Csillap´ıtott rezg´ es

Egy mag´ara hagyott rezg´es amplit´ud´oja folyamatosan cs¨okken, majd a rezg´es meg-sz˝unik. A disszip´aci´o oka lehet a mozg´o testre hat´o k¨ozegellen´all´as vagy s´url´od´as, de ha ezeket kik¨usz¨ob¨olj¨uk, akkor is lesz vesztes´eg a rug´o anyag´aban. (Egy anyag se t¨ok´eletesen rugalmas, a deform´aci´os g¨orb´enek mindig van valamekkora kicsiny hiszter´ezise, melynek ter¨ulete ´eppen a deform´aci´os munka.)

A k¨ovetkez˝okben – matematikai egyszer˝us´ege miatt – csak olyan csillap´ıt´assal foglal-kozunk, ahol a disszipat´ıv er˝o a test sebess´eg´evel ar´anyos. Ahogy l´attuk, ilyen a viszk´ozus k¨ozegellen´all´as (8.4 szakasz), de szint´en sebess´eggel ar´anyos f´ekez˝oer˝ot eredm´enyez egy mozg´o m´agnes ´altal keltett ¨orv´eny´aram is. A csillap´ıtott rezg´es egyszer˝u modellje l´athat´o a 9.4 ´abr´an.

9.4. ´abra. Csillap´ıtott rezg´es

A szabad rezg´es mozg´asegyenlete kieg´esz¨ul a sebess´eggel ar´anyos csillap´ıt´o er˝ovel:

ma=−Dx−kv ,

ahol k a csillap´ıt´as er˝oss´eg´et jellemz˝o ´alland´o. A gyorsul´ast ´es a sebess´eget deriv´altakkal kifejezve, a t¨omeggel ´atosztva, ´es az egyenletet null´ara rendezve:

d²x dt² + k

m dx

dt + D

mx= 0.

Vezess¨uk be a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket:

D

m =ω₀² ´es k

m = 2β .

ω₀ m´ar ismer˝os – ez a csillap´ıtatlan rezg˝o rendszer saj´atk¨orfrekvenci´aja (ilyen k¨ orfrek-venci´aval rezegne a rendszer, ha nem lenne csillap´ıt´as). β acsillap´ıt´asi t´enyez˝o, m´ert´ ek-egys´ege ω₀-hoz hasonl´oan 1/s, ´esk-hoz hasonl´oan szint´en a csillap´ıt´as er˝oss´eg´et mutatja.

Ezeket a helyettes´ıt´eseket be´ırva megkapjuk a csillap´ıtott rezg´es differenci´ alegyenle-t´et:

d²x

dt² + 2βdx

dt +ω²₀x= 0. (9.4)

Ez a (9.3) egyenlethez hasonl´oan m´asodrend˝u homog´en line´aris differenci´alegyenlet, de itt a v´altoz´o els˝o deriv´altja is el˝ofordul.

Az ilyen differenci´alegyenletek megold´asait x(t) =e^λt

alakban keress¨uk, ahol λ komplex sz´am. Helyettes´ıts¨uk be a pr´obaf¨uggv´enyt a differen-ci´alegyenletbe:

λ²e^λt+ 2βλe^λt+ω₀²e^λt = 0,

´

es egyszer˝us´ıts¨unk a

e^λt 6= 0

t´enyez˝ovel. ´Igy m´ar a differenci´alegyenlet helyett egy k¨oz¨ons´eges m´asodfok´u egyenletet kapunk a pr´obaf¨uggv´eny kitev˝oj´eben szerepl˝oλ komplex mennyis´egre:

λ²+ 2βλ+ω₀² = 0.

Ennek megold´asa a m´asodfok´u egyenlet megold´ok´eplete alapj´an:

λ1,2 = −2β±p

4β²−4ω²₀

2 =−β±

q

β²−ω²₀.

L´athatjuk, hogy az egyenlet megold´asa teljesen m´as lesz, att´ol f¨ugg˝oen, hogy a β csil-lap´ıt´asi t´enyez˝o ´es az ω₀ csillap´ıtatlan saj´atk¨orfrekvencia k¨oz¨ul melyik nagyobb. H´arom esetet k¨ul¨onb¨oztet¨unk meg:

β > ω₀ nagy csillap´ıt´as, β =ω₀ hat´areset, β < ω₀ kis csillap´ıt´as.

