Szabad rezg´ es

Sokf´elek´epp l´etrehozhatunk (j´o k¨ozel´ıt´essel) szabad harmonikus mechanikai rezg´est.

Az egyik legegyszer˝ubb lehet˝os´eg, ha egy felf¨uggesztett rug´ora egy testet akasztunk, ´es azt kit´er´ıtj¨uk nyugalmi helyzet´eb˝ol (9.1(a) ´abra). A test kit´er´es–id˝o f¨uggv´enye:

x(t) =Asin (ω₀t+ϕ) . (9.1) A kifejez´esben az A amplit´ud´o a test maxim´alis kit´er´es´et adja meg az egyens´ulyi helyzethez k´epest. A szinusz f¨uggv´eny argumentuma (a z´ar´ojelben l´ev˝o dimenzi´otlan kifejez´es) a rezg´es f´azisa. Az ω₀ k¨orfrekvencia a mozg´as id˝obeli szaporas´ag´at jellemzi.

M´ert´ekegys´ege 1/s, ´es azt adja meg, hogy id˝oegys´egenk´ent mennyit v´altozik a f´azis. Aϕ kezd˝of´azis a f´azis ´ert´eke a t= 0 id˝opillanatban.

Minden szabad harmonikus rezg´est ilyen f¨uggv´ennyel ´ırhatunk le, csak a k¨ul¨onb¨oz˝o je-lens´egekn´el a kit´er´es helyett m´as mennyis´eg ´all, p´eld´aul a torzi´os rezg´esekn´el sz¨ogkit´er´es, az elektromos rezg´esekn´el fesz¨ults´eg vagy ´aramer˝oss´eg, ´es ´ıgy tov´abb.

A rezg´es id˝obeli lefoly´as´at jellemzi a k¨orfrekvenci´an k´ıv¨ul a peri´odusid˝o (T₀) ´es ennek reciproka, a frekvencia (f0) is. Egy teljes peri´odus alatt a f´azis 2π-vel v´altozik, ´ıgy:

T₀ = 2π

ω₀ ´es f₀ = 1 T₀ = ω0

2π .

A frekvencia m´ert´ekegys´ege a defin´ıci´o alapj´an szint´en 1/s, de az´ert, hogy megk¨ul¨onb¨ oz-tess¨uk a k¨orfrekvenci´at´ol, szok´as helyette a hertz (Hz) jel¨ol´es haszn´alata.

Egy m´asik p´eld´aja a szabad harmonikus rezg´esnek a 9.1(b) ´abr´an l´athat´o. Itt a j´ol csap´agyazott kiskocsira v´ızszintes ir´anyban csak a rug´o ereje hat, ´ıgy a mozg´as dinamikai le´ır´asa k¨ul¨on¨osen egyszer˝u.

(a) Rug´ora akasztott test (b) J´ol csap´agyazott kiskocsi

9.1. ´abra. Szabad harmonikus rezg´es

Tov´abbi p´eld´ak: harmonikus torzi´os rezg´esek a6.4.1 szakaszban t´argyalt ingamozg´ a-sok, ahol a sz¨ogkit´er´es az id˝o harmonikus f¨uggv´enye.

Elektromos p´elda a h´al´ozati fesz¨ults´eg: az er˝om˝u gener´atoraiban a homog´en m´agneses t´erben forg´o tekercsekben szinuszosan v´altoz´o fesz¨ults´eg induk´al´odik:

U(t) = ˆUsin (ω0t+ϕ) .

K´ıs´erlet: Rezg˝omozg´as grafikonja, k¨ormozg´as ´es rezg˝omozg´as Harmonikus rezg˝omozg´ast v´egeznek egy egyik v´eg´en befogott, v´ızszintesen megrezgetett rugalmas p´alca pontjai is. Ha a p´alca szabad v´eg´ehez f´emt˝ut r¨ogz´ıt¨unk, ´es alatta egy kormozott ¨uveglapot mozgatunk egyenletes sebess´ eg-gel a rezg´esre mer˝oleges ir´anyban, akkor a t˝u felrajzolja a (9.1) kit´er´es–id˝o f¨uggv´eny grafikonj´at. A grafikonr´ol leolvashat´o a rezg´es amplit´ud´oja, ´es az uveglap sebess´¨ eg´enek ismeret´eben a rezg´es peri´odusideje is.

