Mechanikai hull´ amok
10.2. Hull´ amterjed´ es rugalmas r´ udban
es ez okozza az optikai rendszerek sz´ınhib´aj´at. A v´ız felsz´ın´en kialakul´o hull´amok bonyo-lult jelens´egek, melyek kialakul´as´aban a neh´ezs´egi er˝onek ´es a fel¨uleti fesz¨ults´egnek is szerepe van. (Nagy hull´amokn´al a neh´ezs´egi er˝o, kicsi, n´eh´any millim´eteres hull´amokn´al a fel¨uleti fesz¨ults´eg domin´al.) Mindk´et esetben van diszperzi´o: a neh´ezs´egi hull´amokn´al norm´alis, a kapill´aris hull´amokn´al anom´alis diszperzi´ot figyelhet¨unk meg.
10.2. Hull´ amterjed´ es rugalmas r´ udban
A mechanikai hull´amok sokf´ele k¨ozegben terjedhetnek. Els˝ok´ent vizsg´aljunk egy ru-galmas r´udban terjed˝o longitudin´alis s´ıkhull´amot. A10.5´abr´an l´athat´o a r´ud egy darabja.
A keresztmetszetet most S jel¨oli (A a hull´am amplit´ud´oja), a hull´am az x-tengely ir´ a-ny´aban terjed. Mivel a hull´am longitudin´alis, a k¨ozeg pontjainak elmozdul´asa is ezzel p´arhuzamos ir´any´u, ezt adja meg a Ψ(x, t) hull´amf¨uggv´eny.
10.5. ´abra. Longitudin´alis hull´am rugalmas r´udban
Az ´abr´an bejel¨olt¨uk a r´udx´esx+dxk¨oz¨otti kicsiny darabj´at. A kis darab hat´arainak elmozdul´as´at a hull´amf¨uggv´eny adja meg: Ψ(x, t) ´es Ψ(x+ dx, t). Erre a kis darabra ´ırjuk fel Newton II. t¨orv´eny´et:
dF = dma .
A kis darabra hat´o er˝ot a r´ud rugalmas tulajdons´agaib´ol hat´arozzuk meg. A (7.1) ¨ ossze-f¨ugg´es alapj´an a r´udban fell´ep˝o h´uz´oer˝o:
F =SEε ,
ahol E a r´ud anyag´anak Young-modulusa, ε pedig a relat´ıv megny´ul´as:
ε= dl
l = Ψ(x+ dx, t)−Ψ(x, t)
dx = ∂Ψ(x, t)
∂x ,
a hull´amf¨uggv´eny x szerinti parci´alis deriv´altja. Ezt felhaszn´alva a h´uz´oer˝o:
F(x, t) =SEε(x, t) = SE∂Ψ(x, t)
∂x , a kis darabra hat´o er˝o pedig:
dF =F(x+ dx, t)−F(x, t) = ∂F(x, t)
∂x dx=SE∂2Ψ(x, t)
∂x2 dx . A kis darab gyorsul´asa a hull´amf¨uggv´eny t szerinti m´asodik parci´alis deriv´altja:
a= ∂2Ψ(x, t)
∂t2 ,
a kis darab t¨omege pedig meghat´arozhat´o a r´ud ρ s˝ur˝us´eg´enek ismeret´eben:
dm=ρSdx .
Mindezt behelyettes´ıtve a mozg´asegyenletbe, az egyenletet Sdx-szel egyszer˝us´ıtve, ´es rendezve megkapjuk a rugalmas r´udban terjed˝o longitudin´alis hull´am hull´amegyenlet´et:
E ρ
∂2Ψ(x, t)
∂x2 = ∂2Ψ(x, t)
∂t2 . (10.9)
A hull´amegyenlet egy m´asodrend˝u line´aris parci´alis differenci´alegyenlet, amelynek sok lehets´eges megold´asa van. Ezek k¨oz¨ul keress¨uk most a harmonikus halad´ohull´am´u megold´ast a k¨ovetkez˝o alakban:
Ψ(x, t) =Acos(ωt∓kx+α).
A ∓el˝ojel arra utal, hogy a hull´am pozit´ıv ´es negat´ıv ir´anyba is terjedhet. A pr´obaf¨ ugg-v´enyt behelyettes´ıtve a differenci´alegyenletbe, ´es a deriv´al´asokat elv´egezve:
−E
ρAk2cos(ωt∓kx+α) = −Aω2cos(ωt∓kx+α). Az egyenl˝os´egnek minden helyen ´es id˝opillanatban teljes¨ulni kell, ebb˝ol:
E
ρk2 =ω2. Felhaszn´alva a (10.3) kifejez´est:
E ρ = ω2
k2 =c2.
A r´udban terjed˝o halad´ohull´am sebess´eg´enek nagys´aga teh´at a r´ud Young-modulus´at´ol
´
es s˝ur˝us´eg´et˝ol f¨ugg:
c= s
E
ρ . (10.10)
Ezt behelyettes´ıtve a (10.9) hull´amegyenletbe megkapjuk az egydimenzi´os hull´ am-egyenlet – mint k´es˝obb l´atni fogjuk – ´altal´anos alakj´at:
c2∂2Ψ(x, t)
∂x2 = ∂2Ψ(x, t)
∂t2 . (10.11)
A hull´am k¨orfrekvenci´aj´at, amplit´ud´oj´at ´es kezd˝of´azis´at a peremfelt´etelek (a r´ud v´ e-g´et ´er˝o hat´as) hat´arozza meg. ´Altal´anos esetben a megold´as k¨ul¨onb¨oz˝o k¨orfrekvenci´aj´u, amplit´ud´oj´u, kezd˝of´azis´u ´es ir´any´u hull´amok szuperpoz´ıci´oja. Ezzel k´es˝obb, a 10.7 sza-kaszban m´eg foglalkozunk.
