S´ url´ od´ asos ´ araml´ as

A val´odi folyad´ekokban az egym´ashoz k´epest elmozdul´o r´eszek k¨oz¨ott ny´ır´ofesz¨ults´eg l´ep fel, amely a relat´ıv sebess´eget cs¨okkenteni igyekszik. Ez a jelens´eg a bels˝o s´url´od´as, a bels˝o s´url´od´asos folyad´ekot vagy g´azt viszk´ozus k¨ozegnek nevezz¨uk. A bels˝o s´url´od´as disszipat´ıv er˝o, emiatt cs¨okken a k¨ozeg mechanikai energi´aja – a (8.13) Bernoulli-egyenlet nem ´erv´enyes.

8.16. ´abra. Nyom´ascs¨okken´es viszk´ozus folyad´ekban

A 8.16 ´abr´an l´athat´o k´ıs´erlet mutatja, hogy a v´ızszintes cs˝oben – amely ´alland´o ke-resztmetszet˝u, ´es ´ıgy a folyad´ek sebess´ege is ´alland´o benne – a hely f¨uggv´eny´eben v´ alto-zik, cs¨okken a nyom´as. Ez azt jelenti, hogy a val´odi folyad´ekok ´es g´azok eset´eben ´alland´o keresztmetszet˝u cs˝oben is nyom´ask¨ul¨onbs´egre van sz¨uks´eg az ´araml´as fenntart´as´ahoz.

Newton-f´ele s´url´od´asi t¨orv´eny

A bels˝o s´url´od´as t¨orv´enyszer˝us´egeinek fel´ır´as´ahoz vizsg´aljuk a 8.17(a)´abr´an l´athat´o elrendez´est. A folyad´ek k´et egym´assal p´arhuzamos, a t´avols´agukhoz viszony´ıtva nagyon nagy m´eret˝u, v´ızszintes s´ık fel¨ulet k¨oz¨ott helyezkedik el. A s´ık lapok fel¨uleteA, t´avols´aga z₀. Azxys´ıkban elhelyezked˝o als´o lapot r¨ogz´ıtj¨uk, m´ıg a fels˝o lapotxir´anybanv₀´alland´o sebess´eggel mozgatjuk, amihez – a folyad´ek bels˝o s´url´od´asa miatt –F_x er˝ore van sz¨uks´eg.

A tapasztalat szerint, ha a mozg´as nem t´ul gyors, akkor a fels˝o lap mozgat´as´ahoz sz¨uks´eges er˝o ar´anyos a v₀ sebess´eggel ´es a fel¨uletek A nagys´ag´aval, valamint ford´ıtva ar´anyos a fel¨uletek z₀ t´avols´ag´aval:

F_x =ηv₀

z A , (8.14)

ahol ηa k¨ozegre jellemz˝o (h˝om´ers´ekletf¨ugg˝o) egy¨utthat´o, a k¨ozeg viszkozit´asa. A viszko-zit´as m´ert´ekegys´ege az ¨osszef¨ugg´es alapj´an Pas.

(a) Er˝ohat´asok a folyad´ekr´etegek k¨oz¨ott (b) Line´aris sebess´egprofil

8.17. ´abra. Newton-f´ele s´url´od´asi t¨orv´eny

A bels˝o s´url´od´as nem a folyad´ek ´es a fel¨uletek, hanem az egym´ashoz k´epest mozg´o folyad´ekr´etegek k¨oz¨ott l´ep fel. A folyad´ek tapad a szil´ard fel¨uletekhez – teh´at a legals´o folyad´ekr´eteg ´all, a legfels˝o a fel¨ulettel egy¨utt v₀ sebess´eggel mozog. Nem t´ul nagy se-bess´eg eset´en a lemezek k¨oz¨ott lamin´aris (r´eteges) ´araml´as alakul ki, azaz a k¨ozeg vx

sebess´ege csak a z koordin´at´at´ol f¨ugg.

Egy kiv´alasztott r´etegre a felette ´es az alatta l´ev˝o r´eteg ´altal kifejtett ny´ır´oer˝o hat.