Egy A hossz´us´ag´u r´ud egyik v´eg´ere kis g¨omb¨ot r¨ogz´ıt¨unk. A rudat ω₀ sz¨ og-sebess´eggel forgatjuk a m´asik v´ege k¨or¨ul, ´ıgy a kis g¨omb A sugar´u p´aly´an egyenletes k¨ormozg´ast v´egez. Ha a mozg´ast a k¨orp´alya s´ıkj´aban p´arhuzamos f´enynyal´abbal kivet´ıtj¨uk, akkor a kis g¨omb ´arny´eka A amplit´ud´oj´u, ω₀ k¨ or-frekvenci´aj´u harmonikus rezg˝omozg´ast v´egez. Ez a k´ıs´erlet j´ol szeml´elteti a k¨ormozg´as ´es a rezg˝omozg´as k¨oz¨otti kapcsolatot, ´es megmagyar´azza a k¨ or-frekvencia sz´o eredet´et is.

A (9.1) kifejez´est matematikailag t¨obbf´ele alakban is le´ırhatjuk. Szinuszf¨uggv´eny he-lyett haszn´alhatunk koszinuszf¨uggv´enyt is:

x(t) =Acos (ω₀t+ϕ⁰) ,

aholϕ⁰ =ϕ−π/2. ´Atalak´ıthatjuk a kifejez´est a sz¨ogf¨uggv´enyek azonoss´agait felhaszn´alva egy szinusz- ´es egy koszinuszf¨uggv´eny ¨osszeg´ere is:

x(t) = Asin (ω₀t+ϕ) =Acosϕsinω₀t+Asinϕcosω₀t =

=A₁sinω₀t+A₂cosω₀t .

Bonyolultabb feladatokn´al hasznos akomplex ´ır´asm´od. Felhaszn´aljuk, hogy a komplex sz´amok k¨or´eben

e^iα = cosα+isinα . A szabad rezg´es komplex id˝of¨uggv´enye:

x^∗(t) = Ae^i(ω0t+ϕ), (9.2)

melynek val´os r´esze megadja a (val´os) kit´er´es–id˝o f¨uggv´enyt (koszinuszos alakban):

x(t) = Re[x^∗(t)] = Acos (ω₀t+ϕ) .

Szabad rezg´es kinematik´aja

Ahogy azt az 1.3 szakaszban l´attuk, a rezg˝omozg´as sebess´ege ´es gyorsul´asa a (9.1) kifejez´esb˝ol id˝o szerinti deriv´al´assal megkaphat´o:

x(t) =Asin (ω₀t+ϕ) v_x(t) = dx(t)

dt =Aω₀cos (ω₀t+ϕ) a_x(t) = dv_x(t)

dt = d²x(t)

dt² =−Aω²₀sin (ω₀t+ϕ) = −ω₀²x(t).

Ennek alapj´an egy m t¨omeg˝u, harmonikus rezg˝omozg´ast v´egz˝o testre hat´o er˝o:

F_x =ma_x =−mω²₀x ,

aholmω₀²egy ´alland´o. Teh´at a harmonikus rezg˝omozg´ashozline´aris (a kit´er´essel ar´anyos) visszat´er´ıt˝o er˝ore van sz¨uks´eg, ahogy ezt m´ar a 2.5 szakaszban is megfogalmaztuk.

Szabad rezg´es dinamik´aja

A9.1(b)´abr´an l´ev˝o elrendez´esben a kiskocsira v´ızszintes ir´anyban csak a rug´oer˝o hat (a f¨ugg˝oleges er˝ok ered˝oje pedig nulla), ´ıgy a testre hat´o er˝ok ered˝oje ar´anyos a test x elmozdul´as´aval (´es az ar´anyoss´agi t´enyez˝o negat´ıv):

Fx =−Dx . A mozg´asegyenlet:

F_x =ma_x =md²x dt² , behelyettes´ıtve az er˝ot, m-mel elosztva ´es null´ara rendezve:

d²x dt² +D

mx= 0.