T´ulcsillap´ıtott rezg´es

Nagy csillap´ıt´as eset´en, ha β > ω₀, a m´asodfok´u egyenletnek k´et val´os megold´asa van:

λ₁ =−β− q

β²−ω₀² λ₂ =−β+

q

β²−ω₀².

A mozg´ast le´ır´o id˝o f¨uggv´enyt a k´et pr´obaf¨uggv´eny line´aris kombin´aci´ojak´ent kapjuk meg. Ennek fel´ır´as´ahoz vezess¨uk be a β₁ ´es β₂ pozit´ıv mennyis´egeket:

β₁ =−λ₁ =β+ q

β²−ω₀² >0 β₂ =−λ₂ =β−

q

β²−ω₀² >0, amelyeket felhaszn´alva a kit´er´es–id˝o f¨uggv´eny:

x(t) = A₁e^−β1t+A₂e^−β2t. (9.5) β₁ ´es β₂ a rendszer param´etereit˝ol f¨ugg˝o ´alland´ok, A₁ ´esA₂ ´ert´ek´et viszont a kezdeti felt´etelek hat´arozz´ak meg.

(a) A1>0 ´esA2>0 (b)A1=−A2

9.5. ´abra. T´ulcsillap´ıtott rezg´es

A9.5(a)´abr´an l´athat´o esetben a testet kit´er´ıtj¨uk, ´es nyugalmi helyzet´eben elengedj¨uk.

Ilyenkor A1 > 0 ´es A2 > 0, a mozg´as k´et exponenci´alis lecseng´es ¨osszege. A 9.5(b)

´

abr´an l´athat´o esetben az egyens´ulyi helyzetben l´ev˝o testet valamekkora kezd˝osebess´eggel megl¨okj¨uk. Ekkor A₁ =−A₂.

Figyelj¨uk meg, hogy egyik esetben sem j¨on l´etre val´odi rezg´es ( a test nem lend¨ul ´at az egyens´ulyi helyzeten). Ez´ert nevezz¨uk ezt az esetet t´ulcsillap´ıtott rezg´esnek.

Aperiodikus hat´areset

Ha β=ω₀, akkor az egyenletnek csak egy megold´asa van:

λ₁ =λ₂ =−β .

Ilyenkor a differenci´alegyenlet megold´as´aban a pr´obaf¨uggv´eny t-szerese is megjelenik (ennek helyess´eg´er˝ol visszahelyettes´ıt´essel lehet meggy˝oz˝odni), a megold´as ism´et k´et tag line´aris kombin´aci´oja:

x(t) =A₁e^−βt+A₂te^−βt. (9.6) Itt A₁ ´esA₂ ism´et a kezdeti felt´etelekt˝ol f¨ugg˝o ´alland´ok (az ut´obbi m´ert´ekegys´ege m/s).

Ez a hat´areset v´alasztja el a t´ulcsillap´ıtott rezg´est a t´enyleges csillap´ıtott rezg˝ omoz-g´ast´ol, ez´ert nevezz¨uk aperiodikus hat´aresetnek.

Csillap´ıtott rezg´es

a csillap´ıtott rezg´es k¨orfrekvenci´aja.

A megold´as most is a k´et pr´obaf¨uggv´eny line´aris kombin´aci´oja:

x(t) =A₁e^λ1t+A₂e^λ2t,

ahol A₁ ´esA₂ kezdeti felt´etelekt˝ol f¨ugg˝o komplex ´ert´ekek. Az id˝of¨uggv´enynek azonban –

´

ertelemszer˝uen – val´osnak kell lennie.

Helyettes´ıts¨uk be λ₁ ´es λ₂ ´ert´ek´et, ´es alak´ıtsuk ´at a kifejez´est a trigonometrikus f¨uggv´enyek ´es a k´epzetes hatv´anyok k¨ozti kapcsolat felhaszn´al´as´aval:

x(t) = A1e^{(−β+iω0)t}+A2e^{(−β−iω0)t}=e^−βt

Az A₃ =A₁+A₂ ´es az A₄ =i(A₁−A₂) ´ert´ekek m´ar val´os sz´amok.