Mivel a folyad´ekr´eteg nem gyorsul (az ´araml´as id˝oben ´alland´o, stacion´arius), a k´et er˝o azonos nagys´ag´u. Eszerint a folyad´ekon bel¨ul mindenhol ugyanakkorra F_x ny´ır´oer˝o hat.

Mivel a (8.14) ¨osszef¨ugg´es b´armilyen z t´avols´agra igaz, fel´ırhatjuk dz t´avols´agra is:

F_x =ηdv_x dz A . A kifejez´est ´atrendezve

τ_x = F_x

A =ηdv_x

dz , (8.15)

azaz a ny´ır´ofesz¨ults´eg ar´anyos a sebess´eggradienssel. Ez aNewton-f´ele s´url´od´asi t¨orv´eny.

Mivel a sebess´eggradiens a k¨ozegen bel¨ul ´alland´o:

dv_x dz = v₀

z₀ ,

a sebess´eg v´altoz´asa z ir´anyban a folyad´ekon bel¨ul line´aris (8.17(b)´abra):

v_x(z) = v₀

z₀z . (8.16)

A (8.15) ¨osszef¨ugg´es nem minden k¨ozegre ´erv´enyes. Azokat, amelyekre teljes¨ul, new-toni folyad´ekoknak nevezik – ilyen a legt¨obb egyszer˝u folyad´ek ´es g´az. Ugyanakkor p´ el-d´aul a kolloid-oldatok nem-newtoni folyad´ekok, amelyekben a viszkozit´as nem ´alland´o,

hanem f¨ugg a ny´ır´ofesz¨ults´egt˝ol. Ezek a folyad´ekok meglep˝o tulajdons´agokkal rendelkez-nek: p´eld´aul egy ´etkez´esi kem´eny´ıt˝ob˝ol k´esz¨ult s˝ur˝u oldaton ugr´alni lehet – mint egy kicsit k´epl´ekeny, de szil´ard fel¨uleten –, de ha lassan mozog, vagy ´all valaki rajta, akkor beles¨ullyed, mint egy nagy viszkozit´as´u folyad´ekba. [33]

Hagen-Poiseuille-t¨orv´eny

Nem t´ul nagy sebess´eg eset´en egy k¨or keresztmetszet˝u cs˝oben is lamin´aris (r´eteges)

´

araml´as alakul ki. A hengerszimmetria miatt a r´etegek hengergy˝ur˝u alak´uak, a k¨ozeg sebess´ege csak a gy˝ur˝u sugar´at´ol f¨ugg. Hat´arozzuk meg a sebess´egprofilt ´es az ´araml´ashoz sz¨uks´eges nyom´ask¨ul¨onbs´eget!

(a) Azrsugar´u r´eszre hat´o er˝ok (b) Forg´asi paraboloid sebess´egprofil

8.18. ´abra. ´Araml´as cs˝oben

A 8.18(a) ´abra alapj´an fel´ırhatjuk egy l hossz´us´ag´u, R sugar´u cs˝o belsej´eben l´ev˝o r sugar´u folyad´ekr´eszre hat´o er˝oket. A folyad´ekr´eszre a cs˝o v´egein l´ev˝o k¨uls˝o nyom´as

´es a k¨ornyez˝o folyad´ek bels˝o s´url´od´asa hat. A folyad´ek sebess´ege ´alland´o (stacion´arius

´

araml´as), ´ıgy az er˝ok ered˝oje nulla:

p₁r²π−p₂r²π+F_s = 0. (8.17) A s´url´od´asi er˝ot a (8.15) ¨osszef¨ugg´es alapj´an ´ırhatjuk fel:

F_s =τ A=ηdv dr2rπl ,

aholA= 2rπla hengerpal´ast fel¨ulete, ahol a ny´ır´oer˝o fell´ep. A s´url´od´asi er˝o term´eszetesen negat´ıv, hiszen a sebess´eg a cs˝o k¨ozep´en a legnagyobb (a fal ment´en pedig nulla), ´es ´ıgy a sebess´eggradiens negat´ıv.

