A komplex számokat egyenletek megoldására akartuk használni. Ehhez a négy alapműveleten kívül gyökvonásra biztosan szükség van. Az 1.3.13. Feladat megoldásakor láttuk, hogy a komplex számok jobbak, mint a valósak a négyzetgyökvonás szempontjából, mert itt minden számból lehet négyzetgyököt vonni. Azt is láttuk azonban, hogy ez eléggé komplikált számolással jár, és a módszer már a köbgyökvonás elvégzéséhez is használhatatlanul bonyolultnak tűnik.
Megjegyzés
Az ilyen zsákutcákból a matematikában nem egyszer úgy kecmergünk ki, hogy félretesszük az eredeti problémát, és egy másik, látszatra teljesen új témával kezdünk foglalkozni. Gyakran megesik, hogy ennek során váratlanul ötleteket kapunk az eredeti probléma megválaszolására is. Most is ezt az utat követjük, és „melléktermékként” nemcsak a gyökvonás módszerét fedezzük fel, hanem geometriai feladatok megoldásához is hasznos eszközre lelünk.
Az új téma amivel foglalkozunk, a következő: ha a valós számokat a számegyenesen tudjuk ábrázolni, akkor érdemes-e a komplex számokat is hasonló módon lerajzolni? A tapasztalatok azt mutatják, hogy erre a sík bizonyul alkalmasnak. Írjuk rá az a+bi számot a sík (a,b) pontjára. Ez azért hasznos, mert a komplex számok műveletei nagyon ismerősek lesznek geometriából!
Akár fizikából, akár geometriából, mindannyian ismerjük a vektorok fogalmát. Foglaljuk össze, mit is tudunk ezekről. A vektorokat az irányított szakaszokból kapjuk úgy, hogy az egyenlő hosszú és egyforma állású irányított szakaszokat egyenlőnek, ugyanannak a vektornak tekintjük. Ezért néha érdemes csak azokat a szakaszokat vizsgálni, amelyek kezdőpontja az origóban van. Ekkor helyvektorokról beszélünk. A helyvektorokat szokás a végpontjukkal azonosítani, vagyis a sík (a,b) pontját vektornak is tekinthetjük: annak a vektornak, ami az origóból (a,b)-be mutat.
1.1. ábra - Vektorösszeadás.
Vektorokat úgy adunk össze, hogy egymás után fűzzük őket. Helyvektorok esetében tehát az A és B pontba mutató vektorok összege akkor mutat a C pontba, ha az OACB négyszög (esetleg elfajuló) paralelogramma. Ha kiszámoljuk a pontok koordinátáit, akkor ebből az adódik, hogy az (a,b) és (c,d) helyvektorok összege (a+c, b+d). Vegyük észre, hogy ugyanezzel a képlettel kell összeadni a komplex számokat is!
1.4.1. Állítás. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Pontosabban: két komplex szám összegének megfelelő helyvektor a két komplex számnak megfelelő helyvektorok összege.
A komplex számok szorzásának képlete első ránézésre nem utal geometriai kapcsolatra. Ahhoz, hogy a kapcsolatot felfedezzük, érdemes észrevenni, hogy minden nem nulla helyvektort egyértelműen meghatároz az origótól való távolsága, vagyis a hossza, továbbá az x-tengely pozitív felétől mért, irányított szöge. A z komplex szám szögét néha z árkuszának vagy argumentumának is nevezik, és ilyenkor arg(z)-vel jelölik.
1.2. ábra - Komplex szám trigonometrikus alakja.
Hangsúlyozzuk, hogy komplex szám szöge (a középiskolából is ismert) irányított szög. Például az 1-i szöge 315°, és nem 45°, miként az 1.3. ábrán is látható. Ha kikötjük, hogy 0≤arg(z)<2π=360° legyen, akkor ez a szög egyértelműen meghatározott.
1.3. ábra - Az 1-i hossza és szöge.
Az 1.2. ábráról leolvashatjuk a következő összefüggéseket. Ha a z=a+bi nem nulla szám hossza r és szöge α, akkor nyilván a=r cos α és b=r sin α, azaz z=r cos α+ir sin α =r( cos α+i sin α). Ezt a fölírást a z≠ 0 szám trigonometrikus alakjának, a z=a+bi fölírást algebrai alaknak nevezzük. Vegyük észre, hogy
azaz komplex szám hossza ugyanaz, mint az abszolút értéke. Mindezt persze leolvashatjuk az ábráról is, ha Pitagorasz tételét alkalmazzuk. A nulla komplex számnak sem szöge, sem trigonometrikus alakja nincs.
