Gyakorlat. Igazoljuk az alábbi izomorfizmusokat

1. PSL(2,2)≅ SL(2,2)=GL(2,2)≅ S3. 2. PSL(2,3)≅ A4.

4.14.13. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy csak egy 60 rendű egyszerű csoport van, és ezért PSL(2,4)≅ PSL(2,5)≅ A5.

4.14.14. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy a GL(n,p) csoport p-Sylowja UT(n,p).

4.14.15. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy ha G egy n elemű csoport, akkor G beágyazható a GL(n,p) csoportba tetszőleges p esetén, és ha G egy p-csoport, akkor beágyazható UT(n,p)-be is.

4.14.16. Gyakorlat. Legyen G nemkommutatív egyszerű csoport. Mutassuk meg, hogy G× G-nek csak négy normálosztója van. Igaz marad az állítás a kommutatív esetben is?

15. Összefoglaló

A csoportok tanulmányozását konkrét példák vizsgálatával kezdtük. A gyűrűk additív és multiplikatív csoportjain kívül megismerkedtünk a sík és a tér egybevágóságaiból és mozgásaiból álló csoportokkal, a Dndiédercsoporttal, amely a szabályos n-szög szimmetriacsoportja (4.1.23. Állítás), mátrixok csoportjaival, és az SXszimmetrikus csoporttal, amely az X halmaz permutációiból (azaz önmagára való bijekcióiból) áll, és a művelet a kompozíció. Ezeket a permutációkat diszjunkt ciklusok szorzataként írtuk föl (4.2.21. Tétel).

Bevezettük a permutációk előjelének a fogalmát. Ez egy szorzattartó leképezés, amely minden permutációhoz a +1 és -1 számok egyikét rendeli úgy, hogy minden csere előjele -1 (4.2.14. Tétel). Megállapítottuk, hogy diszjunkt ciklusok szorzatának előjele pontosan akkor páros, ha a szorzatban páros sok páros hosszú ciklus szerepel (4.2.24. Következmény). A páros permutációk száma fele az összes permutációkénak, ezek az AXalternáló csoportot alkotják.

Két csoportot akkor neveztünk izomorfnak, ha van közöttük kölcsönösen egyértelmű, művelettartó leképezés (4.3.3. Példa). A csoportokat izomorfia erejéig szeretnénk megérteni, osztályozni. Ebben segít többek között az elemrend fogalma, ami a komplex egységgyököknél már megismert rend fogalmát általánosítja. Egy g csoportelem rendje a különböző hatványainak a száma. Ha ez végtelen, akkor g bármely két egész kitevőjű hatványa különböző. Ha egy véges d szám, akkor g hatványai d szerint periodikusan ismétlődnek (4.3.10.

Gyakorlat). Egy diszjunkt ciklusokra bontott permutáció rendje a benne szereplő ciklusok hosszainak legkisebb közös többszöröse (4.3.12. Állítás).

Egy csoport ciklikus, ha egy elemének hatványaiból áll. Leírtuk a ciklikus csoportok elemeinek rendjeit (4.3.24.

Állítás) és összes részcsoportjaikat, ezek mind ciklikusak (4.3.27. Állítás). Megmutattuk, hogy minden ciklikus csoport izomorf a ℤ⁺ és a ℤn+ csoportok valamelyikével (4.3.20. Tétel). Beláttuk, hogy minden véges test multiplikatív csoportja ciklikus (4.4.33. Feladat).

A tárgyalást a részcsoportok vizsgálatával folytattuk. Bevezettük a komplexusszorzás fogalmát, ez alkalmas az elemekkel való számolások lerövidítésére, tömör megfogalmazására. Egy H részcsoport szerinti bal oldali mellékosztály az aH halmaz, megmutattuk, hogy két ilyen vagy diszjunkt, vagy egyenlő, és ezért ezek a halmazok a csoport egy partícióját adják (4.4.10. Állítás). A mellékosztályok száma a H részcsoport indexe.

Következményként kaptuk Lagrange tételét, amely szerint egy véges csoportban minden részcsoport és minden elem rendje osztója a csoport rendjének (4.4.11. Tétel, 4.4.21. Következmény). Megállapítottuk, hogy a prímrendű csoportok pontosan azok, amelyeknek nincs nemtriviális részcsoportja (ezek egyben a kommutatív egyszerű csoportok), és mind ciklikusak (4.4.23. Tétel). A Lagrange-tétel bizonyításában felhasznált technikai segédeszköz az ekvivalenciareláció fogalma volt (4.4.9. Tétel).

