Folyad´ ekok ´ es g´ azok
8.1.1. Nyom´ asgradiens, hidrosztatikai nyom´ as
A 8.2 ´abr´an egy t´eglatest alak´u folyad´ekdarab l´athat´o. A nyom´as – mint bel´attuk – ir´anyf¨uggetlen, de ´ert´eke a hely f¨uggv´enye: p(x, y, z). A kiv´alasztott darabra a fel¨uleti er˝ok¨on k´ıv¨ul a dFt t´erfogati er˝o hat. Egyens´ulyban a folyad´ekdarabra hat´o er˝ok ered˝oje nulla:
dFf + dFt= 0, ahol dFf a fel¨uleti er˝ok ered˝oje.
8.2. ´abra. Nyom´asgradiens
´Irjuk fel a fel¨uleti er˝ok ered˝oj´enek komponenseit:
dFfx =p(x)dydz−p(x+ dx)dydz =−[p(x+ dx)−p(x)] dydz =−∂p(x, y, z)
∂x dV dFfy =p(y)dxdz−p(y+ dy)dxdz =−[p(y+ dy)−p(y)] dxdz =−∂p(x, y, z)
∂y dV dFfz =p(z)dxdy−p(z+ dz)dxdy=−[p(z+ dz)−p(z)] dxdy=−∂p(x, y, z)
∂z dV . Az egyens´uly miatt:
dFt =−dFf =
∂p(x, y, z)
∂x i+ ∂p(x, y, z)
∂y j+ ∂p(x, y, z)
∂z k
dV =∇pdV , ahol ∇ (nabla) a gradiens jele. dV-vel ´atosztva:
∇p= dFt
dV , (8.1)
azaz a nyom´asgradiens megegyezik az egys´egnyi t´erfogatra hat´o t´erfogati er˝ovel.
Pascal-t¨orv´eny
Ha nem hatnak t´erfogati er˝ok, vagy a t´erfogati er˝ok elhanyagolhat´ok a fel¨uleti er˝ok mellett, akkor:
∇p= 0 ⇔ p= ´alland´o. (8.2)
Ez a Pascal-t¨orv´eny: a nyom´as a folyad´ek teljes t´erfogat´aban megegyezik, a folyad´ekban
”akad´alytalanul tov´abbterjed”.
Alkalmaz´as: Hidrosztatikus er˝o´atvitel
Ezen az elven m˝uk¨odnek a hidraulikus emel˝ok, pr´esek ´es f´ekek.
8.3. ´abra. Hidraulikus g´ep v´azlata
A berendez´esek elvi v´azlata a 8.3 ´abr´an l´athat´o. Az A1 keresztmetszet˝u du-gatty´ut F1 er˝ovel nyomjuk, elmozdul´asa ∆s1. Ennek hat´as´ara a munkahen-gerben az A2 keresztmetszet˝u dugatty´u F2 er˝o ellen´eben ∆s2-vel mozdul el.
A Pascal-t¨orv´eny miatt:
F1
A1 =p= F2 A2 .
L´athat´o, hogy a keresztmetszetek megfelel˝o megv´alaszt´as´aval kis F1 er˝ovel is nagy er˝o fejthet˝o ki a munkahenger dugatty´uj´aval. Ugyanakkor a munka-henger dugatty´uj´anak elmozdul´asa az er˝ovel ford´ıtott ar´anyban v´altozik (a folyad´ek ¨osszenyomhatatlans´aga miatt A1∆s1 = ∆V = A2∆s2), ´ıgy a mun-kav´egz´es a k´et oldalon megegyezik:
F1∆s1 =W =F2∆s2, a hidraulikus g´ep is egyszer˝u g´ep.
Nem teljes¨ul a Pascal-t¨orv´eny a folyad´ekokhoz sok szempontb´ol hasonl´oan viselked˝o granul´alt anyagokban (p´eld´aul a sz´araz homokban). B´ar ezek az anyagok is ´at¨onthet˝ok egyik ed´enyb˝ol a m´asikba, folyad´ekokhoz hasonl´oan mozoghatnak (mint p´eld´aul a ho-mok´or´aban), de a granul´alt anyagokban a folyad´ekokkal ellent´etben vannak ny´ır´oer˝ok,
´
es ´ıgy bizonyos hat´arok k¨oz¨ott saj´at alakjukat is megtartj´ak.
Hidrosztatikai nyom´as
Ha a folyad´ekra a neh´ezs´egi er˝o hat, akkor az elemi folyad´ekr´eszre hat´o t´erfogati er˝o:
dFt =−ρgdVk. Osszevetve a (8.1) egyenlettel¨
∂p
∂x = ∂p
∂y = 0, azaz p(x, y, z) =p(z) egyv´altoz´os f¨uggv´eny, ´es
dp
dz =−ρg .
