Mechanikai hull´ amok
10.1. Hull´ amf¨ uggv´ eny
Vizsg´aljunk el˝osz¨or egy s´ıkhull´amot, amely az x-tengellyel p´arhuzamos ir´anyban ter-jed. A zavar forr´asa legyen az x = 0 helyen, a zavar id˝of¨ugg´es´et az f(t) f¨uggv´eny adja meg. A Ψ(x, t) hull´amf¨uggv´eny megadja a k¨ozegben tovaterjed˝o zavar ´ert´ek´et a hely ´es az id˝o f¨uggv´eny´eben. A zavar forr´as´anak hely´en:
Ψ(0, t) =f(t).
Ha a zavar az x-tengely ment´en pozit´ıv ir´anyba csebess´eggel terjed, akkor x t´avols´agra x/c k´es´essel fog meg´erkezni. Teh´at – felt´etelezve, hogy a zavar a terjed´es k¨ozben nem gyeng¨ul – az x helyen a hull´amf¨uggv´eny egy adott pillanatban olyan lesz, mint a zavar forr´as´an´al x/c id˝ovel kor´abban:
Ψ→(x, t) =f t− x
c
. (10.1)
Ha a zavar negat´ıv ir´anyba terjed, akkor a k´epletben m´odosul az el˝ojel:
Ψ←(x, t) =f t+x
c
.
Acterjed´esi sebess´eg a k¨ozeg ´es – bizonyos esetekben – a zavar tulajdons´agait´ol f¨ugg.
A terjed´esi sebess´eget k´es˝obb n´eh´any k¨ozegre ki fogjuk sz´am´ıtani (10.2´es10.6szakaszok), a terjed´esi sebess´eg frekvenciaf¨ugg´es´enek k¨ovetkezm´enyeivel pedig a k¨ovetkez˝o, 10.1.1 szakaszban foglalkozunk.
A hull´amf¨uggv´eny mechanikai hull´amokn´al legt¨obbsz¨or a k¨ozeg pontjainak kit´er´ e-s´et adja meg, de lehet sz¨ogelfordul´as, nyom´asv´altoz´as vagy m´as jellemz˝o param´eter is.
(Elektrom´agneses hull´amokn´al a hull´amf¨uggv´eny az elektromos t´erer˝oss´eg vagy a m´ ag-neses indukci´o vektor ´ert´ek´et adja meg, a kvantummechanikai hull´amf¨uggv´eny pedig komplex ´ert´ek.)
Harmonikus s´ıkhull´am
Legyen a zavar harmonikus f¨uggv´eny:
f(t) = Acos(ωt+α), ekkor a zavarterjed´es egy harmonikus s´ıkhull´am:
Ψ(x, t) = Acosh ω
t− x c
+αi
. (10.2)
A hull´amf¨uggv´eny k´etv´altoz´os f¨uggv´eny. Ha az egyik v´altoz´ot r¨ogz´ıtj¨uk, akkor a m´asik v´altoz´o f¨uggv´eny´eben ´abr´azolhatjuk. A 10.2(a) ´abr´an az x = x1 helyen ´abr´azoltuk a hull´amf¨uggv´enyt az id˝o f¨uggv´eny´eben. Harmonikus f¨uggv´enyt kapunk, melynek (id˝obeli) peri´odusa a peri´odusid˝o:
T = 2π ω .
A10.2(b)´abr´an at=t1 id˝opillanatban ´abr´azoltuk az hull´amf¨uggv´enyt a hely f¨uggv´eny´ e-ben. Most is harmonikus f¨uggv´enyt kapunk, melynek (t´erbeli) peri´odusa ahull´amhossz:
λ= 2πc
ω =cT .
(a) Id˝obeli periodicit´as (b) T´erbeli periodicit´as
10.2. ´abra. A hull´amf¨uggv´eny r¨ogz´ıtett helyen ´es id˝oben
A koszinusz f¨uggv´eny argumentuma a hull´am f´azisa:
ϕ=ω t−x
c
+α .
Egy adott f´azishelyzet elmozdul´as-id˝o f¨uggv´enye ennek alapj´an:
x(t) = ct− c(ϕ−α)
ω ,
amib˝ol a f´azissebess´eg:
c= dx dt .
A f´azissebess´eg megegyezik a zavar terjed´esi sebess´eg´evel.
A hull´am id˝obeli viselked´es´et a T peri´odusid˝o mellett azf = 1/T frekvencia ´es az ω k¨orfrekvencia is jellemzi:
ω= 2π T .