Az SX szimmetrikus csoport részcsoportjait transzformációcsoportoknak, véges X esetén permutációcsoportoknak neveztük. Ennek általánosításaként definiáltuk egy G csoport hatását egy X halmazon.

Az x∈ Xpályája azokból az X-beli pontokból áll, ahová x elvihető G egy elemével, az xstabilizátora pedig azon G-beli elemekből álló részcsoport, amelyek az x elemet önmagába viszik. A pálya elemszáma (hossza) pontosan a stabilizátor indexe (4.5.8. Tétel, illetve 4.5.15. Tétel). Ez lehetővé teszi alakzatok, például a kocka szimmetriáinak megszámolását. A pályák az X halmaz egy partícióját alkotják.

Osztályoztuk a négyelemű csoportokat is (4.5.18. Tétel), ebből kétféle van, a ciklikuson kívül az úgynevezett Klein-csoport, amelynek fölírtuk a szorzástábláját (az úgynevezett Cayley-táblázatot). A Cayley-táblázat sorai permutációk, és ebből beláttuk Cayley tételét, miszerint minden véges csoport izomorf egy permutációcsoporttal (4.5.24. Tétel).

Ha X részhalmaza egy csoportnak, akkor az X-et tartalmazó legszűkebb részcsoportot (4.6.3. Definíció) az X által generált részcsoportnak neveztük. Ez mindig létezik, mint az X-et tartalmazó részcsoportok metszete (4.6.7. Állítás). Elemei az X elemeiből és ezek inverzeiből készített véges sok tényezős szorzatok (4.6.8. Tétel).

Ha a csoport kommutatív, akkor minden ilyen szorzat egy egész együtthatós „lineáris kombinációvá”

egyszerűsödik (4.6.1. Állítás).

Két csoport között a művelettartó leképezéseket homomorfizmusoknak hívjuk. Ezek képe, vagyis értékkészlete mindig részcsoport, magja azokból az elemekből áll, amelyek az egységelembe képződnek. A homomorfizmusok magjai a normálosztók. Ezek azok a részcsoportok, amelyek szerinti bal és jobb oldali mellékosztályok megegyeznek (4.7.11. Tétel). Ezek a mellékosztályok maguk is csoportot alkotnak, amelyben a

szorzást reprezentánselemek segítségével végezhetjük el. Ahhoz, hogy ez a definíció helyes legyen, meg kellett mutatni, hogy a szorzat nem függ a reprezentánselemek választásától. Így kaptuk a normálosztó szerinti faktorcsoportot (4.7.12. Állítás), amely az eredeti csoportnak homomorf képe a természetes homomorfizmusnál.

A kép minden homomorfizmus esetében izomorf a mag szerinti faktorcsoporttal, ez a homomorfizmustétel (4.7.16. Tétel). A faktorcsoportok részcsoportjait és normálosztóit leírtuk az eredeti csoport részcsoportjai és normálosztói segítségével (4.7.24. Tétel). Következményként adódott az első és második izomorfizmustétel.

Hasznos észrevétel, hogy minden kettő indexű részcsoport normálosztó (4.7.19. Állítás).

Következő célunk az volt, hogy eszközöket találjunk normálosztók keresésére. Már kezdettől fogva láttuk a konjugálás fontosságát: a g-vel való konjugálás az x elemet gxg^-1-be viszi. Ezek a leképezések a csoportnak önmagával való izomorfizmusai, azaz (belső) automorfizmusok, és a csoportnak önmagán való hatását definiálják. A pályák a csoport konjugáltosztályai. Egy részcsoport pontosan akkor normálosztó, ha konjugáltosztályok egyesítése (4.8.6. Következmény). Az x elem stabilizátora ennél a hatásnál az x-szel fölcserélhető elemekből áll, neve az xcentralizátora. Így egy konjugáltosztály elemszáma az elemei centralizátorainak indexe (4.8.9. Következmény). Alkalmazásként leírtuk az S4 és A4 csoportok normálosztóit (4.8.15. Állítás, 4.8.16. Gyakorlat), és megállapítottuk, hogy A5egyszerű csoport, vagyis csak a két triviális normálosztója van (4.8.33. Gyakorlat). Hasonlóképpen egyszerű csoport a gömb mozgásaiból, vagyis az egyenesek körüli forgatásokból álló SO(3) csoport is (4.8.43. Feladat). Tetszőleges csoport konjugálással a részcsoportjainak a halmazán is hat, a H részcsoport stabilizátora ekkor a Hnormalizátora, ami a legbővebb olyan részcsoport, amelyben H normálosztó (4.8.29. Gyakorlat). Így H konjugáltjainak száma a normalizátorának az indexe.

