2.2. Newton-t¨ orv´ enyek
2.3.2. M´ ert´ ekegys´ egek
A m´ert´ekegys´egek meghat´aroz´as´an´al fontos szempont, hogy a defin´ıci´ohoz tartoz´o m´er´esi elj´ar´as min´el pontosabb legyen, ´es ne legyen helyhez k¨ot¨ott, azaz megfelel˝o esz-k¨oz¨okkel b´arhol (ak´ar a F¨old¨on k´ıv¨ul is) elv´egezhet˝o legyen. Ugyanakkor a ma haszn´alt m´ert´ekegys´egek megv´alaszt´as´aban szerepe van a hagyom´anynak is. A k¨ovetkez˝okben
´attekintj¨uk az alapvet˝o mechanikai mennyis´egek SI egys´eg´et ´es n´eh´any kor´abbi m´ert´ ek-egys´eg´et.
Id˝o
Az id˝o hagyom´anyos m´ert´ekegys´egei a term´eszetes ciklusokon (periodikus term´eszeti jelens´egeken) alapulnak. Ilyen az ´ev (´evszakok v´altoz´asa), a h´onap (a Hold-f´azisok v´ alto-z´asa) ´es a nap (napszakok v´altoz´asa). A kisebb egys´egeket ezek feloszt´as´aval kaphatjuk (1 nap 24 ´ora, 1 ´ora 3600 m´asodperc).
Ehhez azonban pontosan meg kell hat´arozni, hogy milyen hossz´u id˝otartam egy nap. A F¨old az ´all´ocsillagokhoz k´epest 23h560400alatt fordul k¨orbe a tengelye k¨or¨ul (csillag-nap).
A napok hossza (a Nap k´et delel´ese k¨ozt eltel˝o id˝o, Nap-nap) azonban enn´el valamivel hosszabb, hiszen a F¨old kering a Nap k¨or¨ul, ´ıgy a F¨oldnek egy teljes fordulatn´al kicsit t¨obbet kell forognia a k¨ovetkez˝o delel´esig. A F¨old ellipszis p´aly´aja ´es tengelyferdes´ege miatt ennek m´ert´eke, ´es ´ıgy a nap hossza, az ´ev sor´an kism´ert´ekben (n´eh´any m´ asodperc-cel) v´altozik. Ezek a kis elt´er´esek ¨osszead´odnak, emiatt a nap delel´ese az ´ev folyam´an az egyenletesen j´ar´o ´or´akhoz k´epest±15 perccel ingadozik (id˝oegyenlet, l´asdT´er ´es id˝o[6])
´Igy a 24 ´or´as nap az ´atlagos Nap-nap hossza.
Ugyanakkor a napok hossza a F¨old forg´as´anak lassul´asa ´es kis v´altoz´asai miatt is folyamatosan v´altozik. Ez´ert sz¨uks´egess´e v´alt egy j´ol defini´alt, a F¨oldt˝ol f¨uggetlen m´asodperc-etalon v´alaszt´asa: 1967 ´ota egy m´asodperc (s) az alap´allapot´u c´ezium-133 atom k´et hiperfinom energiaszintje k¨oz¨otti ´atmenetnek megfelel˝o sug´arz´as 9 192 631 770 peri´odus´anak id˝otartama, amit atom´or´ak seg´ıts´eg´evel lehet m´erni.
T´avols´ag
A hagyom´anyos t´avols´agegys´egek emberi testr´eszek (ujj, l´ab, stb.) m´eret´ehez igazod-tak. A kereskedelem fejl˝od´es´evel a mindenhol kicsit k¨ul¨onb¨oz˝o egys´egek zavar´ov´a v´altak.
A metrikus m´ert´ekegys´eg-rendszerben az 1 m´eteres t´avols´agot a P´arizson ´atmen˝o d´ el-k¨or 1/40 000 000 r´eszek´ent hat´arozt´ak meg. Ennek m´er´ese alapj´an k´esz¨ult el a p´arizsi m´eter-etalon: egy platina-ir´ıdium r´ud, amelyen k´et von´as t´avols´aga 1 m´eter.
A ma elv´arhat´o m´er´esi pontoss´agnak az etalon pontoss´aga m´ar nem felel meg. M´ as-r´eszt a t´avols´agokat egyre ink´abb id˝om´er´esre vezetik vissza (azt az id˝ot m´erik, amely alatt a f´eny vagy m´as elektrom´agneses hull´am befutja a m´erend˝o t´avols´agot).