Egy konkrétz=a+bi szám trigonometrikus alakjának fölírásához alkalmazhatjuk a és a tg α=b/a összefüggést (ha a≠ 0). Ehelyett a sin α=b/|z|, illetve a cos α=a/|z| is lehetővé teszi az α szög meghatározását. Vigyázzunk azonban: 0° és 360° között két olyan szög is van, amelynek tangense egy adott szám! Hogy ezek közül melyik lesz z szöge, azt az dönti el, hogy a z szám melyik síknegyedbe esik. Ez a és b előjele alapján állapítható meg. Ezért azt tanácsoljuk, hogy a trigonometrikus alak kiszámítását az Olvasó azzal kezdje, hogy egy hevenyészett rajzot készít, amely megmutatja, hogy a z szám melyik síknegyedben van.
1.4.2. Gyakorlat. Írjuk föl az alábbi számokat trigonometrikus alakban:
1. 1+i és 1-i.
2. és .
Megjegyzés
Angolul a trigonometrikus alak neve polar form. Ennek megfelelően a Maple program segítségével a következőképpen hozhatunk egy komplex számot trigonometrikus alakra:
polar(1+I);
1/2
polar(2 , 1/4 Pi) polar(1-I);
1/2
polar(2 , -1/4 Pi)
A zárójelben szereplő az 1+i szám abszolút értéke (angolul absolute value vagy modulus), a π/4 pedig a szöge. Láthatjuk azt is, hogy a program 1-i szögére nem 315°ot, hanem 45°ot, azaz -π/4-et ad.
1.4.3. Tétel. Tetszőleges z és w komplex számokra |z+w|≤ |z|+|w| teljesül. Ezt háromszög-egyenlőtlenségnek nevezzük. Egyenlőség akkor áll, ha z és w (párhuzamosak és) egyenlő állásúak (beleértve, hogy z vagy w a nullvektor).
Bizonyítás. Ha a z és w vektorokat összefűzéssel adjuk össze, akkor egy olyan OAC háromszöget kapunk, melyre , és . Vagyis az állítás valóban a háromszög-egyenlőtlenségnek felel meg. Egyenlőség akkor teljesül, ha a háromszög elfajuló, mégpedig úgy, hogy az A csúcs az OC szakaszra esik.
□
Megjegyzés
A háromszög-egyenlőtlenséget algebrailag is be lehet bizonyítani, ha z-t és w-t algebrai alakban írjuk föl, és átrendezünk. Ekkor a híres Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenségre vezethetjük vissza az állítást. Ez a kapcsolat és mindkét egyenlőtlenség általánosabban, úgynevezett euklideszi vektorterekben is teljesül. Az érdeklődő Olvasó a [2] könyv 8.2. szakaszában nézhet ennek utána.
Legyen z=r( cos α+i sin α) és w=s( cos β+i sin β). Ekkor
ami az ismert addíciós képletek miatt . Beláttuk tehát, hogy komplex számok szorzásakor hosszuk összeszorzódik, szögük összeadódik. Azt eddig is tudtuk, hogy az abszolút érték szorzattartó, a szögekre vonatkozó észrevétel azonban új.
A most kapott képletben az α+β szög túllépheti a 360 fokot. Például ha -i-t, aminek a hossza 1, szöge 270°, önmagával szorozzuk, akkor a fenti képletből
adódik. Ez persze ugyanaz, mint cos 180°+i sin 180°=-1, hiszen a sin és a cos függvény is 360° szerint periodikus. Ezért a trigonometrikus alakban meg fogunk engedni tetszőleges szöget, vagyis a cos 540°+i sin 540° számot is elfogadjuk, mint -1 trigonometrikus alakját. Ennek ára az, hogy a trigonometrikus alakban szereplő szög csak „modulo 360 fok” lesz egyértelmű.
1.4.4. Gyakorlat. Igazoljuk, hogy ha r és s pozitív valós számok, α és β pedig tetszőleges szögek, akkor r( cos α+i sin α)=s( cos β+i sin β) pontosan akkor, ha r=s, és α-β a 360° egész számú többszöröse.
Megjegyzés
Ha az Olvasó ragaszkodik ahhoz, hogy a trigonometrikus alakban szereplő szög 0° és 360° közötti legyen, akkor az 1.1.4. Definícióhoz hasonlóan szögekre is bevezetheti a „modulo 360” összeadás fogalmát. Ha 0≤α,β<360 (ezek most tetszőleges valós számok, nem feltétlenül egészek), akkor α+360β értéke legyen α+β, ha ez 360-nál kisebb, különben pedig α+β-360. Ekkor szorzat szöge a szögek mod 360° vett összege lesz.
1.4.5. Állítás. Komplex számok szorzásakor hosszuk összeszorzódik, szögük összeadódik. A z=r( cos α+i sin α)≠ 0 számmal való szorzás tehát forgatva nyújtás: az origó körül α szöggel forgat, és az origóból r-szeresre nyújt.
