Többhatározatlanú polinomon olyan kifejezéseket szeretnénk érteni, amelyek az x1,...,xn határozatlanokból és valamilyen R gyűrű elemeiből épülnek föl összeadás, kivonás és szorzás segítségével. Azt gondoljuk, hogy ezek
alakban írhatók föl, ahol m1,m2,...,mn nemnegatív egészek, az rm1,m2,...,mn együtthatók pedig R-nek elemei. A polinom tagjainak a fenti összeg tagjait nevezzük (feltételezve, hogy a lehetséges összevonásokat már elvégeztük, tehát semelyik x1m
1x2m 2... xnm
n sem szerepelhet több együtthatóval). Azt szeretnénk, hogy ezeket az együtthatókat a polinom egyértelműen meghatározza. Láttuk (a 1. szakasz végén), hogy a definíciót érdemesebb úgy megalkotni, hogy a fenti „polinomot” az egyik határozatlan szerint rendezzük. Ekkor az együtthatók is polinomok lesznek, amelyekben már eggyel kevesebb a határozatlan.
2.6.1. Definíció. Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű. Az R fölötti, x1,..., xn-határozatlanú (vagy n-határozatlanú) polinomok R[x1,..., xn] gyűrűjét n szerinti indukcióval definiáljuk: ez nem más, mint (R[x1,..., x n-1])[xn]. Az indukció kezdőlépése a már ismert R[x1] polinomgyűrű.
Megjegyzés
Ebben a definícióban úgy képzeltük, hogy a polinomokat az xn határozatlan szerint rendezzük.
Eszünkbe juthatna, hogy mondjuk az x1 határozatlan szerint rendezzük őket, és akkor az R[x2,..., xn][x1] gyűrűhöz jutnánk. Ez formailag más, mint az R[x1,..., xn-1][xn] (pláne ha még a „sorozatos” precíz bevezetéshez is ragaszkodunk). De a két gyűrű mégis, a lényeget tekintve ugyanaz. (Később az ilyesmit úgy fogalmazzuk majd, hogy a két gyűrű izomorf, egymásnak megfeleltethetők az elemeik, és
„ugyanúgy” kell bennük számolni, precízen: van közöttük kölcsönösen egyértelmű, művelettartó leképezés.) Most azonban minderre még nincs szükség, mert a fenti többértelműség semmiféle gyakorlati problémát nem fog okozni.
2.6.2. Állítás. Az n-határozatlanú polinomok gyűrűje kommutatív és egységelemes. Ha R nullosztómentes, akkor R[x1,..., xn] is az, és az invertálható elemei azok a konstans polinomok, amelyek R-ben invertálhatóak.
Bizonyítás. Teljes indukcióval következik a 2.3.2. Tételből. Természetesen a konstans polinomok továbbra is R elemei, amelyeket (sőt az n-nél kevesebb határozatlanú polinomokat is) n-határozatlanú polinomoknak képzeljük. □
A fenti rx1m 1x2m
2... xnm
n tag fokátm1+...+mn-nek definiáljuk. Az f polinom fokán a benne szereplő tagok fokainak maximumát értjük. Vigyázzunk, ez nem ugyanaz, mint amikor a polinomot mondjuk xn polinomjának tekintve számítjuk ki a fokát. Például f=x2y+y3x foka 2, ha f-et x polinomjának tekintjük, 3, ha y polinomjának tekintjük, és 4 a fenti értelemben. Tehát ha fokszámról beszélünk, mindig meg kell mondanunk, milyen értelemben gondoljuk, vagyis hogy a polinomot többhatározatlanúnak, vagy egyhatározatlanúnak képzeljük (és az utóbbi esetben melyik határozatlan szerint rendezünk).
Egy polinomot homogénnek nevezünk, ha minden tagjának ugyanaz a foka. Ha f polinom, akkor gyűjtsük össze a k-adfokú tagjait, és jelöljük ezek összegét fk-val. Nyilván fk homogén polinom, és f az fk polinomok összege.
Ezért minden polinom egyértelműen felbontható homogén polinomok összegére. Az fk-t az f polinom k-adfokú homogén komponensének hívjuk.
