1. Példák szimmetriacsoportokra
4.1.13. Állítás. A sík egybevágósági transzformációi a következők
1. Az identitás: minden pont fixpont.
2. A nem identikus eltolások: nincs fixpontjuk.
3. A nem identikus forgatások: egyetlen fixpontjuk a forgáscentrum.
4. Tengelyes tükrözések: a fixpontok halmaza a tengely.
5. Csúsztatva tükrözések (egy tengelyre tükrözünk, utána a tengellyel párhuzamosan eltolunk): fixpontjuk nincs, azaz fixpontmentesek.
Az eltolások és a forgatások mozgások, a tükrözések és a csúsztatva tükrözések nem. Minden egybevágóság előáll legfeljebb három tükrözés szorzataként.
4.1.14. Definíció. Ha P egy pont a síkon, akkor a P-t fixáló egybevágósági transzformációk (azaz a P körüli forgatások, és a P ponton átmenő tengelyre való tükrözések) csoportját O(2) jelöli. Ezen belül a forgatások (azaz a mozgások) részcsoportjának jele SO(2).
Az előző definícióban szereplő csoportok felfoghatók úgy is, mint tetszőleges P körüli körvonal szimmetriacsoportjai. A kétféle csoport két különböző szimmetriafogalomnak felel meg (egybevágóság, illetve mozgás).
4.1.15. Gyakorlat. Legyenek f és g transzformációk. Milyen kapcsolatban állnak f és gfg-1 fixpontjai?
4.1.16. Gyakorlat. Legyen r a eltolás a síkon. Igazoljuk, hogy ha g tetszőleges egybevágóság, akkor grg-1
a eltolás.
4.1.17. Gyakorlat. Legyen t az e egyenesre való tükrözés. Igazoljuk, hogy ha g tetszőleges egybevágóság, akkor gtg-1 a g(e) egyenesre való tükrözés.
4.1.18. Gyakorlat. Legyen f a P pont körüli α szögű forgatás a síkon. Igazoljuk, hogy ha g tetszőleges egybevágóság, akkor gfg-1 forgatás g(P) körül, mégpedig α szöggel, ha g mozgás, és -α szöggel egyébként.
4.1.19. Definíció. Legyen G csoport és g∈ G rögzített elem. A gxg-1 szorzatot az x elem g-vel vett konjugáltjának nevezzük. Az a θg:G→ G leképezés, amely minden x elemhez gxg-1-et rendel, a g elemmel való konjugálás.
Megjegyzés
Ha a kompozíciót balról jobbra végezzük el, akkor a konjugálást a g-1xg képlettel érdemes definiálni.
Az eddigi példákból már láthatjuk, hogy a konjugált valójában „ugyanaz” a transzformáció, csak
„másutt” működik. A g konjugáló elem az a leképezés, ami az egyik nézőpontot a másik nézőpontba
„viszi”. A lineáris algebrában tanult bázistranszformáció képlete szintén konjugálás.
A geometriai gondolatmenetek helyett komplex számokkal is számolhattunk volna. A w vektorral (azaz komplex számmal) való eltolás az r(z)=z+w függvény. Az origó körüli α szögű forgatást az f(z)=ε z adja meg, ahol ε= cos α+i sin α. Ha az origó helyett a w pont körül akarunk forgatni, akkor a z↦ ε(z-w)+w képletet kell használnunk az 1.4.11. Gyakorlat (6) pontja szerint. E gyakorlat megoldását az 1.4. ábrán szemléltettük. Ennek a képletnek a levezetésekor tehát az origó körüli α szögű forgatást konjugáltuk a w vektorral való eltolással (melynek inverze a -w vektorral való eltolás). Az alábbi gyakorlatokat komplex számokkal a legkényelmesebb megoldani.
4.1.20. Gyakorlat. Igaz-e, hogy minden forgatás fölírható úgy, hogy egy origó körüli forgatás után egy eltolást alkalmazunk?
4.1.21. Gyakorlat. Írjuk föl komplex számok segítségével két forgatás kompozícióját. Mikor forgatás az eredmény, és amikor az, akkor melyik pont körül?
Vegyünk most egy szabályos n-szöget (n≥ 3), amelynek középpontja P. Ennek szimmetriái a P pont körüli n darab forgatás a 2π/n egész többszöröseivel (ide értve az identikus leképezést is), továbbá n darab tengelyes tükrözés. (Ha n páratlan, akkor mind az n tükrözés oldalfelező merőlegesre történik. Ha n páros, akkor a tükrözések fele történik oldalfelező merőlegesre, a másik fele pedig szemközti csúcsokon átmenő átlókra.) A 4.5.10. Gyakorlatban visszatérünk arra a kérdésre, hogy miért csak ez a 2n darab szimmetria van.