A komplex számok azért előnyösebbek a geometriai feladatok megoldásakor, mint a vektorok, mert nemcsak a vektorösszeadást, hanem a forgatásokat és nyújtásokat is föl lehet írni velük, méghozzá könnyebben kezelhető formában, mintha koordináta-geometriával számolnánk. A szakasz végén több feladattal próbáljuk meg illusztrálni ezeket az előnyöket.
1.4.6. Gyakorlat. Adjunk képletet két nem nulla komplex szám hányadosára a trigonometrikus alak felhasználásával.
Komplex szám pozitív egész kitevőjű hatványát ismételt szorzásként definiálhatjuk, ahogy valós számok esetében is tettük. Az 1.4.5. Állítás miatt
Ezt az összefüggést Moivre képletének nevezzük. (Sokszor így hívják a trigonometrikus alakban fölírt számok szorzásának szabályát is.) Hatványozáskor tehát a szöget a kitevővel kell szorozni, a hosszat pedig a kitevőre kell emelni. Ha a valós számokhoz hasonlóan a hatványozást tetszőleges egész kitevőre kiterjesztjük, vagyis z0 értékét 1-nek, z-n értékét pedig 1/zn-nek definiáljuk, akkor az 1.4.6. Gyakorlat alapján könnyű meggondolni, hogy Moivre képlete minden egész kitevőre érvényes lesz.
Gondolkodjunk!
1.4.7. Gyakorlat. Ha z és w komplex számok, akkor mi a geometriai jelentése a számnak, a z-w vektornak, illetve a |z-w| számnak?
1.4.8. Gyakorlat. Írjuk föl az alábbi számokat trigonometrikus alakban:
1. cos (60°) -i sin (60°).
2. cos (30°) -i sin (60°).
3. sin α+i cos α.
4. (1+i tg α)/(1-i tg α).
1.4.9. Gyakorlat. Rajzoljuk le a komplex számsíkon a következő halmazokat:
1. {z∈ ℂ : Re(z+3+2i)≤ -2}.
2. {z∈ ℂ : Re(z+1)≥Im(z-3i)}.
3. {z∈ ℂ : |z-i-1|≤ 3}.
4. {z∈ ℂ : |z-3+2i|=|z+4-i|}.
5. .
6. , illetve .
7. {z∈ ℂ : |z|=iz}.
8. , illetve .
9. |z-2|=2|z+1|.
1.4.10. Gyakorlat. A sík mely geometriai transzformációinak felelnek meg a komplex számok halmazának alábbi leképezései:
1. z→ 3z+2.
2. z→ (1+i)z.
3. .
1.4.11. Gyakorlat. Legyenek z=a+bi és w=c+di különböző komplex számok. Írjuk föl az alábbi „alakzatok egyenletét” komplex számok segítségével. Az eredményben ne szerepeljen a, b, c, d, csak z és w.
1. A z-t w-vel összekötő szakasz felezőpontja.
2. A z-t w-vel összekötő szakasz felező merőlegese.
3. A z középpontú, w-t tartalmazó körvonal.
4. Az origóból z-be mutató vektor +90 fokos elforgatottja.
5. A w-ből z-be mutató vektor +90 fokos elforgatottja.
6. A z pont w körüli +90 fokos elforgatottja.
7. Annak a négyzetnek a másik két csúcsa, amelynek z és w átellenes csúcsai.
8. Annak a két szabályos háromszögnek a középpontja, melyeknek z és w két csúcsa.
Az 1.4. ábra segíthet a megoldásban.
1.4. ábra - A z elforgatása w körül (1.4.11. Gyakorlat).
1.4.12. Feladat. Egy négyszög oldalaira kifelé négyzeteket rajzolunk. Kössük össze az átellenes oldalakra rajzolt négyzetek középpontjait. Mutassuk meg, hogy az így kapott két szakasz merőleges és egyenlő hosszú.
1.4.13. Feladat. Rajzoljunk egy háromszög mindegyik oldalára kifelé egy-egy szabályos háromszöget.
Igazoljuk, hogy ezek középpontjai szabályos háromszöget alkotnak.
1.4.14. Feladat. Igazoljuk, hogy a z1, z2, z3, z4 páronként különböző komplex számok akkor és csak akkor vannak egy körön vagy egyenesen, ha kettősviszonyuk, vagyis a
kifejezés valós szám.
1.4.15. Feladat. Bizonyítsuk be Ptolemaiosz tételét: ha egy négyszög oldalainak hossza rendre a, b, c, d, átlóinak hossza pedig e és f, akkor ac+bd≥ ef, és egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha a négyszög (konvex) húrnégyszög.
1.4.16. Feladat. Hozzuk zárt alakra a sin x + sin (2x) + ... + sin (nx) összeget.