Ehhez hasonl´oan a hull´am t´erbeli jellemz´es´ere bevezetj¨uk a k hull´amsz´amot:
k = 2π λ = ω
c , (10.3)
melynek m´ert´ekegys´ege 1/m.
Ezt behelyettes´ıtve a (10.2) ¨osszef¨ugg´esbe megkapjuk az egydimenzi´os harmonikus s´ıkhull´am hull´amf¨uggv´eny´enek legink´abb haszn´alt alakj´at:
Ψ(x, t) =Acos(ωt−kx+α). (10.4)
T´erbeli s´ıkhull´am
Ha a hull´am egy h´aromdimenzi´os k¨ozegben terjed, akkor a hull´amf¨uggv´eny azr hely-vektor ´es atid˝o f¨uggv´enye: Ψ(r, t). Jel¨olje azuegys´egvektor a s´ıkhull´am terjed´esi ir´any´at.
Ekkor a hull´amfrontok azuvektorra mer˝oleges s´ıkok. A hull´am f´azis´at egy tetsz˝oleges r helyvektorral megadott helyen az adott ponton ´atmen˝o s´ık ´es az orig´o t´avols´aga szabja meg (10.3 ´abra):
s=ur.
10.3. ´abra. T´erbeli s´ıkhull´am Ezt a t´avols´agot behelyettes´ıtve a (10.4) kifejez´esbe:
Ψ(r, t) =Acos(ωt−ks+α) = Acos(ωt−kur+α).
Vezess¨uk be a k = ku hull´amsz´amvektort, melynek nagys´aga k, ir´anya pedig a hull´am terjed´esi ir´anya. Evvel a t´erbeli harmonikus s´ıkhull´am hull´amf¨uggv´enye:
Ψ(r, t) =Acos(ωt−kr+α). (10.5)
G¨ombhull´am
G¨ombhull´amok eset´eben a hull´am terjed´esi ir´anya mindig sug´arir´any´u (k k r), ´ıgy a k´et vektor skal´arszorzata az abszol´ut ´ert´ek¨uk szorzat´aval egyenl˝o. Ennek alapj´an a g¨ombhull´am hull´amf¨uggv´enye:
Ψ(r, t) =A(r) cos(ωt−kr+α), (10.6) ahol a hull´am amplit´ud´oja az r sug´ar f¨uggv´eny´eben v´altozik. A 10.2.1szakaszban ener-getikai megfontol´assal meg fogjuk mutatni, hogy az amplit´ud´o helyf¨ugg´ese:
A(r) = A0 r .
10.1.1. Csoportsebess´ eg, diszperzi´ o
A val´odi hull´amok soha nem v´egtelen hossz´u, szigor´uan harmonikus f¨uggv´enyek, sok-kal ink´abb a 10.4´abr´an l´athat´o hosszabb vagy r¨ovidebbhull´amcsomagok. Ahogy kor´ ab-ban l´attuk (9.2 szakasz) egy ilyen nem periodikus f¨uggv´eny is fel´ep´ıthet˝o harmonikus f¨uggv´enyek szuperpoz´ıci´ojak´ent.
10.4. ´abra. Hull´amcsomag, csoportsebess´eg
A probl´em´at az okozza, hogy a hull´amok terjed´esi sebess´ege sok esetben f¨ugg a frek-venci´at´ol: c=c(ω). Ez a diszperzi´o jelens´ege. Ilyenkor a hull´amcsomag m´as sebess´eggel halad, mint a csomagot fel´ep´ıt˝o harmonikus hull´amok. A hull´amcsomag burkol´oj´anak sebess´ege a cg csoportsebess´eg, m´ıg a harmonikus ¨osszetev˝ok sebess´ege a kor´abban meg-ismert c f´azissebess´eg.
A jelens´eget a k¨ovetkez˝okben egy nagyon egyszer˝u modellel vizsg´aljuk. A 9.2 sza-kaszban l´attuk, hogy k´et k¨ozeli frekvenci´aj´u rezg´es szuperpoz´ıci´ojak´ent lebeg´es alakul ki, amely hasonl´ıt a hull´amcsomaghoz. ´Igy a hull´amcsomagot els˝o k¨ozel´ıt´esben k´et harmo-nikus hull´am ¨osszegek´ent ´all´ıtjuk el˝o:
Ψ1(x, t) =Acos(ωt−kx) Ψ2(x, t) =Acos(ω0t−k0x),
ahol
ω0 =ω+ ∆ω , ∆ω ω , ω0 ≈ω ,
k0 =k+ ∆k , ∆k k , k0 ≈k .
