Következmény. Egy direkt szorzat exponense a tényezők exponenseinek legkisebb közös többszöröse

4.9.7. Következmény. A G és H véges csoportok direkt szorzata akkor és csak akkor ciklikus, ha G és H egymáshoz relatív prím rendű ciklikus csoportok.

Bizonyítás. Legyen |G|=n és |H|=m. Ha g generálja G-t és h generálja H-t, akkor a (g,h) rendje az [n,m]

legkisebb közös többszörös. Ha n és m relatív prímek, akkor ez egyenlő nm-el (lásd 3.1.31. Gyakorlat), tehát a G× H rendjével. Ezért ekkor (g,h) generálja a direkt szorzatot, és így az ciklikus.

Megfordítva, tegyük föl, hogy G× H ciklikus, és legyen (g,h) egy generátorelem, vagyis aminek a rendje mn.

Lagrange tétele miatt g rendje osztója n-nek, h rendje pedig m-nek. Tehát (g,h) rendje [o(g),o(h)]∣ [m,n]. Innen mn∣ [m,n], ami csak úgy lehetséges, hogy m és n relatív prímek. Ekkor o(g) és o(h) is azok, tehát (g,h) rendje o(g)o(h)=mn. Ezért o(g)=n és o(h)=m, vagyis G és H is ciklikus csoportok. □

4.9.8. Következmény. Ha m és n relatív prímek, akkor ℤn+×ℤm+≅ℤnm+.

Nevezetes számelméleti tény, hogy ennek a gyakorlatnak az állítása a multiplikatív csoportokra is igaz.

4.9.9. Következmény. Ha m és n relatív prímek, akkor ℤn××ℤm×≅ℤnm×.

Bizonyítás. Az állítás az D.4.4. Tétel átfogalmazása, hiszen az ottani képlet azt fejezi ki, hogy a g megfeleltetés szorzattartó. □

Ennek az észrevételnek van egy nagyon érdekes számelméleti következménye. Emlékezzünk rá, hogy a ℤn×

csoport generátorelemeit (ha van ilyen, azaz ha ez a csoport ciklikus, akkor) primitív gyöknek neveztük modulo n.

4.9.10. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha modulo k létezik primitív gyök, akkor k vagy prímhatvány, vagy egy prímhatvány kétszerese.

További vizsgálatokkal igazolható, hogy akkor és csak akkor létezik primitív gyök modulo n, ha n=1, 2, 4, vagy egy páratlan prímhatvány, vagy annak kétszerese. Ez a 4.3.22. Tétel általánosítása.

Megjegyzés

Ha egy csoportról sikerül belátni, hogy direkt szorzat, akkor ez nagyon jó hír, mert a szerkezetét sikerült kisebb (és ezért remélhetőleg egyszerűbb) csoportokéra visszavezetni. Tehát szeretnénk tudni, hogyan lehet felismerni, hogy egy csoport izomorf-e egy direkt szorzattal.

Ehhez kanyarodjunk vissza a lineáris algebrához. A V vektorteret az U és W alterek direkt összegének neveztük, ha U+W=V és U∩ W={0}. Ezek a feltételek azt garantálják, hogy V minden v eleme egyértelműen fölírható u+w alakban, ahol u∈ U és w∈ W. Azaz V elemei kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésben állnak az (u,w) párokkal. Könnyű látni, hogy ha a vektortér-műveleteket ezekre a párokra komponensenként értelmezzük, akkor ez a megfeleltetés művelettartó is.

Legyen G=A× B direkt szorzat. Ekkor az a π1:G→ A leképezés, amely az (a,b) párt a-ba viszi, nyilván szürjektív homomorfizmus, hiszen a műveleteket komponensenként végezzük. E homomorfizmus magja tehát normálosztó, amely azokból az (a,b) párokból áll, amelyre a=1A. Másképp fogalmazva a B^*={(1A,b) : b∈ B}

normálosztóról van szó. Azért írtunk B^*-ot, mert ez a csoport nyilvánvalóan B-vel izomorf. A homomorfizmustétel miatt G/B^*≅ A. A π1 és π2 homomorfizmusok neve projekció (magyarul vetítés).

4.9.11. Állítás. Tegyük föl, hogy G=A× B, ahol A és B tetszőleges csoportok. Tekintsük az

halmazokat. Ekkor

Bizonyítás. Csak annak a megmutatása maradt hátra, hogy A^*∩ B^*={1G} és A^*B^*=G. Ha (a,b)∈ A^*∩ B^*, akkor (a,b)∈ A^* miatt b=1B, és (a,b)∈ B^* miatt a=1A. Tehát (a,b)=1G. Ha (a,b)∈ G tetszőleges elem, akkor (a,b)=(a,1B)(1A,b)∈ A^*B^*. □

Miként lineáris algebrában is, a felsorolt tulajdonságoknak a megléte már elegendő ahhoz, hogy direkt szorzatot kapjunk.