Egy csoport automorfizmusai csoportot alkotnak a kompozícióra, amelyben a belső automorfizmusok részcsoportja normálosztó (4.8.13. Gyakorlat). Egy részcsoport karakterisztikus, ha minden automorfizmusra zárt. Normálosztó normálosztója általában nem normálosztó az eredeti csoportban, de egy normálosztó karakterisztikus részcsoportja már igen (4.8.18. Gyakorlat).

Speciális normálosztó, sőt karakterisztikus részcsoport a csoport centruma, amely az összes elemmel fölcserélhető elemekből áll, másképp fogalmazva az egyelemű konjugáltosztályok egyesítése. Ennek minden részcsoportja kommutatív normálosztó (4.8.11. Gyakorlat). Ugyancsak karakterisztikus részcsoport a csoport kommutátor-részcsoportja: a legszűkebb olyan normálosztó, amely szerinti faktor kommutatív (4.8.23. Állítás).

Az egyik legfontosabb mód, ahogy csoportokból újabb csoportot tudunk készíteni, a direkt szorzat, amelynek alaphalmaza a csoportok Descartes-szorzata, a műveletet pedig komponensenként végezzük. Azt, hogy egy csoportot direkt szorzatra lehet-e bontani, speciális normálosztók létezésének vizsgálatával dönthetjük el.

Például a két tényezős direkt felbontásoknak olyan A és B normálosztók felelnek meg, ahol AB az egész csoport, A∩ B pedig csak az egységelemből áll (4.9.12. Tétel). Ha itt B-ről csak annyit teszünk föl, hogy részcsoport, akkor A és B nem határozza meg az egész csoport szerkezetét, mint a direkt szorzat esetében, hanem azt is meg kell mondanunk, hogy hogyan hat B konjugálással az A normálosztón. Ebből származik a szemidirekt szorzat fogalma (4.9.21. Gyakorlat). A véges Abel-csoportok alaptétele, szerint minden véges Abel-csoport felbontható prímhatvány rendű ciklikus csoportok direkt szorzatára, és a felbontásban szereplő tényezők rendjei egyértelműen meghatározottak (4.9.15. Tétel). A direkt szorzatban könnyű számolni, például az elemek rendjei a komponensek rendjeinek legkisebb közös többszörösei. Így könnyű megállapítani, hogy a direkt szorzat mikor ciklikus (4.9.7. Következmény). A ℤn

× csoport direkt felbontásainak vizsgálata (4.9.9. Következmény) számelméleti szempontból is fontos, mert lehetővé teszik annak eldöntését, hogy van-e primitív gyök egy adott modulusra nézve.

A szabad csoport a legáltalánosabb csoport abban az értelemben, hogy minden más csoport ennek homomorf képeként kapható (ugyanakkor viszont a 4.10.6. Nielsen–Schreier-tétel szerint egy szabad csoport minden részcsoportja szintén szabad). Úgy konstruálhatjuk, hogy veszünk egy X halmazt, a szabad generátorok halmazát, és ezekből, valamint inverzeikből egymás mellé írással szavakat képezünk (4.10.2. Tétel). Ezek között a szavak között további összefüggéseket, úgynevezett definiáló relációkat is megkövetelhetünk (4.10.13. Tétel).

Ekkor a szabad csoportnak egy faktorcsoportját kapjuk. Az így megadott csoportokban csak szerencsés esetben könnyű számolni, de még ekkor is vigyáznunk kell arra, hogy nincsenek-e a generátorokból készített szavak között „rejtett” összefüggések. Általában megoldhatatlan probléma két szóról eldönteni, hogy az adott relációk segítségével egymásba alakíthatók-e.

A konstrukciós módszerek tárgyalása után visszatértünk a csoportok szerkezetének felderítésére. Ha p prímszám, akkor a p-hatvány rendű csoportokat p-csoportnak neveztük. Ezek szerkezete lényegesen szebb, mint az általános csoportoké. A konjugáltosztályok vizsgálatával kiderült, hogy egy véges, nem egyelemű p-csoport centruma sem állhat csak az egységelemből (4.11.2. Tétel). Tetszőleges csoport centruma szerinti faktor csak

akkor lehet ciklikus, ha a csoport kommutatív (4.11.4. Gyakorlat). Ebből adódott, hogy prímnégyzet rendű csoport mindig kommutatív (4.11.3. Következmény), és izomorfia erejéig csak két ilyen csoport van. Beláttuk azt is, hogy egy p-csoportban minden valódi részcsoport normalizátora nagyobb önmagánál (4.11.22.