A kialakul´o hull´am hull´amf¨uggv´enye a k´et harmonikus hull´am hull´amf¨uggv´eny´enek ¨ ossze-ge, amelyet a trigonometrikus f¨uggv´enyek azonoss´agaival ´atalak´ıtunk:
Ψ(x, t) = Ψ1(x, t) + Ψ2(x, t) = 2Acos(ω0−ω)t−(k0−k)x
A kialakul´o hull´am l´enyeg´eben egy harmonikus f¨uggv´eny, melynek azonban amplit´ud´ o-ja v´altozik a hely ´es id˝o f¨uggv´eny´eben. Az A(x, t) f¨uggv´eny a hull´amf¨uggv´eny (egyik) burkol´oja, amely viszont maga is egy harmonikus hull´amf¨uggv´eny:
A(x, t) = 2Acos
Ennek a hull´amnak a f´azissebess´ege a (10.3) kifejez´es alapj´an a k¨orfrekvenci´aj´anak ´es a hull´amsz´am´anak a h´anyadosa. A burkol´o f´azissebess´ege azonban ´eppen a hull´amcsomag keresett csoportsebess´ege:
A hull´amcsomag burkol´oja teh´at cg sebess´eggel halad, mik¨ozben a hull´amcsomagot alkot´o hull´amok ´altal´aban ett˝ol elt´er˝o c sebess´eggel haladnak. Eszerint a hull´am a hul-l´amcsomagon bel¨ul is mozog.
Ha egyszer˝u modell¨unkt˝ol elt´er˝oen nem csak k´et hull´amot szuperpon´alunk, hanem v´egtelen sokat, akkor a differenciah´anyados helyett differenci´alh´anyadost ´ırhatunk. ´Igy a csoportsebess´eg:
cg = dω
dk . (10.7)
A kifejez´est ´atalak´ıthatjuk, ha felhaszn´aljuk a k¨orfrekvencia, a hull´amsz´am ´es a f´ a-zissebess´eg k¨ozti kapcsolatot:
ω=kc(k) cg = d(kc)
dk =c+kdc dk .
A gyakorlatban a hull´amsz´am helyett a hull´am jellemz´es´ere gyakran ink´abb a hul-l´amhosszt haszn´aljuk. Az ´att´er´eshez ´ırjuk fel:
k= 2π λ dk
dλ =−2π λ2 dk=−2π
λ2dλ . Ezeket behelyettes´ıtve a csoportsebess´eg k´eplet´ebe:
cg =c−λdc
dλ. (10.8)
A diszperzi´o l´ete ´es jellege a deriv´altt´ol f¨ugg. Norm´alis diszperzi´or´ol besz´el¨unk, ha dc
dλ >0, cg < c , anom´alis diszperzi´or´ol, ha
dc
dλ <0, cg > c .
Amennyiben a deriv´alt 0, azaz a sebess´eg nem f¨ugg a hull´amhosszt´ol (´es a frekvenci´at´ol), akkor nincs diszperzi´o, a csoportsebess´eg megegyezik a f´azissebess´eggel.
A h´etk¨oznapi ´eletben mindh´arom esetre l´atunk p´eld´at. A hanghull´amokn´al ´es a v´ aku-umban terjed˝o elektrom´agneses hull´amokn´al nincs diszperzi´o. Ha azonban a f´eny valami-lyen k¨ozegben terjed, akkor a hull´amhossz n¨ovel´es´evel n˝o a f´eny k¨ozegbeli sebess´ege, azaz norm´alis diszperzi´o l´ep fel. Emiatt lehet felbontani prizm´aval a feh´er f´enyt ¨osszetev˝oire,
´
es ez okozza az optikai rendszerek sz´ınhib´aj´at. A v´ız felsz´ın´en kialakul´o hull´amok bonyo-lult jelens´egek, melyek kialakul´as´aban a neh´ezs´egi er˝onek ´es a fel¨uleti fesz¨ults´egnek is szerepe van. (Nagy hull´amokn´al a neh´ezs´egi er˝o, kicsi, n´eh´any millim´eteres hull´amokn´al a fel¨uleti fesz¨ults´eg domin´al.) Mindk´et esetben van diszperzi´o: a neh´ezs´egi hull´amokn´al norm´alis, a kapill´aris hull´amokn´al anom´alis diszperzi´ot figyelhet¨unk meg.