Az előző szakaszban láttuk, hogy ha R nullosztómentes (és mint polinomok vizsgálatakor lényegében mindig, kommutatív és egységelemes) gyűrű, akkor egy f∈ R[x] polinom gyökeihez tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A 2.4.7. Tételben akár olyan szerencsénk is lehet, hogy q már konstans polinom, azaz a végeredmény a következő lesz:
ahol c egy nem nulla konstans. Ezt az fgyöktényezős alakjának hívjuk.
2.5.1. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy a gyöktényezős alakban szereplő c az f polinom főegyütthatója, az n szám pedig az f foka.
Ez a „szerencse” szükségszerűen bekövetkezik, ha az R gyűrűben minden nem konstans polinomnak már van gyöke.
2.5.2. Feladat. Igazoljuk, hogy ha egy R (egységelemes, kommutatív) gyűrűben minden nem konstans polinomnak van gyöke, akkor R test.
2.5.3. Definíció. Azt mondjuk, hogy a T test algebrailag zárt, ha T[x] minden nem konstans polinomjának van T-ben gyöke.
Algebrailag zárt test fölött tehát minden polinom gyöktényezős alakban írható. A valós számok teste nem algebrailag zárt, hiszen például az x2+1 polinomnak nincsen benne gyöke. Pontosan azért vezettük be a komplex számokat, hogy ezt a problémát kiküszöböljük. Láttuk, hogy a komplex számok testében a gyökvonás mindig elvégezhető, vagyis az xn-a polinomnak mindig van gyöke. A komplex számok konstrukciója azonban még ennél is jobban sikerült.
2.5.4. Tétel. [Az algebra alaptétele] A komplex számok teste algebrailag zárt.
Ezt a tételt csak később, a Galois-elmélet egy alkalmazásaként bizonyítjuk (6.6.10. Tétel). Rá kell azonban mutatnunk, hogy az algebra alaptétele valójában az analízis tétele! Ennek az az oka, hogy a valós számok bevezetésekor folytonossági meggondolások játszanak szerepet (lásd 9. szakasz). A komplex számokon értelmezett függvények vizsgálatában is fontos szerepet kap az analízis. A komplex függvénytan apparátusával az algebra alaptételére több, nagyon egyszerű és roppant elegáns bizonyítást kaphatunk.
A gyöktényezős alakban ugyanaz a tényező többször is szerepelhet. Ha ezeket összevonjuk, akkor a következőt kapjuk:
ahol a d1,...,dm gyökök már páronként különbözők. Ezt az összevont formát kanonikus alaknak nevezzük, a kj
számot pedig a dj gyök multiplicitásának hívjuk. Másképp fogalmazva azt mondjuk, hogy dj az f-nek kj-szeres gyöke. A fokszámokat fölírva látjuk, hogy
Ezt úgy szokás fogalmazni, hogy egy polinomnak, ha gyöktényezős alakra hozható, multiplicitásokkal számolva pontosan annyi gyöke van, mint a foka.
Ezekkel az elnevezésekkel súlyos probléma lenne, ha az f polinomot máshogy is föl tudnánk írni gyöktényezős alakban. Ha előfordulhatna olyasmi, hogy (x-1)2(x-2)3=(x-1)3(x-2)2 akkor nem tudhatnánk, hogy a 2 szám most kétszeres, vagy háromszoros gyök-e. Ilyesmi azonban nem fordulhat elő, mert a kanonikus alak egyértelmű, amit azonnal be fogunk látni.
A többszörös gyökök fenti definíciójával más baj is van: nem elég általános. Ha valós együtthatós polinomokat akarunk vizsgálni, akkor az
ugyan nem hozható kanonikus alakra ℝ fölött, mégis úgy érezzük, hasznos lenne azt mondani, hogy e polinomnak a 2 szám háromszoros gyöke. Mi lenne akkor a többszörös gyök „helyes” definíciója? Azt érdemes észrevenni, hogy ha a fenti polinomból elvesszük az (x-2)3 gyöktényezőt, akkor a maradék résznek a 2 már nem gyöke.
2.5.5. Definíció. Legyen R szokásos gyűrű. Azt mondjuk, hogy az f∈ R[x] nem nulla polinomnak a b∈ R elem (pontosan) k-szoros gyöke (vagy, hogy a b gyök multiplicitásak), ha
alakban írható, ahol a q∈ R[x] polinomnak b már nem gyöke.
Itt k nemnegatív egészet jelöl. Megengedjük a k=0 esetet is, mert így könnyebben fogalmazhatunk majd meg bizonyos eredményeket. Persze a „nullaszoros gyök” helyett azt mondjuk majd, hogy b „nem gyöke” a polinomnak.