Felhaszn´alva, hogy x egy¨utthat´oja pozit´ıv, vezess¨uk be a k¨ovetkez˝o jel¨ol´est:

D

m =ω₀² >0,

´es ezt helyettes´ıts¨uk be az egyenletbe:

d²x

dt² +ω₀²x= 0. (9.3)

Ennek a m´asodfok´u homog´en line´aris differenci´alegyenletnek az ´altal´anos megold´asa a (9.1) id˝of¨uggv´eny:

x(t) =Asin (ω₀t+ϕ) ,

ahol

ω₀ = rD

m

a rezg˝o rendszer fizikai param´eterei ´altal meghat´arozott ´alland´o,A´esϕviszont a mozg´as kezdeti felt´eteleit˝ol, azaz x(0) ´es v_x(0) ´ert´ek´et˝ol f¨ugg.

Fon´alinga

A fon´alinga, vagy matematikai inga egy l hossz´us´ag´u v´ekony, ny´ujthatatlan fon´ al-ra k¨ot¨ott m t¨omeg˝u pontszer˝u test (6.4.1 szakasz). Ha az ing´at f¨ugg˝oleges egyens´ulyi helyzet´eb˝olαsz¨oggel kit´er´ıtj¨uk, a testre hat´o tangenci´alis (´erint˝oir´any´u) visszat´er´ıt˝o er˝o:

F_t =−mgsinα , a tangenci´alis gyorsul´as:

a_t =βl = d²α dt²l .

Fel´ırva az F_t =ma_t mozg´asegyenletet, azt egyszer˝us´ıtve ´es null´ara rendezve:

d²α dt² +g

l sinα= 0.

Ez egy nemline´aris differenci´alegyenlet, amelyet csak numerikusan vagy k¨ozel´ıt´esekkel oldhatunk meg. Ha α kicsi, akkor haszn´alhatjuk a k¨ovetkez˝o k¨ozel´ıt´est:

α 1 ⇒ sinα≈α , amit behelyettes´ıtve a differenci´alegyenletbe az line´ariss´a v´alik:

d²α dt² +g

lα= 0. Vezess¨uk be itt is a

g l =ω₀² jel¨ol´est, ezzel:

d²α

dt² +ω₀²α= 0.

Ez a differenci´alegyenlet ugyanolyan alak´u, mint a (9.3) differenci´alegyenlet (csak x helyett α a v´altoz´o), ´ıgy megold´asa is ugyanolyan alak´u:

α(t) = α_maxsin (ω₀t+ϕ) , ahol a k¨orfrekvencia:

ω₀ = rg

l ,

a rendszer param´etereit˝ol (az inga hossz´at´ol ´es a neh´ezs´egi gyorsul´ast´ol) f¨ugg˝o ´alland´o, azα_maxamplit´ud´o ´es aϕkezd˝of´azis pedig a kezdeti felt´etelekt˝ol f¨ugg˝o ´ert´ekek (vide´o[8]).

A rezg˝o rendszer energiaviszonyai

Vizsg´aljuk a 9.1(b) ´abr´an l´athat´o rezg˝o rendszer energiaviszonyait! A kiskocsi v´ız-szintesen mozog, ez´ert gravit´aci´os helyzeti energi´aja ´alland´o (v´alaszthatjuk null´anak).

A rendszernek ´ıgy csak rugalmas helyzeti energi´aja ´es mozg´asi energi´aja van. A teljes mechanikai energia ezek ¨osszege:

E(t) = 1

2D[x(t)]²+ 1

2m[v_x(t)]² = 1

2DA²sin²(ω₀t+ϕ) + 1

2mA²ω²₀cos²(ω₀t+ϕ) . Felhaszn´alva az mω₀² =D ¨osszef¨ugg´est:

E(t) = 1 2DA²

sin²(ω₀t+ϕ) + cos²(ω₀t+ϕ)

= 1 2DA².

A teljes mechanikai energia teh´at id˝oben ´alland´o. Az energia a rezg´es folyam´an folyama-tosan ad´odik ´at ide-oda a mozg´asi energia ´es a rugalmas helyzeti energia k¨oz¨ott. A9.2(a)

´

abr´an a kit´er´es, a9.2(b)´abr´an az id˝o f¨uggv´eny´eben ´abr´azoltuk a k´et energiatagot (ϕ= 0).