4.9.12. Tétel. Legyen G csoport, és tegyük föl, hogy G-ben van két normálosztó, A és B úgy, hogy A∩ B={1}

és AB=G. Ekkor G≅ A× B.

Bizonyítás. A feltétel szerint G minden eleme előáll ab alakban, ahol a∈ A és b∈ B. Ez az előállítás egyértelmű is, ha ugyanis ab=a'b', ahol a'∈ A és b'∈ B, akkor átrendezéssel azt kapjuk, hogy

Itt a bal oldal A-nak, a jobb oldal B-nek eleme. Tehát ez az elem A∩ B-ben van, vagyis a feltétel szerint az egységelem. De ha {a'}^-1a=1, akkor, hogy a=a', és hasonlóan kapjuk, hogy b=b'.

Ezzel beláttuk, hogy az a θ leképezés, melyet a képlet definiál, bijekció az A× B és G között.

Még azt kell megmutatnunk, hogy θ szorzattartó. Ez a bizonyítás egyetlen nemtriviális lépése, de a munkát már elvégeztük a 4.8.25. Gyakorlatban, ahol beláttuk, hogy A∩ B={1} miatt A minden eleme fölcserélhető B minden elemével. Ha tehát a,a'∈ A és b,b'∈ B, akkor a'b=ba', és ezért

amivel az állítást beláttuk. □

Ha az előző tételben nem tesszük fel, hogy AB=G, akkor a fenti bizonyításból az adódik, hogy AB (ami normálosztó, lásd 4.8.21. Állítás) izomorf A és B direkt szorzatával. Véges G csoport esetén az AB=G feltételt helyettesíthetjük azzal, hogy |A|⋅ |B|=|G| (a 4.4.31. Feladat miatt).

Megjegyzés

Korábban már beszéltünk arról, hogy egy G csoportot megpróbálhatunk összerakni egy A normálosztóból és a G/A faktorcsoportból. A direkt szorzat a legegyszerűbb ilyen összerakási módszer, hiszen G=A× B-ben van egy A-val izomorf normálosztó, amely szerinti faktor B-vel izomorf. Szó sincs azonban arról, hogy a G csoportot csak így lehetne összerakni A-ból és G/A-ból. Például ha G=ℤ4+ és A={0,2}, akkor A is és G/A is a kételemű ciklikus csoport, de G nem izomorf ezek direkt szorzatával, mert G-ben csak egy darab kételemű részcsoport van. De ha van is G-ben olyan B részcsoport, melyre AB=G és A∩ B={1}, vagyis ha az előző tétel összes feltétele teljesül, kivéve hogy B normálosztó, abból még mindig nem következik, hogy G≅ A× B. Erre a szakasz végén vizsgálunk meg egy példát, amely elvezet majd bennünket a direkt szorzat fogalmának egy általánosításához.

4.9.13. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy a gömb szimmetriacsoportja, azaz O(3) izomorf az SO(3) és a ℤ2+

csoportok direkt szorzatával.

A több (de véges sok) tényezős direkt szorzatot is jellemezhetjük normálosztók segítségével a 4.9.12. Tétel általánosításaként.

4.9.14. Gyakorlat. Legyen Gi* a G=G1×...× Gn direkt szorzat azon elemeinek a halmaza, melyek i-edik komponense tetszőleges eleme Gi-nek, a többi komponensben pedig a megfelelő csoport egységeleme áll.

Igazoljuk, hogy Gi* a Gi-vel izomorf normálosztója a G direkt szorzatnak, és hogy a Gi* normálosztók teljesítik a következő tulajdonságokat:

1. szorzatuk az egész G csoport;

2. bárhogy is veszünk n-1 darabot közülük, ezek szorzatának és a kimaradónak a metszete csak az egységelemből áll.

Megfordítva, mutassuk meg, hogy az ilyen tulajdonságú normálosztók direkt szorzatra való felbontást adnak.

Megjegyzés

Külön is felhívjuk a figyelmet arra, hogy a feltétel nem úgy szól, hogy bármely két Gi* metszete egyelemű. A vektorterekhez visszatérve, vegyünk a síkon három, origón átmenő egyenest. Ezek összege a sík, bármely kettő metszete nulla, mégsem igaz, hogy a sík ennek a három egyenesnek a direkt összege lenne, hiszen három egyenes direkt összege biztosan háromdimenziós. A teret viszont felbonthatjuk három egyenes direkt összegére, például a három koordináta-tengely segítségével, és itt valóban igaz, hogy bármely két tengely által kifeszített sík nullában metszi a harmadik tengelyt.