Gyakorlat), és minden maximális részcsoport egy prímindexű normálosztó (4.11.8. Tétel). Megkonstruáltuk a két nemkommutatív, p³ rendű csoportot is.

A Lagrange-tételt nem lehet úgy megfordítani, hogy ha d osztja a G csoport rendjét, akkor G-ben van d rendű részcsoport. Igaz ez az állítás azonban akkor, ha d prímhatvány. Egy G véges csoport p-Sylow részcsoportjai azok a részcsoportok, amelyek rendje p-hatvány, indexe pedig nem osztható p-vel. Sylow tétele azt mondja ki, hogy adott p mellett ezek száma kongruens 1-gyel modulo p (tehát van ilyen rendű részcsoport), továbbá hogy a p-Sylow részcsoportok egymás konjugáltjai (4.11.18. Tétel). Speciálisan ha egy p prím osztja egy csoport rendjét, akkor abban van p rendű elem.

Mivel egy p-Sylow részcsoport konjugáltjainak száma a normalizátorának az indexe, ez számelméleti összefüggéseket ad a p-Sylow részcsoportok számára. Ennek alkalmazásaként sok adott rendű csoportról eldönthető, hogy nem lehet egyszerű. Ilyenek például azok a csoportok, amelyek rendje két prím szorzata (4.11.20. Következmény). Áttekintettük a legfeljebb 15 elemű csoportok szerkezetét, és kimondtuk, hogy a legkisebb nemkommutatív egyszerű csoport az A5. A kis elemszámú csoportokat a Kis elemszámú csoportok listában foglaltuk össze.

Ezután a permutációcsoportok mélyebb vizsgálatát kezdtük meg. Tárgyaltuk a hatás magjának a fogalmát (4.12.2. Definíció). Beláttuk, hogy minden tranzitív csoporthatás ekvivalens egy részcsoport szerinti bal mellékosztályok halmazán vett hatással (4.12.8. Feladat). Egy hatást k-tranzitívnak hívunk, ha bármely k különböző pontot bármely k különböző pontba el tud vinni a csoport egy alkalmas eleme. Az Sn és An

csoportokon kívül ezek igen ritkák: a véges egyszerű csoportok klasszifikációjából következik, hogy nincs más 6-tranzitív véges permutációcsoport. Példát adtunk 3-tranzitív csoportra törtlineáris leképezések, illetve a kételemű test fölötti affin transzformációk segítségével.

A 2-tranzitivitásnál gyengébb feltevés, hogy a csoport primitív legyen. Ez azt jelenti, hogy a hatás tranzitív, és nincs nemtriviális kongruenciája (4.12.20. Definíció). A primitív csoportok azok a tranzitív csoportok, amelyekben minden stabilizátor maximális részcsoport (4.12.27. Következmény). Ezt a fogalmat felhasználtuk annak bizonyítására, hogy az An alternáló csoport egyszerű, ha n≥ 5 (4.12.30. Tétel). Röviden szó esett Frobenius-csoportokról és Frobenius tételéről is (4.12.33. Tétel).

A Galois-elméletről szóló fejezetben fontos szerepet kapnak majd a feloldható csoportok, vagyis azok, amelyek kommutatív csoportokból bővítések egymásutánjával kaphatók (véges csoportokra ez azzal ekvivalens, hogy nem tartalmaznak nemkommutatív egyszerű csoportot egy részcsoport homomorf képeként sem). Technikailag ezt a fogalmat a normálláncok vizsgálatával kezeltük. Beláttuk Jordan és Hölder tételét (4.13.3. Tétel), miszerint egy véges csoportot bárhogyan is bontunk le egyszerű csoportok bővítéseire, a kapott egyszerű csoportok mindig ugyanazok lesznek. Az Sn szimmetrikus csoport akkor és csak akkor feloldható, ha n≤ 4 (4.13.9. Tétel).

Minden véges Abel-csoport és véges p-csoport feloldható. Ennél nehezebb Burnside tétele, miszerint egy nem feloldható véges csoport rendjének legalább három különböző prímosztója van. Még sokkal nehezebb belátni a Feit–Thompson-tételt, ami azt állítja, hogy minden páratlan rendű véges csoport feloldható. A feloldható csoportok körében érvényesek a Hall-tételek, amelyek a Sylow-tételeket általánosítják (4.13.14. Tétel).

Bizonyításuk eszköze a 4.13.15. Schur–Zassenhaus-tétel.

