7. Homomorfizmusok és normálosztók
4.7.19. Állítás. Tetszőleges csoportban minden kettő indexű részcsoport normálosztó
Bizonyítás. Ha |G:N|=2, akkor G-nek két bal oldali mellékosztálya van N szerint. Az egyik N, a másik tehát N komplementuma, azaz G-N. Ugyanez azonban a jobb oldali mellékosztályokra is igaz. Tehát a bal oldali és a jobb oldali mellékosztályok halmaza is {N,G-N}. Ezért N⊲ G. □
Megjegyzés
Az előző állítás általánosításaként, ha egy csoportban van „kis” indexű részcsoport, akkor „hajlamos”
rá, hogy kis indexű normálosztót is tartalmazzon, lásd a 4.12.42, a 4.13.29. és a 4.12.48. Feladatokat.
A faktorcsoportban a műveletet az osztályok elemeivel (reprezentánsokkal) végezzük el. Például legyen G=ℤ36
×
és N ebben a 13 által generált részcsoport. Ez normálosztó is, hiszen G kommutatív. Mivel 13*36 13=25 és 13*36
25=1, ezért 13 rendje három, és így N={1,13,25}. Hasonlóan kiszámolható, hogy az 5 elem rendje G-ben 6.
Mi lesz a G/N faktorcsoport 5N elemének a négyzete? A szorzás szabálya szerint ez a 25N mellékosztály. De 25∈ N, és így 5N négyzete az egységelem. Mivel 5 nincs benne N-ben, ezért 5N maga nem az egységelem, és így az 5N elem rendje a G/N faktorcsoportban kettő.
4.7.20. Állítás. Legyen N⊲ G és g∈ G. Ekkor a gN∈ G/N elem rendje a legkisebb olyan pozitív n egész, melyre gn∈ N, és végtelen, ha ilyen n nem létezik.
Bizonyítás. A k egész pontosan akkor jó kitevője a gN mellékosztálynak, ha (gN)k=N (a G/N csoport egységeleme). De (gN)k=gkN (a szorzásnál minden tényezőből a g elemet választva reprezentánsként). Tehát k akkor és csak akkor jó kitevő, ha gkN=N, azaz ha gk∈ N. Mivel a rend a legkisebb pozitív jó kitevő, az állítást beláttuk. □
Megjegyzés
A szakasz hátralévő részében megvizsgáljuk, mik lesznek a faktorcsoport részcsoportjai, normálosztói, faktorcsoportjai. Ez a rész kicsit nehezebb az eddigieknél, első olvasásra talán érdemes átugrani.
A G/N faktorcsoport a G csoport képe a természetes homomorfizmusnál. Kényelmesebb lesz a faktorcsoport helyett általában egy szürjektív homomorfizmusra gondolni.
4.7.21. Definíció. Tegyük föl, hogy θ:G→ H két halmaz közötti függvény, és L⊆ H. Ekkor az L részhalmaz teljes inverz képe azokból a G-beli elemekből áll, amelyek képe L-ben van. Képletben:
Ha K⊆ G, akkor a θ függvény K-ra való leszűkítése (vagy megszorítása) az a ψ:K→ H függvény, melynek értelmezési tartománya K, de különben ugyanúgy működik, mint a θ (azaz ψ(k)=θ(k) minden k∈ K-ra).
4.7.22. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy csoporthomomorfizmusnál részcsoport teljes inverz képe is részcsoport, ami a homomorfizmus magját tartalmazza.
4.7.23. Gyakorlat. Legyen N normálosztó, K pedig részcsoport a G csoportban. Mutassuk meg, hogy az N és a K által generált részcsoport NK.
4.7.24. Tétel. Legyen θ:G→ H szürjektív csoporthomomorfizmus, melynek magja N. Ekkor a következő állítások teljesülnek.
1. Ha K részcsoportja G-nek, akkor θ(K) részcsoportja H-nak, melynek teljes inverz képe G-ben a KN=NK részcsoport.
2. A H részcsoportjai kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésben állnak a G azon részcsoportjaival, amelyek N-et tartalmazzák. Egy L≤ H részcsoporthoz a K=θ-1(L) teljes inverz kép tartozik.