4.9.15. Tétel. [A véges Abel-csoportok alaptétele] Minden véges Abel-csoport felbontható prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatára. A felbontásban szereplő tényezők rendjei a sorrendtől eltekintve egyértelműen meghatározottak. Ez azt jelenti, hogy ha a G csoportot kétféleképpen felbontottuk prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatára, akkor bárhogy is veszünk egy q prímhatványt, a q elemszámú tényezők száma mindkét felbontásban ugyanannyi lesz.

Ha a csoport maga prímhatványrendű ciklikus, akkor a direkt felbontása természetesen csak egy tényezőből áll.

Ezt a tételt csak később, és jóval általánosabban bizonyítjuk be (7.4.1. Tétel). A felbontás létezése a 4.9.39.

Feladatból is következik.

Például legyen G rendje 24. Ekkor a lehetséges tényezők rendjei éppen a 24 szám prímhatványosztói, azaz 2,4,8,3. Ilyen elemszámú tényezőkből kell a 24-et kikombinálni. A lehetőségek tehát a következők:

Ezek szerint izomorfia erejéig 3 darab 24 rendű Abel-csoport van.

Végezetül általánosítjuk a direkt szorzat fogalmát. A 4.9.12. Tétel bizonyításában nem hagyható el az a feltétel, hogy A és B mindketten normálosztók legyenek. Például legyen G=S3, A={id, (123), (132)} és B={id,(12)}.

Ekkor A× B a hatodrendű ciklikus csoport lesz, és nem az S3. A problémát az okozza, hogy bár az A normálosztó G-ben, a B nem az.

4.9.16. Definíció. Tegyük föl, hogy a G csoportban N normálosztó, H pedig részcsoport úgy, hogy NH=G és N∩ H={1}. Az ilyen H részcsoportot az Nkomplementumának nevezzük.

4.9.17. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha H komplementuma a G csoport N normálosztójának, akkor H≅ G/N.

Mi az a többletinformáció az N és H szerkezetén kívül, ami a G csoportot már meghatározza? Mivel G=NH, a G elemei nh alakban írhatók, ahol n∈ N és h∈ H. Két ilyen elem szorzatát a következőképpen számíthatjuk ki:

A h1n2h1-1 elem az n2-nek a h1-gyel vett konjugáltja, vagyis N-beli. Ezért az N és H szorzástábláján kívül még azt kell tudnunk, hogy hogyan hat konjugálással a H részcsoport az N normálosztón. A h1n2h1-1 elemek táblázatos felsorolása helyett érdemes észrevenni a következőket.

4.9.18. Gyakorlat. Legyen N normálosztó, H részcsoport a G csoportban, és jelölje

a h elemmel való konjugálást N-en. Igazoljuk, hogy θh egy (nem feltétlenül belső) automorfizmusa N-nek, és a θ:h↦ θh leképezés homomorfizmus H-ból N automorfizmus-csoportjába.

4.9.19. Gyakorlat. Legyen P egy pont a síkon, H az E(2) csoportban a P stabilizátora, N pedig az eltolásokból álló normálosztó. A 4.8.39. Gyakorlatban (lényegében) beláttuk, hogy NH=G és N∩ H={id}. Mi a H hatása N-en, vagyis az előző gyakorlatban szereplő θ:H→Aut(N) homomorfizmus?

Most már nincs más dolgunk, mint megfordítani az eddigieket: N-ből, H-ból és θ-ből megkonstruálni G elemeit és szorzását. Technikai megjegyzés, hogy az nh elem helyett (n,h)-t fogunk írni, hasonlóan ahhoz, ahogy a komplex számok precíz bevezetésénél a+bi helyett (a,b)-t írtunk.

4.9.20. Definíció. Legyenek N, H csoportok, és ψ:H→Aut(N) tetszőleges homomorfizmus. Definiáljuk a G csoportot úgy, hogy elemei az (n,h) rendezett párok (n∈ N, h∈ H), a szorzás pedig

A kapott csoportot N és Hszemidirekt szorzatának nevezzük, és N⋊ψ H-val jelöljük (az indexben lévő ψ-t néha elhagyva).

Megjegyzés

Ha a leképezéseket jobbról írnánk, akkor az előző definícióban szereplő képletek is módosulnának. A részletek kidolgozását az Olvasóra hagyjuk.