A csillap´ıtott rezg´es id˝of¨uggv´enye teh´at:

x(t) =A₀e^−βtsin(ω⁰t+ϕ), (9.8) ahol

ω⁰ = q

ω₀²−β², ω₀ = rD

m ´es β = k 2m . Az A₀ ´es ϕ´ert´ekeket most is a kezdeti felt´etelekb˝ol kell meghat´arozni.

9.6. ´abra. Csillap´ıtott rezg´es kit´er´es–id˝o f¨uggv´enye

A 9.6 ´abr´an l´athat´o egy csillap´ıtott rezg´es kit´er´es–id˝o grafikonja. A f¨uggv´eny – k¨ul¨ o-n¨osen kis csillap´ıt´asn´al – felfoghat´o ´ugy, mint egy id˝oben lassan cs¨okken˝o amplit´ud´oj´u,ω⁰ k¨orfrekvenci´aj´u harmonikus rezg´es. A kit´er´es–id˝o f¨uggv´eny burkol´oi az exponenci´alisan lecseng˝o A0e^−βt ´es −A0e^−βt f¨uggv´enyek (az ´abr´an szaggatott vonalak).

Figyelj¨unk arra, hogy mik¨ozben az amplit´ud´o cs¨okken, a peri´odusid˝o nem v´altozik! A maximumok ´es minimumok is T = 2π/ω⁰ id˝onk´ent, a z´erushelyek T /2 id˝onk´ent k¨ovetik egym´ast. (Ugyanakkor a sz´els˝o´ert´ekek nem k´et z´erushely k¨ozt f´elid˝oben vannak.)

A csillap´ıtott rezg´es energiaviszonyai

L´attuk, hogy a csillapod´as jelleg´et β ´es ω0 viszonya hat´arozza meg. A csillap´ıt´as er˝oss´eg´et ezen k´ıv¨ul szok´as jellemezni a dimenzi´otlan csillap´ıt´asi h´anyadossal:

K = x(t)

x(t+T) =e^βT,

´

es ennek term´eszetes alap´u logaritmus´aval, a logaritmikus dekrementummal:

Λ = lnK =βT .

A csillapod´o rendszer teljes mechanikai energi´aja a disszip´aci´o miatt cs¨okken:

E(t) = 1

2D[A(t)]² = 1

2DA²₀e^−2βt =E₀e^−2βt. Ennek alapj´an:

dE

dt =−2βE ,

a f´azis 1 rad megv´altoz´as alatti energiav´altoz´as abszol´ut ´ert´eke (kis csillap´ıt´asn´al):

|∆E_{1 rad}|= T 2π

dE dt = 1

ω⁰2βE ≈ 2β ω₀E .

Ennek alapj´an bevezetj¨uk a szint´en dimenzi´otlan j´os´agi t´enyez˝o fogalm´at:

Q= E

|∆E_{1 rad}| = ω₀

2β. (9.9)

(A n´ev arra utal, hogy bizonyos esetekben – p´eld´aul elektromos rezg˝ok¨or¨okn´el – az aj´o, ha a csillap´ıt´as kicsi.)

Elektromos rezg˝ok¨or¨okben els˝osorban a vezet´ekek ohmos ellen´all´asa okozza a csillap´ı-t´ast (9.7´abra). Az elektrom´agneses energia az ellen´all´ason keletkez˝o Joule-h˝o form´aj´aban disszip´al´odik.

Ha a csillap´ıtatlan LC-k¨orh¨oz hasonl´oan fel´ırjuk az ´aramk¨or egyenleteit, akkor a (9.4)

¨osszef¨ugg´essel anal´og differenci´alegyenletet kapunk. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen a probl´ema meg-old´asa is anal´og a csillap´ıtott mechanikai rezg´esre kapott megold´assal. A csillap´ıtott elektromos rezg˝ok¨orn´el:

ω₀ = r 1

LC ´es β = R 2L.

Nagy frekvenci´an a Joule-h˝o mellett a sug´arz´asi vesztes´eg is sz´amottev˝o: az energia elektrom´agneses sug´arz´as form´aj´aban t´avozik.

9.7. ´abra. Csillap´ıtott elektromos rezg˝ok¨or

In document K ´ı s ´e rletifizika1. (Pldal 158-164)