Legyenek K és L ebben az értelemben egymásnak megfelelő részcsoportok.
3. Ha g∈ G, és θ(g)=h, akkor a hL (illetve Lh) mellékosztály teljes inverz képe G-ben a gK (illetve a Kg) mellékosztály. Így a K szerinti bal (jobb) mellékosztályok pontosan az L szerinti bal (jobb) mellékosztályok teljes inverz képei.
4. Az L indexe H-ban ugyanaz, mint a K indexe G-ben.
5. Az L pontosan akkor normálosztó H-ban, ha K normálosztó G-ben. Ebben az esetben a G/K és a H/L faktorcsoportok izomorfak.
Bizonyítás. Tegyük föl, hogy K≤ G. Ekkor L=θ(K) nyilván részcsoport H-ban (ez megkapható a 4.5.23.
Gyakorlatból is, ha azt a θ-nek a K-ra való leszűkítésére alkalmazzuk). Megfordítva, a 4.7.22. Gyakorlatban láttuk, hogy ha L≤ H, akkor K=θ-1(L) részcsoport G-ben, ami N-et tartalmazza. Azt kell megmutatnunk, hogy ha L=θ(K), akkor θ-1(L)=KN. Mivel N⊲ G, nyilván KN=NK.
Először a KN⊆ θ-1(L) tartalmazást látjuk be. A KN elemei kn alakúak, ahol k∈ K és n∈ N. De θ(kn)=θ(k)θ(n)=θ(k)∈ L. A fordított tartalmazáshoz tegyük föl, hogy g∈θ-1(L), azaz hogy h=θ(g)∈ L. Mivel L=θ(K), van olyan k∈ K, melyre θ(k)=h. Így θ(g)=θ(k), vagyis θ(k-1g)=1H, ahonnan k-1g∈Ker(θ)=N. Ezért g∈ kN⊆ KN, és így az (1) állítást beláttuk.
A (2) megmutatásához két halmaz között kell kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíteni. Az első halmaz a H összes L részcsoportjainak a halmaza, ez legyen ℋ. A másik a G csoport N-et tartalmazó K részcsoportjainak halmaza, ez legyen . Láttuk, hogy θ(K)≤ H, ezért θ-t tekinthetjük egy -ből ℋ-ba képző
függvénynek is. Az is világos, hogy θ-1 (a teljes inverz kép képzése) egy függvény ℋ-ból -be. Be akarjuk látni, hogy e két függvény egymás inverze, azaz mindkét sorrendben vett kompozíciójuk az identitás. Eszerint két dolgot kell igazolni.
Az első dolog az, hogy ha L≤ H, és K=θ-1(L), akkor θ(K)=L. Ez nyilvánvaló a definícióból, hiszen K a teljes inverz kép definíciója szerint pontosan azokból az elemekből áll, amelyek θ-nél L-be képződnek, és θ szürjektivitása miatt L minden elemének van is ilyen ősképe K-ban.
A második dolog, hogy ha N≤ K≤ G, és L=θ(K), akkor θ-1(L)=K. Ez következik az (1) állításból, hiszen K tartalmazza N-et, vagyis KN=K, és ezért L teljes inverz képe maga K lesz. A megfeleltetés tehát tényleg kölcsönösen egyértelmű, vagyis a (2) állítás is igaz.
A (3) megmutatásához a bal-jobb szimmetria miatt elegendő igazolni, hogy a hL teljes inverz képe gK. Nyilván tetszőleges g'∈ G esetén
Innen (4) és (5) már könnyen adódik, mert az index is és a „normálosztónak lenni” tulajdonság is megfogalmazható a mellékosztályok nyelvén. Például ha L⊲ H, akkor tetszőleges g∈ G-re θ(g)L=Lθ(g). De akkor gK=Kg is igaz, mert egyenlő halmazok teljes inverz képei. Tehát K is normálosztó.