2.5.6. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha R nullosztómentes, akkor
1. gyök multiplicitása egyértelműen meghatározott (vagyis az előző definíció adott f és b mellett csak egyetlen k-ra teljesülhet);
2. ha az f polinomnak van gyöktényezős alakja, akkor a többszörös gyök most adott definíciója ugyanaz, mint amiről fentebb beszéltünk.
Ebből már nyilvánvaló, hogy egy nullosztómentes gyűrű fölött a kanonikus alak egyértelmű (ezt más eszközökkel újra belátjuk majd, amikor a polinomok számelméletét tanulmányozzuk). Valóban, a fenti kanonikus alakban a dj elemek azért egyértelműen meghatározottak, mert ezek pontosan f gyökei, a kj kitevők pedig az előbbi 2.5.6. Gyakorlat miatt egyértelműek. Többszörös gyökök meghatározására két eljárást is tanulunk majd (a 6, illetve 7. szakaszokban).
2.5.7. Gyakorlat. Számítsuk ki x alábbi két polinomjának az együtthatóit:
Az előző gyakorlat megoldását általában végezve a következőt kapjuk.
2.5.8. Tétel. Ha az R kommutatív, egységelemes gyűrű fölötti f polinomra
akkor a Viéte-formulák, azaz a gyökök és együtthatók közötti összefüggések a következők:
A ζk úgy keletkezik, hogy a b1,...,bn közül az összes lehetséges módon kiválasztunk k darabot, a kiválasztott bi -ket összeszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk. Szokás a ζ0-ról is beszélni, és (a fenti f főegyütthatójaként) konstans 1-nek tekinteni.□
(Az itt szereplő binomiális együtthatót az D.2.2. Tételben definiáltuk.) Hasznos lesz, ha b1,...,bn-et határozatlanoknak, és nem R-beli elemeknek tekintjük. Ekkor ζk ezen határozatlanok (többhatározatlanú) polinomjává válik. Ezeket később elemi szimmetrikus polinomoknak fogjuk nevezni.
2.5.9. Következmény. Tegyük föl, hogy
Ekkor 0≤ k≤ n esetén ak=an(-1)n-kζn-k(b1,...,bn), vagyis
Bizonyítás. Az állítás azonnal adódik, ha az (x-b1)... (x-bn) szorzatot az előző tétel szerint kifejtjük, és a két oldal együtthatóit összehasonlítjuk. □
Gondolkodjunk!
2.5.10. Gyakorlat. Írjuk föl az x4+4∈ ℂ[x] polinomot gyöktényezős alakban, és ellenőrizzük beszorzással az eredményt. Hogyan lehetne ezt a polinomot valós együtthatós polinomok szorzatára bontani?
2.5.11. Gyakorlat. Hányszoros gyöke az x4-x3-x+1 polinomnak az 1? A Horner-elrendezést használjuk.
2.5.12. Gyakorlat. Legyen R szokásos gyűrű. Mutassuk meg, hogy ha két n-edfokú R[x]-beli polinom n darab R-beli helyen megegyezik (vagyis a két polinom ugyanazt az értéket veszi föl), és a főegyütthatóik egyenlők, akkor a polinomok is egyenlők.
2.5.13. Feladat. Fejezzük ki az s2(x1,x2,...,xn)=x12+x22+...+xn2 négyzetösszeget a ζ1(x1,x2,...,xn) és a ζ2(x1,x2,...,xn) segítségével.
2.5.14. Gyakorlat. Számítsuk ki a 2x4+2x+3 polinom négy komplex gyökének összegét, szorzatát, négyzetösszegét, valamint e gyökök reciprokainak összegét.
2.5.15. Feladat. Legyenek ε1,...,εn az összes n-edik egységgyökök.
1. Bontsuk gyöktényezős alakra az x4-1 polinomot.
2. Bizonyítsuk be, hogy xn-1=(x-ε1)...(x-εn).
3. A gyökök és együtthatók összefüggése alapján is számítsuk ki az n-edik egységgyökök összegét, négyzetösszegét és szorzatát (ezt más módszerrel már megtettük az 1.5.22. Gyakorlatban).
4. Az egységsugarú körbe írt szabályos n-szög egyik csúcsából a többi csúcsba húzott szakaszok hosszát összeszoroztuk. Igazoljuk, hogy az eredmény n-nel egyenlő.
2.5.16. Feladat. Az a, b, c számokra teljesül, hogy
Határozzuk meg aj+bj+cj értékét, ha j=4,5,6? Léteznek-e egyáltalán ilyen a, b, c számok?
2.5.17. Gyakorlat. Értelmezhető-e egy polinomfüggvény gyökeinek a multiplicitása?
2.5.18. Feladat. Mutassuk meg, hogy véges test nem lehet algebrailag zárt.