikor a két oldal egymás ellentettje.

3.9.22. Gyakorlat. Bontsuk az x¹²-1 polinomot irreducibilisek szorzatára ℤ, ℤ2, ℤ3 és ℤ5 fölött.

3.9.23. Feladat. Legyen p prímszám, és n=p^k m, ahol már . Mutassuk meg, hogy modulo p a Φn egyenlő a Φmθ (pk) polinommal.

3.9.24. Gyakorlat. Mutassuk meg a 3.5.15. Feladat megoldását általánosítva, hogy a prímhatvány indexű körosztási polinomok alkalmas eltoltjára teljesül a Schönemann–Eisenstein-kritérium feltétele.

3.9.25. Feladat. Igazoljuk, hogy a Φn polinom egy alkalmas eltoltjára akkor és csak akkor teljesül a Schönemann–Eisenstein, ha n prímhatvány, vagy egy páratlan prímhatvány kétszerese.

3.9.26. Feladat. ^* Mely n≥ 3 egészekre létezik olyan n-szög a síkon, amelynek minden szöge egyenlő, és az oldalai valamilyen sorrendben 1,2,...,n egység hosszúak?

10. Összefoglaló

Ebben a fejezetben a polinomok számelméletével, és ennek alkalmazásaival foglalkoztunk (beleértve a rezultáns, illetve a legfeljebb negyedfokú egyenletek tanulmányozását is, ez a két téma csak nagyon lazán kapcsolódik a polinomok számelméletéhez). Először tetszőleges szokásos gyűrűben vizsgáltuk a számelméleti alapfogalmakat. Ezek: oszthatóság, asszociált, egység, triviális felbontás, felbonthatatlan (irreducibilis), prím, kitüntetett közös osztó és közös többszörös. Megfogalmaztuk a számelmélet alaptételének megfelelő állítást, az ezt teljesítő gyűrűket alaptételes gyűrűknek neveztük. Definiáltuk a kanonikus alak fogalmát, és ennek segítségével képletet adtunk az oszthatóságra, a kitüntetett közös osztóra és közös többszörösre.

Megmutattuk, hogy alaptételes gyűrűben bármely két elemnek van kitüntetett közös osztója. Megfordítva, beláttuk, hogy ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója, akkor minden irreducibilis elem prím, és innen következik már az alaptétel egyértelműségi állítása is. Mindez a 1. szakaszban történt.

Általános tudásunkat polinomgyűrűkre alkalmaztuk. Megmutattuk, hogy egy szokásos gyűrű fölött minden olyan polinommal lehet, méghozzá egyértelműen, maradékosan osztani, amelynek a főegyütthatója invertálható;

speciálisan test fölött minden nem nulla polinommal lehet (3.2.1. Tétel). A maradékos osztás segítségével test fölött elvégezhető a kitüntetett közös osztó kiszámítására szolgáló euklideszi algoritmus, és kétféleképpen is beláttuk, hogy ilyenkor tetszőleges f és g polinomok kitüntetett közös osztója fölírható fp+gq alakban (3.2.7.

Tétel). Ebből test fölötti polinomgyűrűben levezettük a számelmélet alaptételét (az egyértelműség az előző bekezdésben írottakból következik, a létezés bizonyításához a fokszám tulajdonságait használtuk).

Bebizonyítottuk a számelmélet alaptételét ℤ[x]-ben is (3.4.10. Tétel). Ennek az eredménynek a kulcsa a 3.4.8.

Tétel, amelyben a ℤ fölötti irreducibilitást sikerült visszavezetni a ℚ fölötti irreducibilitásra: egy f∈ ℤ[x]

polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha vagy konstans prímszám, vagy ℚ fölött irreducibilis, és primitív (azaz nem emelhető ki belőle egységtől különböző egész szám). A bizonyításban szereplő nagyon hasznos technikai segédeszköz a két Gauss-lemma: az első szerint a ℤ-beli prímek ℤ[x]-ben is prímek maradnak, vagy ami ezzel ekvivalens: primitív polinomok szorzata is primitív (3.4.4. Következmény); a második Gauss-lemma pedig azt teszi lehetővé, hogy egy egész együtthatós polinom ℚ fölötti felbontását racionális konstansokkal való szorzás segítségével ℤ fölötti felbontássá módosíthassuk (3.4.7. Lemma). Észrevettük, hogy bizonyításunk nemcsak ℤ[x]-ben, hanem tetszőleges alaptételes gyűrű fölötti polinomgyűrűben is működik, és így például ℤ[x1,...,xn], és tetszőleges T testre T[x1,...,xn] is alaptételes.