Végül tegyük föl, hogy K és L normálosztók a G, illetve H csoportokban. Ekkor a (3)-beli megfeleltetés bijekciót létesít a G/K és az H/L faktorcsoportok elemei között. Megmutatjuk, hogy ez művelettartó is. Legyen h1L és h2L két L szerinti mellékosztály, meg kell mutatni, hogy a teljes inverz képeik szorzata ugyanaz, mint a szorzatuknak, azaz h1h2L-nek a teljes inverz képe. Válasszunk olyan g1 és g2 elemeket, melyekre θ(g1)=h1 és θ(g2)=h2. Ekkor h1L, h2L, h1h2L teljes inverz képe (3) szerint rendre g1K, g2K, g1g2K. Mivel g1K és g2K szorzata tényleg g1g2K, a tételt beláttuk. □
4.7.25. Következmény. [Első izomorfizmustétel] Tegyük föl, hogy N normálosztó a G csoportban, és K≤ G.
Ekkor KN részcsoport G-ben, K∩ N normálosztó K-ban, és
Ha |G:N| véges, akkor |K:(K∩ N)| osztója |G:N|-nek.
Bizonyítás. Legyen θ:G→ G/N a természetes homomorfizmus, és θK a θ leszűkítése a K részcsoportra. Ez egy homomorfizmus K-ból G/N-be, és a magja nyilván K∩ N. Így K∩ N⊲ K, és a homomorfizmustétel miatt
Most legyen θNK a θ-nek az NK-ra való leszűkítése. Mivel NK⊇ N, ennek a magja N. Ismét a homomorfizmustétel miatt
De a 4.7.24. Tétel (1) állítása szerint θ(K) és θ(KN) egyenlő részcsoportjai G/N-nek, és így persze izomorfak.
Az utolsó állítás azért igaz, mert |K:(K∩ N)| a K/(K∩ N) csoport rendje, ami izomorf a |G:N| rendű G/N egy részcsoportjával. □
4.7.26. Következmény. [Második izomorfizmustétel] Tegyük föl, hogy N és K normálosztók a G csoportban és N⊆ K. Ekkor
Az állításba beleértjük, hogy N⊲ K és (K/N)⊲ (G/N), vagyis hogy a fölírt faktorcsoportok értelmesek.
Bizonyítás. Jelölje H a G/N faktorcsoportot, és legyen θ:G→ G/N a természetes homomorfizmus. Nyilván N⊲ K, hiszen a θ homomorfizmus K-ra vett leszűkítésének is N a magja. A 4.7.24. Tétel (5) állítása szerint
L=θ(K)⊲ H, és H/L≅ G/K. Így elég belátni, hogy L=K/N. De L=θ(K) a θ(k)=kN alakú elemek halmaza, ahol k∈ K, és ez definíció szerint K/N. □
Gondolkodjunk!
4.7.27. Gyakorlat. Ciklikus-e a ℤ16
× csoport, illetve az {1,15} és az {1,9} normálosztók szerinti faktorcsoportjai?
4.7.28. Gyakorlat. Legyenek θ:G→ H és ψ:G→ K homomorfizmusok, és tegyük föl, hogy θ szürjektív.
Mutassuk meg, hogy pontosan akkor létezik olyan α:H→ K homomorfizmus, melyre ψ=α∘θ, ha Ker(θ)⊆Ker(ψ).
4.7.29. Gyakorlat. Legyen ψ:G→ H szürjektív homomorfizmus. Mutassuk meg, hogy G bármelyik generátorrendszerének ψ-nél vett képe generátorrendszer lesz H-ban.
4.7.30. Gyakorlat. Legyenek H≤ K, továbbá N részcsoportok a G csoportban. Igazoljuk, hogy HN∩ K=H(N∩
K). Ezt az összefüggést moduláris szabálynak hívjuk.