10.2.1. Energiaterjed´ es hull´ amban
A k¨ozegben terjed˝o hull´amnak energi´aja van, a hull´amterjed´es egybenenergiaterjed´es is. Ezt igazolja a vide´on [8] l´athat´o k´ıs´erlet, de a h´etk¨oznapi ´eletben is sz´amtalan jelen-s´eg kapcs´an tapasztaljuk: a Napb´ol ´erkez˝o elektrom´agneses sug´arz´as meleg´ıti a F¨oldet, a hanghull´amok megrezegtetik a dobh´arty´ankat, a vizeken kialakul´o er˝os hull´amz´as pusz-t´ıt´o erej˝u lehet, ´es ´ıgy tov´abb. Hat´arozzuk meg a rugalmas r´udban terjed˝o longitudin´alis harmonikus halad´ohull´am ´altal sz´all´ıtott energi´at!
10.6. ´abra. Energiaterjed´es
Az energia´araml´ast a 8.3 szakaszban t´argyalt t¨omeg´araml´ashoz hasonl´oan jellemez-hetj¨uk. A Φ energia´aram egy kiv´alasztott fel¨uleten id˝oegys´egenk´ent ´athalad´o energia:
Φ = dW
dt , (10.12)
ahol az energi´at most W-vel jel¨olj¨uk (E a Young-modulus). ∆t id˝o alatt a r´ud egy keresztmetszet´en ´athalad´o energia (10.6 ´abra):
∆W =w∆V =wSc∆t ,
aholwazenergias˝ur˝us´eg, a k¨ozeg egys´egnyi t´erfogat´aban tal´alhat´o (mechanikai) energia.
Ennek alapj´an az energia´aram a r´udban:
Φ = wSc .
Az egys´egnyi fel¨uleten ´athalad´o energia´aram azenergia´aram-s˝ur˝us´eg, amit a hull´amok eset´eben intenzit´asnak nevez¨unk, ´es I-vel jel¨olj¨uk. M´ert´ekegys´ege: W/m2. Az eddigiek alapj´an a hull´am intenzit´asa:
I = Φ
S =wc . (10.13)
T¨obbdimenzi´os k¨ozegben az intenzit´as a t¨omeg´aram-s˝ur˝us´eghez hasonl´oan vektori´alis mennyis´eg. Ekkor az ¨osszef¨ugg´esek ´ıgy m´odosulnak:
I=wc ´es Φ = Z
S
IdS.
A rugalmas r´udban terjed˝o longitudin´alis hull´am energias˝ur˝us´eg´enek meghat´aroz´as´ a-hoz ´ırjuk fel egy ∆V t´erfogatban a teljes mechanikai energi´at, azaz a mozg´asi ´es rugalmas helyzeti energia ¨osszeg´et. A mozg´asi energia:
∆Wm = 1
a rugalmas helyzeti energia pedig (felhaszn´alva, hogy (10.10) alapj´an E =ρc2):
∆Wh = 1
A teljes mechanikai energia: az energias˝ur˝us´eg pedig:
w= ∆W
Ha a r´udon harmonikus halad´ohull´am terjed, akkor a hull´amf¨uggv´eny:
Ψ(x, t) =Acos(ωt−kx+α). azaz az energias˝ur˝us´eg adott helyen azid˝o, adott id˝opillanatban pedig ahely periodikus f¨uggv´enye.
Az intenzit´as meghat´aroz´as´ahoz az ´atlagos energias˝ur˝us´egre van sz¨uks´eg¨unk:
w =w(x, t) = 1 Ennek alapj´an az energia´aram:
Φ = 1
2ρA2ω2cS , (10.17)
az intenzit´as pedig:
I = 1
2ρA2ω2c . (10.18)
Fontos eredm´eny¨unk, hogy az intenzit´as az amplit´ud´o n´egyzet´evel ar´anyos:
I ∼A2. (10.19)
Az intenzit´as helyf¨ugg´ese
G¨ombhull´am eset´en a pontforr´asb´ol kiindul´o teljes energia´aram egyre nagyobb fel¨ u-leten oszlik el, ´ıgy az intenzit´as a t´avols´ag n¨oveked´es´evel akkor is cs¨okken, ha nincsen semmilyen vesztes´eg.
A g¨omb fel¨ulete:
S= 4r2π ,
´ıgy az intenzit´as ford´ıtva ar´anyos a sug´ar n´egyzet´evel:
I ∼ 1 r2 ,
amib˝ol viszont a (10.19) ¨osszef¨ugg´es alapj´an az amplit´ud´o a sug´arral ford´ıtottan ar´anyos (ahogy azt a 10.1 szakaszban m´ar megeml´ıtett¨uk):
A∼ 1 r .
A k¨ozegben haladva a csillap´ıt´as miatt ´altal´aban a s´ıkhull´am is gyeng¨ul. Az intenzi-t´asv´altoz´as ar´anyos az intenzit´assal ´es a megtett t´avols´aggal:
dI =I(x+ dx)−I(x) = −µIdx ,
ahol µ egy k¨ozegt˝ol (´es a hull´am jellemz˝oit˝ol) f¨ugg˝o ´alland´o. A differenci´alegyenletet rendezve ´es megoldva:
dI
I =−µdx lnI
I0 =−µx I =I0e−µx,
teh´at a s´ıkhull´am intenzit´asa homog´en k¨ozegben a t´avols´aggal exponenci´alisan cs¨okken.