(a) A kit´er´es f¨uggv´eny´eben (b) Az id˝o f¨uggv´eny´eben

9.2. ´abra. A rezg˝o rendszer energiaviszonyai

Megjegyezz¨uk, hogy a 9.1(a) ´abr´an l´athat´o rezg˝o rendszer dinamikai ´es energetikai szempontb´ol is bonyolultabb, hiszen itt a mozg´asegyenletn´el a neh´ezs´egi er˝ot, illetve az energiam´erlegn´el a gravit´aci´os helyzeti energi´at is figyelembe kell venni. K¨onnyen bel´ at-hat´o azonban, hogy a dinamikai egyenletek v´altozatlanok lesznek, ha az x = 0 helyet nem a ny´ujtatlan ´allapotn´al, hanem az egyens´ulyi helyzetn´el v´alasztjuk meg (ahol vi-szont a rug´o a testre hat´o neh´ezs´egi er˝o miatt m´ar meg van ny´ulva). Ehhez hasonl´oan k¨onnyen bel´athat´o, hogy ha a gravit´aci´os helyzeti energia nullszintj´et megfelel˝oen v´ alaszt-juk, akkor a teljes helyzeti energia (a gravit´aci´os ´es a rugalmas helyzeti energi´ak ¨osszege) kifejez´ese szint´en v´altozatlan marad. (Ellenkez˝o esetben megjelenik egy konstans tag, amely az energia id˝obeli ´alland´os´ag´an term´eszetesen nem v´altoztat.)

A feladat r´eszletes v´egiggondol´as´at az olvas´ora b´ızzuk.

Anal´ogia: elektromos rezg˝ok¨or

A szabad mechanikai rezg´essel anal´og ´aramk¨or egy tekercsb˝ol ´es kondenz´atorb´ol ´all´o csillap´ıtatlan rezg˝ok¨or (9.3 ´abra).

9.3. ´abra. Csillap´ıtatlan elektromos rezg˝ok¨or

A k´et ´aramk¨ori elem fesz¨ults´eg´enek ¨osszege nulla (hurokt¨orv´eny), ´aramuk megegyezik (csom´oponti t¨orv´eny). Ezt ´es az ´aramk¨ori elemeket le´ır´o ¨osszef¨ugg´eseket felhaszn´alva:

U_L=LdI dt I =CdU_C

dt =−CdU_L

dt =−CLd²I dt² . Atrendezve, ´´ es bevezetve az

1

LC =ω²₀ jel¨ol´est:

d²I

dt² +ω₀²I = 0.

Ism´et a (9.3) egyenlettel azonos alak´u differenci´alegyenletet kaptunk (csak most I a v´altoz´o), teh´at a megold´as is azonos alak´u:

I(t) = ˆIsin (ω₀t+ϕ) U_C(t) =−U_L(t) =−LdI

dt =−LIωˆ ₀cos (ω₀t+ϕ) =−Uˆcos (ω₀t+ϕ) , ahol

ω₀ = r 1

LC

ism´et a rezg˝o rendszer (az ´aramk¨ori elemek) adatai ´altal meghat´arozott ´alland´o, ˆI ´esϕ pedig a kezdeti felt´etelekt˝ol f¨ugg˝o ´ert´ekek.

Az elektromos rezg˝ok¨or teljes elektrom´agneses energi´aja a tekercsben kialakul´o m´ ag-neses t´er ´es a kondenz´atorban kialakul´o elektromos t´er energi´aj´anak ¨osszege:

E(t) = 1

2L[I(t)]²+1

2C[U_C(t)]² = 1

2LIˆ²sin²(ω₀t+ϕ) + 1

2CL²Iˆ²ω₀²cos²(ω₀t+ϕ) .

Felhaszn´alva a CLω₀² = 1 ¨osszef¨ugg´est E(t) = 1

2LIˆ²

sin²(ω₀t+ϕ) + cos²(ω₀t+ϕ)

= 1 2LIˆ²,

azaz a teljes energia a mechanikai rezg˝o rendszerhez hasonl´oan id˝oben ´alland´o.

In document K ´ı s ´e rletifizika1. (Pldal 152-158)