4.1.22. Definíció. Egy szabályos n-szög szimmetriacsoportját n-edfokú diédercsoportnak nevezzük, és Dn-nel jelöljük.
Az alábbi állítás lehetővé teszi, hogy a Dn csoportban gyorsan tudjunk számolni anélkül, hogy mindig vissza kelljen térni a transzformációk jelentéséhez.
4.1.23. Állítás. Jelöljön f egy szabályos n-szög középpontja körüli 2π/n szögű forgatást, t pedig legyen a sokszög tetszőleges tengelyes szimmetriája. Ekkor a Dn összes eleme
és érvényesek az
összefüggések (ahol 1 az identitást jelöli). Ezért a szorzás szabálya a következő:
ahol az f kitevőjében a + és a - jelek a mod n műveleteket jelentik. A tfi elemek mindegyikének önmaga az inverze.
Bizonyítás. Nyilván fj a 2π j/n szögű forgatás. Ezért az fn=1=t2 összefüggés nyilvánvaló, és az is, hogy f hatványai n különböző forgatást adnak (az identitást is beleértve). Az fit elem tengelyes tükrözés a 4.1.10 Gyakorlat szerint. Ezek is különbözők, mert ha fit=fjt teljesülne, akkor jobbról t inverzével szorozva fi=fj adódna.
Így mind a 2n elemet megkaptuk.
Megjegyzés
Azt, hogy az fit elem tengelyes tükrözés, másképp is beláthatjuk. Ha fit forgatás lenne, azaz fit=fj, akkor innen f-i-vel balról szorozva t=fi-j következne, ami ellentmondás, mert t nem forgatás. Még egyszerűbb arra hivatkozni, hogy fi mozgás, t nem, és így a kompozíciójuk sem mozgás.
Mivel fit tükrözés, (fit)(fit)=1. Innen f-i-vel jobbról szorozva a kívánt tfit-1=f-i összefüggés adódik, hiszen t=t-1. (Ugyanezt megkaphattuk volna a 4.1.18. Gyakorlatból is.) Ebből már könnyen levezethető az állításban szereplő többi szorzási szabály. □
Az elemi geometriai bizonyításokat már három dimenzióban is nehéz jól lerajzolni, áttekinteni. A fizikában ennél magasabb dimenziók is előkerülnek. Például az időkoordináta lehet a negyedik dimenzió a relativitáselméletben. Az elemi mechanikában egy labda pillanatnyi állapotát kilenc számmal adhatjuk meg: a három hely-koordináta mellett három sebesség-koordinátára és három „forgást” leíró koordinátára is szükség van (vagyis a „dimenzió” ebben az esetben kilenc lesz). Ilyenkor a transzformációk vizsgálatában a lineáris algebra segít ki bennünket. Az alábbiakat azoknak az Olvasóinknak szánjuk, akik ennek alapjaival már tisztában vannak.
Vegyünk föl egy koordinátarendszert a síkon vagy a térben, és jelölje O az origót. A P pontot azonosíthatjuk az vektorral, azaz a sík vagy a tér pontjait helyvektoroknak képzelhetjük, és így értelmessé válik két pont
„összege”, továbbá egy pont „valós skalárszorosa” (mindezt már láttuk a komplex számok esetében is). Elemi geometriai eszközökkel könnyű megmutatni, hogy ha f olyan egybevágósági (sőt akár hasonlósági) transzformáció, amely az O pontot önmagába viszi, akkor flineáris, azaz tartja a vektorok összeadását, és skalárral szorzását. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges P, Q pontokra és λ∈ ℝ skalárra
Ezért ha a [P] oszlopvektorba beírjuk P koordinátáit, akkor minden f-hez egyértelműen tartozik egy [f] mátrix úgy, hogy [f(P)]=[f][P]. A mátrixok szorzását úgy definiáljuk, hogy
(4.1) teljesüljön, azaz transzformációk kompozíciójának mátrixok szorzása felel meg. Így a kompozíció kiszámítását mátrixok szorzására vezethetjük vissza.
Ha az f transzformáció nem fixálja az O origót, akkor legyen W=f(O), és r az az eltolás, amely O-t W-be viszi.
Ekkor g=r-1f már fixálja az origót, és ezért lineáris leképezés. Innen f=rg, azaz f(P)=g(P)+W. Vagyis a lineáris algebrában megszokott műveletek (mátrixszorzás, vektor-összeadás) alkalmasak az egybevágósági transzformációk leírására.
Egy T test fölötti n× n-es mátrixok egységelemes gyűrűt alkotnak, melynek invertálható elemei a nem nulla determinánsú mátrixok (D.5.1. Tétel). Elsőként e gyűrű multiplikatív csoportját kereszteljük el.
4.1.24. Definíció. Legyen T test és n≥ 1 egész. Ekkor a T fölötti n× n-es invertálható mátrixok csoportját a szorzásra általános lineáris csoportnak nevezzük, és GL(n, T)-vel jelöljük. Azok a mátrixok, melyek determinánsa 1 (vagyis T egységeleme), részcsoportot alkotnak GL(n, T)-ben. Ennek neve speciális lineáris csoport, jele SL(n, T).