A nilpotencia fogalma a feloldhatóságnál erősebb, azt követeljük meg, hogy a csoportnak legyen centrális lánca (4.13.19. Definíció). Egy véges csoport akkor nilpotens, ha a Sylow-részcsoportjainak direkt szorzata (4.13.24.

Tétel). Szintén nilpotens azoknak a felső háromszögmátrixoknak a csoportja, ahol a főátlóban végig 1 áll (ezek az unitrianguláris mátrixok).

Végezetül meséltünk kicsit a véges egyszerű csoportok klasszifikációjával kapcsolatos eredményekről (melyek bizonyítása az emberiség egyik csúcsteljesítménye). Szó esett a projektív speciális lineáris csoportokról, amelyek az alternáló csoportok sorozatához hasonlóan szintén véges sok kivétellel egyszerűek (4.14.5. Tétel).

Ilyen sorozatból összesen 17 darab van, és ezen kívül még van 26 úgynevezett sporadikus egyszerű csoport.

Megemlítettünk néhány nevezetes problémát, amit csak a klasszifikáció segítségével sikerült megoldani.

A 8.15. ábrán néhány csoportelméleti fogalom egymáshoz való viszonyát ábrázoltuk, konkrét példákkal illusztrálva.

5. fejezet - Gyűrűk

Ti víz lakói, bölcs leányok, kik búsan éltek a mélyben, most újra vigadjatok.

Hő vágyatok ím teljesül:

tisztuljon meg a vértől a gyűrű. [...]

Ti odalenn oldjátok fel,

hogy újból a Rajna kincse legyen.

— Richard Wagner: A Nibelung gyűrűje (Blum Tamás fordítása)

A gyűrűelmélet az algebrának a csoportelmélettel egyenrangúan fontos ága. A kommutatív gyűrűket olyan területeken alkalmazzák, mint a geometria (ahol görbék, felületek viselkedését értik meg az algebrai geometria keretében), és a számelmélet (az algebrai számelmélet elsősorban bizonyos komplex számok szerkezetét, és ezzel diofantikus egyenletek megoldásait vizsgálja). Wiles híres bizonyítása, amit a Fermat-sejtésre adott, gyűrűelméleti eszközöket is használ. A nemkommutatív gyűrűk elméletének fontos alkalmazásai vannak a csoportelméletben (a már említett reprezentációelmélet ezeken alapszik). Vizsgálnak nem asszociatív gyűrűket is: a Lie-algebrák (A.1.15. Definíció) elmélete a differenciálgeometriához kapcsolódik. A 6. fejezetben végig speciális gyűrűkkel: testekkel fogunk foglalkozni, és a 7. fejezetben következő moduluselmélet is a gyűrűelmélet részének tekinthető.

Ebben a fejezetben elsősorban azt mutatjuk be, ami a későbbiek megértéséhez szükséges, vagy a korábbi témák befejezésének tekinthető. Ezért az alapfogalmak tárgyalása után szó lesz majd a számelmélet alaptételének általános bizonyításáról, illetve a számfogalom lezárásáról. A kommutatív gyűrűk elmélete kapcsán a polinomgyűrűk ideáljait vizsgáljuk az 6. szakaszban. A nemkommutatív gyűrűk elméletének alapjait a modulusokról szóló fejezet végén vázoljuk (9. szakasz).

Ennek a fejezetnek az anyaga néhány helyen átfedi azt, ami Freud Róbert és Gyarmati Edit [1] könyvének tizenegyedik fejezetében szerepel. Vannak eredmények, amelyek bizonyítása mindkét helyen olvasható, az [1]

könyvben sokszor nagyon elemien és részletesen. Ez lehetővé tette számunkra, hogy ugyanezeket az állításokat hangsúlyozottan algebrai szemlélettel (és néhol a könyvünk korábbi részében megszokottnál kevésbé elemien) bizonyítsuk be. Az Olvasónak igen melegen ajánljuk, hogy vesse össze ezeket a bizonyításokat a két könyvben, mert így jobban megértheti a mögöttük húzódó algebrai és számelméleti gondolatokat. Ugyancsak ajánlatos a közös témakörökhöz tartozó feladatokat is megnézni (és megoldani) az [1] könyvben.

A csoportelmélethez hasonlóan ebben a fejezetben is fontos példák szerepelnek, amelyek megértéséhez hasznosak az elemi lineáris algebrai ismeretek. Ezek az 10. szakasztól kezdve nélkülözhetetlenek, sőt itt használjuk a test fölötti algebra és mátrixok minimálpolinomjának a fogalmát is.