Az alaptétel birtokában figyelmünk az irreducibilis polinomok felé fordult. Egy test fölötti polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha nem konstans, és nem bontható alacsonyabb fokú polinomok szorzatára. Egy

polinomnak akkor és csak akkor van elsőfokú tényezője, ha van gyöke az adott testben (3.3.3. Állítás). Ennek felhasználásával láttuk, hogy test fölött egy elsőfokú polinom mindig irreducibilis; egy másod- és harmadfokú akkor és csak akkor irreducibilis, ha nincs gyöke (3.3.4. Állítás); egy legalább negyedfokú polinom pedig nem lehet irreducibilis, ha van gyöke, de attól, hogy nincs gyöke, még nem biztos, hogy irreducibilis. Speciálisan ℂ (illetve tetszőleges algebrailag zárt test) fölött az irreducibilis polinomok pontosan az elsőfokúak. A valós test fölött észrevettük, hogy egy polinom komplex gyökeinek konjugáltjai is ugyanannyiszoros gyökök (3.3.6.

Lemma), ezért ℝ fölött az elsőfokúakon kívül még azok a másodfokú polinomok irreducibilisek, amelyeknek nincs valós gyöke (és több irreducibilis polinom nincs). Következményként beláttuk, hogy páratlan fokú valós együtthatós polinomnak mindig van valós gyöke.

A racionális test fölött már nehezebb eldönteni az irreducibilitást. A gyökök meghatározása a racionális gyökteszt segítségével történhet (3.3.10. Tétel), így a legfeljebb harmadfokú polinomokkal nincs probléma. Ha szerencsénk van, teljesülnek a Schönemann–Eisenstein irreducibilitási kritérium (3.5.2. Tétel) feltételei a polinomra, vagy valamelyik eltoltjára. A polinomot felbonthatjuk ℝ vagy ℂ fölött, és ebből is következtethetünk néha arra, hogy irreducibilis-e ℚ fölött. Vizsgálhatjuk polinomunkat ℤp fölött alkalmas p prímszámra, ebben segít az az észrevétel, hogy itt tagonként lehet p-edik hatványra emelni (3.3.22. Feladat).

Ezeket a módszereket a Néhány módszer az irreducibilitás eldöntésére ℚ és ℤ fölött táblázatban foglaltuk össze.

Az n-edik körosztási polinom gyökei az n-edik primitív egységgyökök (lásd 3.9.1. Definíció), de ennek ellenére ez a polinom egész együtthatós, mert a 3.9.5. Lemma alapján rekurzívan is kiszámítható. A körosztási polinomok újabb példát szolgáltatnak a ℤ és a ℚ fölötti irreducibilitásra (3.9.9. Tétel), és a szabályos sokszögek szerkesztésénél lesz majd szerepük.

Két polinom közös gyökei pontosan a kitüntetett közös osztójuknak a gyökei, ami lehetővé teszi egy polinom többszörös gyökeinek meghatározását a formális deriválás módszerével (3.6.5. Tétel), mert egy k-szoros gyök a deriváltnak is legalább (ℂ fölött pontosan) k-1-szeres gyöke. Így egy f polinom többszörös gyökei pontosan (f,f') gyökei lesznek. Azt, hogy két polinomnak van-e közös gyöke, a rezultáns módszerével is eldönthetjük (3.7.3.

Tétel), ehhez egy speciális determinánst kell kiszámolni. A rezultáns segítségével egy többváltozós egyenletrendszert egyváltozós egyenletre vezethetünk vissza. Speciális esetként f és f' rezultánsának fölírásával az f többszörös gyökeinek létezését is vizsgálhatjuk, így jutunk a diszkrimináns fogalmához (3.7.6. Definíció, 3.7.5. Tétel). A diszkrimináns előjele segít a konjugált komplex gyökpárok számának vizsgálatában is (3.7.8.

Állítás).

Megmutattuk, hogyan kapható meg a Cardano-képletből egy harmadfokú egyenlet összes gyöke (3.8.1. Tétel).

Valós együtthatós egyenlet esetében a diszkrimináns pontosan akkor pozitív, ha az egyenletnek három különböző valós gyöke van (3.8.2. Tétel). A diszkrimináns a négyzetgyökjel alatti kifejezés -108-szorosa, ezért amikor a gyökök mind valósak, akkor a Cardano-képletben negatív szám áll a négyzetgyökjel alatt, és így komplex számok használatára kényszerülünk. Három valós gyök esetén más módszerrel sem lehet olyan megoldóképletet fölírni, ami az egyenlet gyökeit komplex számok használata nélkül megadná (casus irreducibilis). Végül röviden bemutattuk a negyedfokú egyenlet gyökjelekkel való megoldásának ötletét (3.8.5.

Tétel).