Az SL(n, T) tényleg részcsoport, hiszen az egységmátrix determinánsa 1, és a determinánsok szorzástétele miatt 1 determinánsú mátrixok szorzata és inverze is 1 determinánsú. A G és L betűk a General Linear group, az S és L betűk a Special Linear group angol elnevezésből származnak.
4.1.25. Definíció. Legyen T test, n≥ 1 egész, és tekintsük az
leképezéseket a Tn halmazon (az M tehát tetszőleges, n× n-es invertálható mátrix). Ezek csoportját a kompozícióra affin csoportnak hívjuk, elemeik az affin transzformációk.
A sík és a tér egybevágósági transzformációi tehát az AGL(n,ℝ) csoport elemeinek tekinthetők, ha n=2, illetve 3. Az AGL(1,T) csoport az x↦ ax+b leképezésekből áll, ahol a≠ 0 és b a T test elemei (vagyis ezek pontosan az elsőfokú polinomokhoz tartozó polinomfüggvények, a csoportművelet közöttük a kompozíció).
Az ℝn térben az (x1,..., xn) és (y1,..., yn) pontok távolságát a
képlettel definiáljuk, ezzel ℝneuklideszi térré válik. Egy n× n-es valós mátrixot ortogonálisnak nevezünk, ha az inverze megegyezik a transzponáltjával. Meg lehet mutatni, hogy az ezekhez tartozó lineáris transzformációk
pontosan azok, amelyek megtartják a fenti távolságot. Komplex fölött analóg módon unitér mátrixokról beszélünk, amelyek inverze a transzponáltjuk komplex konjugáltja.
4.1.26. Definíció. Legyen n≥ 1 egész. Ekkor O(n) jelöli GL(n, ℝ)-nek az ortogonális mátrixokból álló részcsoportját. Ezek között részcsoportot alkotnak azok, melyeknek a determinánsa 1, ennek jele SO(n).
Hasonlóképpen U(n) a GL(n, ℂ)-nek az unitér mátrixokból álló részcsoportja, SU(n) pedig az 1 determinánsú unitér mátrixokból álló részcsoport.
Nem nehéz belátni, hogy egy ortogonális transzformáció determinánsa csak 1 vagy -1 lehet (az unitér transzformációk determinánsa 1 abszolút értékű). Ezért úgy képzelhetjük, hogy az O(n) csoport „két darabból áll”: az egyikben az 1 determinánsú, a másikban a -1 determinánsú mátrixok vannak. Az 1 determinánsú mátrixokhoz, vagyis az SO(n) elemeihez az ℝnmozgásai tartoznak.
Vajon a most bevezetett jelölések összhangban állnak-e azokkal, amelyeket a kör szimmetriáinak vizsgálatakor használtunk a 4.1.14. Definícióban? Például az SO(2) egyaránt jelöli az origó körüli forgatások csoportját a kompozícióra, és a 2× 2-es, 1 determinánsú, ortogonális mátrixok csoportját a szorzásra. Ez ugyan két különböző csoport, de „egyformák”. Valóban, minden ilyen M mátrixnak megfeleltethetjük azt a θ(M) transzformációt a síkon, amely a v vektorhoz Mv-t rendeli. Ez egy origó körüli forgatás lesz, és minden forgatást meg is kapunk egy alkalmas mátrixból. Tehát θ bijekció a mátrixok és a forgatások halmaza között, ami művelettartó is (2.2.34. Definíció): a
összefüggést már átismételtük (a (4.1) képlettel). Mindezt a későbbiekben úgy fogjuk fogalmazni, hogy az SO(2)-beli mátrixok csoportja, és az origót fixáló forgatások csoportja izomorf (azaz „teljesen egyforma”). Ezért kapták ugyanazt a jelölést. Az izomorfizmus fogalmát precízen a 3. szakaszban tárgyaljuk.
4.1.27. Gyakorlat. Izomorf-e U(1) az SO(2) csoporttal?
Az O(3) csoportot felfoghatjuk úgy, mint a térben az origót fixáló egybevágósági transzformációk csoportját, azaz egy O középpontú gömb szimmetriacsoportját, ebben SO(3) a mozgások alkotta részcsoport. Például egy síkra tükrözés eleme O(3)-nak, de nem mozgás. Két síkra tükrözés kompozíciója a két sík metszésvonala körüli forgatás lesz.
4.1.28. Gyakorlat. Írjuk föl egy egyenes körüli α szögű térbeli forgatás mátrixát alkalmas bázisban, és mutassuk meg, hogy a determinánsa 1, vagyis mozgást kaptunk. Számítsuk ki a (komplex) sajátértékeket is.