Ha ρ ´es g a vizsg´alt t´erfogatban ´alland´onak tekinthet˝o, akkor a v´altoz´okat sz´etv´ a-lasztva, ´es a differenci´alegyenletet kiintegr´alva:
dp=−ρgdz p(z) = p0−ρgz , ahol p0 a z = 0 helyen l´ev˝o nyom´as.
Ha az = 0 ´ert´eket a folyad´ek felsz´ın´ehez v´alasztjuk, ´es bevezetj¨uk a h=−z jel¨ol´est (h a m´elys´eg a folyad´ek felsz´ıne alatt), akkor:
p(h) =p0+ρgh . (8.3)
A ph =ρgh tag ahidrosztatikai nyom´as, p0 pedig a folyad´ekra k´ıv¨ulr˝ol hat´o nyom´as.
A (8.3) ¨osszef¨ugg´es g´azokra is ´erv´enyes, ha a vizsg´alt tartom´anyban a g´az s˝ur˝us´ege
´
es a neh´ezs´egi gyorsul´as ´alland´onak tekinthet˝o. Ekkor aerosztatikai nyom´as a neve.
K´ıs´erlet: Hidrosztatikai paradoxon
A 8.4 ´abr´an l´athat´o k¨ul¨onb¨oz˝o alak´u cs¨ovek alja ugyanakkora keresztmetsze-t˝u. A k´ıs´erletben az ed´enyekbe lassan vizet t¨olt¨unk, mik¨ozben a cs¨ovek alja egy m´erleg t´any´erj´ahoz illeszkedik. Ha a hidrosztatikai nyom´asb´ol sz´armaz´o nyom´oer˝o el´er egy bizonyos hat´ar´ert´eket, a m´erleg lebillen, ´es a v´ız kifolyik.
8.4. ´abra. Hidrosztatikai paradoxon
Azt v´arn´ank, hogy a m´erleg mindig azonos s´uly´u (azaz azonos t´erfogat´u) v´ız be¨ont´esekor billen le. Ezzel szemben a lebillen´es mindig azonos magass´ag´u v´ızoszlopn´al t¨ort´enik. Ez a hidrosztatikai paradoxon: mi´ert el´eg a m´erleg le-billent´es´ehez a harmadik cs˝o eset´eben sokkal kevesebb v´ız, mint az els˝o, vagy a m´asodik cs˝o eset´eben?
Ha a folyad´ekra hat´o er˝oket vizsg´aljuk, akkor az els˝o cs˝oben a folyad´ekra a m´erleg t´any´erja ´altal kifejtett tart´oer˝o:
F =phA=ρghA=ρgV =mg ,
megegyezik a folyad´ekra hat´o neh´ezs´egi er˝ovel. (Ap0 l´egnyom´asb´ol sz´armaz´o tagot figyelmen k´ıv¨ul hagyjuk, mert alulr´ol ´es fel¨ulr˝ol is hat a folyad´ekra, ´es
´ıgy az ered˝o er˝ob˝ol kiesik.)
A t¨obbi cs˝oben a m´erleg t´any´erja ´altal kifejtett tart´oer˝o ugyanekkora (hi-szen a hidrosztatikai nyom´as ugyanakkora v´ızoszlop eset´eben ugyanakkora), a folyad´ek s´ulya azonban m´as (kisebb vagy nagyobb). Hogyan lehet m´egis egyens´uly?
A paradoxon felold´asa: a folyad´ek nyomja az ed´eny fal´at, ´es ´ıgy az ed´eny fala is er˝ovel hat a folyad´ekra. Az els˝o cs˝oben ezek az er˝ok mindenhol v´ızszintesek,
´
es az ered˝oj¨uk nulla. A t¨obbi cs˝oben viszont a falak nyom´oerej´enek lesz f¨ ug-g˝oleges komponense is, amelyek r´eszben megtartj´ak (vagy ´eppen lenyomj´ak) a folyad´ekot.
Alkalmaz´as: Nyom´asm´er´es
Ha egy U-alak´u, mindk´et v´eg´en nyitott cs˝obe folyad´ekot ¨ont¨unk, akkor a k´et cs˝oben a folyad´ekszint azonos magass´agban lesz (
”k¨ozleked˝oed´eny”). Ha a cs˝o k´et v´eg´en m´as-m´as k¨uls˝o nyom´as van, akkor a k´et folyad´ekszint elmozdul egym´ashoz k´epest, a nyom´ask¨ul¨onbs´eget a hidrosztatikai nyom´ask¨ul¨onbs´eg egyenl´ıti ki. A szintk¨ul¨onbs´eg m´er´es´evel (a folyad´ek s˝ur˝us´eg´enek ´es a neh´ezs´egi gyorsul´asnak az ismeret´eben) a nyom´ask¨ul¨onbs´eg m´erhet˝o:
∆p=ρg∆h .