A s´url´od´asi er˝o kifejez´es´et behelyettes´ıtve a (8.17) egyenletbe, az egyenletet rendezve,

a v´altoz´okat sz´etv´alasztva, ´es kiintegr´alva:

Ezt behelyettes´ıtve a cs˝oben ´araml´o folyad´ek sebess´ege a sug´ar f¨uggv´eny´eben:

v(r) = p₁−p₂

4lη R²−r²

, (8.18)

a maxim´alis sebess´eg pedig:

vmax =v(0) = p₁−p₂ 4lη R². A sebess´egprofil forg´asi paraboloid alak´u (8.18(b)´abra).

A cs¨ov¨on id˝oegys´egenk´ent ´at´araml´o folyad´ekmennyis´eget (a t¨omeg´aram-er˝oss´eget) a sebess´egeloszl´asb´ol a (8.11) ¨osszef¨ugg´es alapj´an hat´arozhatjuk meg:

I_m=ρ

Ez a Hagen-Poiseuille-t¨orv´eny. [34]

Az id˝oegys´egenk´ent ´at´araml´o t´erfogat (t´erfogat´aram-er˝oss´eg):

I_V= I_m ρ = π

8lη(p₁−p₂)R⁴, amib˝ol a k¨ozeg ´atlagos sebess´ege:

v_´atl= I_V

A = I_V

R²π = p₁−p₂

8lη R² = v_max 2 .

A jelens´eg anal´og a vezet´eken foly´o elektromos ´arammal (azzal a k¨ul¨onbs´eggel, hogy – egyen´aram eset´en – az elektromos ´arams˝ur˝us´eg a vezet´ek keresztmetszet´en mindenhol ugyanakkora). Az elektromos ´aramer˝oss´eg megfelel˝oje a t´erfogat´aram-er˝oss´eg, az elekt-romos fesz¨ults´egnek a nyom´ask¨ul¨onbs´eg. Ennek alapj´an a cs˝o viszk´ozus ellen´all´asa:

p₁−p₂

I_V = 8lη πR⁴ .

Az ellen´all´as egyenesen ar´anyos a cs˝o hossz´aval ´es a viszkozit´assal, ´es ford´ıtva ar´anyos a cs˝o sugar´anak – az elektromos ellen´all´ast´ol elt´er˝oen – negyedik hatv´any´aval.

Turbulens ´araml´as

Ha a k¨ozeg sebess´eg´et n¨ovelj¨uk, a tapasztalat szerint egy bizonyos sebess´eg felett a la-min´aris ´araml´asban zavarok keletkeznek, az ´aramvonalak hull´amosak ´es id˝oben v´altoz´ok lesznek, ¨orv´enyek alakulnak ki. Az ilyen ´araml´as m´ar nem lamin´aris, hanem turbulens.

A hat´arsebess´eg f¨ugg a k¨ozeg viszkozit´as´at´ol, s˝ur˝us´eg´et˝ol ´es a geometriai adatokt´ol (p´ el-d´aul a cs˝o sugar´at´ol) is. Ezekb˝ol az adatokb´ol egy dimenzi´otlan mennyis´eg k´epezhet˝o, a Reynolds-sz´am [35]

Re= ρrv

η . (8.20)

A hasonl´os´agi elm´elet szerint k´et ´araml´as akkor lesz hasonl´o, ha a Reynolds-sz´amuk megegyezik. Hengeres cs˝obenRe&1200 ´ert´ek eset´en v´alik az ´araml´as turbulenss´e.

Turbulens ´araml´as eset´en a cs˝o ellen´all´asa jelent˝osen nagyobb lesz, mint lamin´aris

´

araml´asn´al. A cs˝o fala mellett egy v´ekony hat´arr´eteg alakul ki, ahol a folyad´ek sebess´ege gyorsan v´altozik, ´es az ´araml´as er˝osen ¨orv´enyes.

In document K ´ı s ´e rletifizika1. (Pldal 142-146)