A következő szakaszban belátjuk első komolyabb tételünket, az úgynevezett szimmetrikus polinomok alaptételét. A bizonyításhoz általánosítanunk kell a főtag fogalmát többváltozós polinomokra.
Legyen f∈ R[x1,...,xn], ennek tagjai rx1m 1x2m
2... xnm
n alakúak. A kitevők (m1,...,mn) sorozatát egy n „jegyű”
telefonszámnak képzelhetjük (az analógia annyiban sántít, hogy a „jegyek”, vagyis az mj számok akármekkorák lehetnek). Rakjuk ezeket a telefonszámokat növekvő sorrendbe a szokásos módon, és írjuk föl az f polinom
Az általános szabály tehát az, hogy először az első „jegyeket” kell sorba rakni, azután a második jegyeket, és így tovább. Hasonló elv szerint rendezzük egy lexikonban a címszavakat is (ábécé sorrendben), és ezért ennek a sorrendnek lexikografikus rendezés a neve.
2.6.4. Definíció. Legyenek r és s nem nulla elemei az R szokásos gyűrűnek. Azt mondjuk, hogy a P=rx1m 1x2m
A lexikografikus rendezés szoros kapcsolatban van azzal, ahogy polinomjainkat indukcióval definiáltuk. A kapcsolatot a következő gyakorlat írja le. Ez az összefüggés magyarázza, hogy a lexikografikus rendezést a fokszám valamiféle általánosításának, finomításának tekinthetjük.
2.6.5. Gyakorlat. Ha adott egy f∈ R[x1,...,xn] polinom, akkor rendezzük x1 hatványai szerint (és írjuk is le a konstans taggal kezdve, fokszám szerint növekvő sorrendben). Az együtthatók R[x2,...,xn] elemei lesznek, ezeket
rendezzük x2 hatványai szerint. A kapott együtthatókat x3 hatványai szerint. És így tovább, végül „legbelül” xn
hatványai szerint rendezünk. Mutassuk meg, hogy ha a zárójeleket kibontjuk, de a sorrendet nem változtatjuk meg, akkor f tagjai lexikografikusan növekvő sorrendben lesznek.
Ha két egyhatározatlanú polinomot összeszorzunk, akkor a szorzat főtagja a két polinom főtagjainak szorzata lesz. Ezt az állítást most többhatározatlanú polinomokra is általánosítjuk. Egy n-határozatlanú polinom (lexikografikus értelemben vett) főtagján a nem nulla tagjai közül azt értjük, ami a lexikografikus értelemben a legnagyobb. Például az imént vizsgált (2.3)-beli f polinom főtagja -ix12x3. A következő lemma segít meghatározni a szorzatpolinom főtagját.
2.6.6. Lemma. Legyenek P', P, Q', Q egytagú, n-határozatlanú polinomok, melyeknek az együtthatója 1.
Tegyük föl, hogy P'≼ P és Q'≼ Q teljesül. Ekkor P'Q'≼ PQ. Ha itt egyenlőség áll, akkor P'=P és Q'=Q.
Bizonyítás. Legyen
Ekkor
Arra vagyunk kíváncsiak, hogy hol tér el először ez a két kitevősorozat.
Nézzük meg először azt az egyszerű esetet, amikor P'=P. Ha Q'=Q, akkor nyilván P'Q'=PQ. Ha Q'≠ Q, akkor jelölje j azt az indexet, ahol Q' és Q kitevősorozata először eltér: ki'=ki ha i<j, de Q'≺ Q miatt kj'<kj. Tudjuk, hogy P'=P, ezért minden i-re mi'=mi. Tehát a P'Q' és a PQ kitevősorozata is a j-edik helyen tér el először:
mi'+ki'=mi+ki ha i<j, viszont mj'+kj'<mj+kj. Ezért P'Q'≺ PQ.
Ha az előző bekezdés gondolatmenetében fölcseréljük a P-t Q-val és a P'-t Q'-vel, akkor az adódik, hogy P'≺ P és Q'=Q esetén is P'Q'≺ PQ. Tehát már csak akkor kell bizonyítanunk az állítást, amikor P'≺ P és Q'≺ Q.