(a) Nyitottcs¨oves (b) Z´artcs¨oves
8.5. ´abra. U-cs¨oves nyom´asm´er˝ok
A 8.5(a) ´abr´an l´athat´o nyitottcs¨oves nyom´asm´er˝o a bez´art g´az ´es a k¨uls˝o l´egnyom´as k¨ul¨onbs´eg´et m´eri. A z´artcs¨oves nyom´asm´er˝oben a folyad´ek ´altal elz´art t´err´eszben v´akuum (pontosabban csak a folyad´ek kisnyom´as´u g˝oze) van, ´ıgy a nyom´asm´er˝o abszol´ut nyom´ast m´er (8.5(b) ´abra).
L´egnyom´as
A l´egnyom´as a leveg˝o s´uly´ab´ol sz´armazik. (A l´egk¨or s˝ur˝us´ege azonban nem ´alland´o, er˝osen f¨ugg a nyom´ast´ol ´es a h˝om´ers´eklett˝ol is, ´ıgy a nyom´as helyf¨ugg´es´enek meghat´ aro-z´asa bonyolultabb.) Ugyanakkor ez a meg´allap´ıt´as lehet˝ov´e teszi a l´egk¨orml t¨omeg´enek meghat´aroz´as´at.
A l´egk¨or vastags´aga n´eh´anyszor t´ız kilom´eter, ebben a tartom´anyban a g neh´ezs´egi gyorsul´as j´o k¨ozel´ıt´essel ´alland´onak tekinthet˝o. A l´egk¨or s´uly´at a F¨old felsz´ıne tartja meg, amely akkora er˝ovel nyomja a l´egk¨ort, mint a l´egk¨or a felsz´ınt. Ebb˝ol:
mlg =p0AF,
ahol p0 a l´egnyom´as a F¨old felsz´ın´en, AF pedig a F¨old felsz´ıne – mindkett˝o ismert ´ert´ek.
Rendezve, ´es a numerikus adatokat behelyettes´ıtve:
ml= p0AF
g ≈ 105Pa·5·1014m2
10 m/s2 = 5·1018kg.
Ez hatalmas t¨omeg, de a F¨old teljes t¨omeg´enek kevesebb, mint egy milliomod r´esze.
Forg´o folyad´ek felsz´ıne
Egyens´ulyi ´allapotban a folyad´ek felsz´ıne a ny´ır´oer˝ok hi´anya miatt mer˝oleges a r´a hat´o t´erfogati er˝okre. Emiatt v´ızszintes a nyugv´o folyad´ek felsz´ıne.
Gyorsul´o koordin´ata-rendszerben a neh´ezs´egi er˝on k´ıv¨ul tehetetlens´egi er˝ok is hatnak, a folyad´ek felsz´ın´enek mindenhol a lok´alis t´erfogati er˝ok ered˝oj´ere kell mer˝olegesnek len-nie. A vil´ag´oce´an felsz´ıne ez´ert forg´asi ellipszoid alak´u: mindenhol mer˝oleges a neh´ezs´egi er˝ore (a gravit´aci´os er˝o ´es a F¨old forg´as´ab´ol sz´armaz´o centrifug´alis er˝o ered˝oj´ere).
(a) T´erfogati er˝ok (b) z0meghat´aroz´asa
8.6. ´abra. Forg´o folyad´ek felsz´ıne
A8.6(a)´abr´an egy forg´o hengeres ed´enyben l´ev˝o folyad´ek l´athat´o. Az ed´ennyel egy¨utt forg´o koordin´ata-rendszerb˝ol n´ezve a folyad´ekfelsz´ın kicsiny m t¨omeg˝u darabj´ara azmg neh´ezs´egi er˝o ´es az mω2r centrifug´alis er˝o hat. Az ered˝o Ft er˝o mer˝oleges a fel¨ulet alak-j´at le´ır´o g¨orbe ´erint˝oj´ere. Felhaszn´alva, hogy az ´erint˝o ir´anytangense a z(r) f¨uggv´eny r szerinti deriv´altja:
dz
dr = tgα= Fcf
Fg = ω2r g .
A v´altoz´okat sz´etv´alasztva, ´es mindk´et oldalt kiintegr´alva:
dz = ω2 g rdr z = ω2
2gr2+z0.
A folyad´ekfelsz´ın teh´at forg´asi paraboloid alak´u.z0 a forg´asi paraboloid cs´ucspontj´ a-nak koordin´at´aja, amit a t´erfogat ´alland´os´aga alapj´an lehet meghat´arozni (8.6(b)´abra):
∆V =
R
Z
0
z(r)2rπdr =
R
Z
0
ω2
2gr2+z0
2rπdr= ω2π
4g R4+z0πR2 = 0, z0 =−ω2R2
4g .