Ebben az esetben azt állítjuk, hogy P'Q' és PQ kitevősorozata ott fog először eltérni, ahol előbb van eltérés P és P', illetve Q és Q' sorozata között. Valóban, legyen j az az index, ahol P sorozata először eltér P' sorozatától, és ℓ az az index, ahol Q' sorozata először eltér Q sorozatától. Feltehetjük, hogy j≤ ℓ (vagyis hogy P' előbb kezd eltérni P-től, mint Q' a Q-tól), hiszen ellenkező esetben megcserélhetjük P-t Q-val és P'-t Q'-vel. Nyilván i<j esetén mi'=mi és ki'=ki, tehát ilyenkor mi'+ki'=mi+ki. Mivel P'≺ P, tudjuk, hogy mj'<mj. Ugyanakkor j<ℓ esetén kj'=kj, ha pedig j=ℓ, akkor kj'<kj. Mindkét esetben azt kapjuk, hogy mj'+kj'<mj+kj. Tehát tényleg P'Q'≺ PQ. □ 2.6.7. Következmény. Ha R nullosztómentes, és f,g∈ R[x1,..., xn], akkor fg főtagja az f és g főtagjainak szorzata.
Így újabb bizonyítást kaptunk arra, hogy R[x1,..., xn] nullosztómentes.
Bizonyítás. Legyen az f főtagja rP és a g főtagja sQ, ahol r és s az R gyűrű nem nulla elemei. Amikor f-et és g-t összeszorozzuk, akkor f egy tetszőleges r'P' tagját megszorozzuk g egy tetszőleges s'Q' tagjával, majd összevonjuk azokat a tagokat, amelyek csak az együtthatójukban különböznek. Nyilván P'≼ P és Q'≼ Q. Az előző lemma szerint P'Q'≼ PQ, vagyis a szorzatpolinomban rsPQ-nál lexikografikusan nagyobb tag nem keletkezhet. Azt kell még megnéznünk, hogy az összevonások során nem eshet-e ki az rsPQ tag. A lemma szerint azonban P'Q'≺ PQ, kivéve ha P'=P és Q'=Q. Ezért rsPQ semmivel sem vonható össze, és így nem is tud kiesni. Az R nullosztómentessége miatt rs≠ 0, és így fg főtagja tényleg f és g főtagjainak szorzata. □
A főtagok az összeadásra is hasonlóan viselkednek, mint az egyváltozós polinomoknál. Ha két polinom főtagja nem csak együtthatójában tér el, akkor összegüknek a főtagja a két főtag közül a lexikografikus értelemben nagyobbik lesz. Ha viszont a két főtag csak az együtthatóban tér el, akkor az összeg főtagját ezekből összevonással kapjuk, kivéve, ha ez a tag kiesik, ilyenkor a főtag lexikografikusan csökken, sőt akár a nullapolinom is lehet az eredmény (aminek nincs is főtagja).
Gondolkodjunk!
2.6.8. Gyakorlat. Az alábbi p(x1,x2,x3,x4) polinomot bontsuk föl homogén polinomok összegére, ezeket rendezzük lexikografikusan, és állapítsuk meg a p7 polinomban egyrészt a lexikografikusan legnagyobb tagot, másrészt a legnagyobb fokú tagok közül a lexikografikusan legnagyobb tagot.
2.6.9. Gyakorlat. Definiáljuk egy n-változós polinomhoz tartozó n-változós polinomfüggvény fogalmát, és mutassuk meg, hogy ha f,g∈ R[x1,...,xn] és , akkor
Általánosítsuk a pontonkénti műveletek 2.4.3. Definícióját többváltozós függvényekre is, és igazoljuk, hogy a 2.4.28. Gyakorlat állításai érvényben maradnak többváltozós polinomokra. Általánosítsuk a 2.4.30. Gyakorlat állítását is.
2.6.10. Feladat. Igaz-e végtelen, szokásos gyűrű fölött a többváltozós polinomok azonossági tétele (vagyis hogy a polinomfüggvény egyértelműen meghatározza a polinomot)?
2.6.11. Feladat. Általánosítsuk az interpolációt többhatározatlanú polinomokra. Mutassuk meg, hogy véges test esetében minden véges sok változós függvény polinomfüggvény.