Bay Zolt´an [17] kezdem´enyez´es´ere 1983 ´ota a m´eter egys´eget a m´asodperc egys´egre vezetik vissza: 1 m´eter (m) az a t´avols´ag, amit a f´eny v´akuumban 1/299 792 458 s id˝o alatt befut. Ezzel a v´akuumbeli f´enysebess´eg a tov´abbiakban nem m´erend˝o mennyis´eg, hanem defin´ıci´o szerint:
c= 299 792 458 m/s. Sebess´eg, gyorsul´as
A sebess´eg ´es a gyorsul´as SI m´ert´ekegys´ege (m/s, m/s2) a m´eterb˝ol ´es a m´ asod-percb˝ol sz´armaztatott m´ert´ekegys´eg. (A km/h sebess´egegys´eg csak a h´etk¨oznapi ´eletben haszn´alatos.)
T¨omeg
A t¨omeg egys´eg´enek defini´al´as´ara m´eg nincs elfogadott modern m´odszer. 1 kilogramm (kg) a P´arizsban ˝orz¨ott platina-ir´ıdium kilogramm-etalon t¨omege, amely 1 dm3 4◦C-os v´ız t¨omeg´evel egyenl˝o. Az el˝otagok haszn´alatakor zavar´o, hogy nem a gramm (g), hanem a kilogramm (kg) az alapegys´eg.
Er˝o
Az er˝o k´et alapvet˝o ¨osszef¨ugg´esben, Newton II. t¨orv´eny´eben ´es a gravit´aci´os t¨orv´ eny-ben is szerepel:
F =k1ma F =k2m1m2
r2 .
A k´et ´alland´o k¨oz¨ul az egyiket szabadon r¨ogz´ıthetj¨uk, ´es ezzel meghat´arozhatjuk az er˝o m´ert´ekegys´eg´et – a m´asikat viszont ezut´an m´er´essel kell meghat´arozni.
Az er˝o r´egi m´ert´ekegys´eg´ehez (kilopond) a F¨old gravit´aci´os erej´et haszn´alt´ak. Egy nyugalomban l´ev˝omt¨omeg˝u test s´ulya (a F¨old forg´as´anak hat´as´at megint elhanyagolva) a r´a hat´o gravit´aci´os er˝ovel egyenl˝o:
G= k2mF R2F m .
A k2mF/RF2 ´alland´ot egys´egnyinek v´alasztva 1 kilopond (kp) ´eppen egy 1 kg t¨omeg˝u test s´ulya (P´arizsban). (1 g s´ulya pedig 1 p, 1 pond.)
Az SI m´ert´ekegys´eg-rendszerben a k1 ´alland´o ´ert´ek´et egys´egnyinek v´alasztjuk, ´ıgy Newton II. t¨orv´enye a (2.1) alakot veszi fel:
F=ma.
Eszerint az er˝o SI m´ert´ekegys´ege, a newton (N) a t¨omeg ´es a gyorsul´as m´ert´ekegys´eg´eb˝ol sz´armaztathat´o:
1 N = 1 kg·1 m/s2 = 1 kg m/s2. A gravit´aci´os t¨orv´eny ´ıgy
F=−γm1m2 r2 · r
r
alak´u, ahol γ (k2) ´ert´ek´et meg kell m´erni. A test s´uly´anak ismerete ebben nem seg´ıt, mert a F¨old t¨omeg´et nem ismerj¨uk. (´Eppen a gravit´aci´os ´alland´o ismeret´eben tudjuk majd meghat´arozni.) A γ gravit´aci´os ´alland´ot k´et kism´eret˝u test k¨oz¨ott fell´ep˝o nagyon kicsi vonz´oer˝o megm´er´es´evel kell meghat´arozni. A m´er´est el˝osz¨orCavendish [18] v´egezte el: torzi´os inga seg´ıts´eg´evel m´erte k´et n´eh´any kg t¨omeg˝u, egym´ast´ol kb. 10 cm t´avols´agra l´ev˝o ´olomdarab k¨ozt fell´ep˝o er˝ot.
A gravit´aci´os ´alland´o ´ert´eke
γ = 6,6725·10−11N m2/kg2.
Egy test s´ulya (a F¨old forg´as´at m´eg mindig elhanyagolva) k¨or¨ulbel¨ul megegyezik a r´a hat´o gravit´aci´os er˝ovel:
mg≈γmmF R2F .
A γ gravit´aci´os ´alland´o, a g ≈ 9,81 m/s2 neh´ezs´egi gyorsul´as ´es a F¨old RF ≈ 6370 km
´
atlagos sugar´anak ismeret´eben – ut´obbit a Nap l´atsz´olagos helyzet´enek m´er´es´evel m´ar az ´okoriak megm´ert´ek – meghat´arozhat´o a F¨old t¨omege ´es ´atlagos s˝ur˝us´ege:
MF ≈ gR2F
γ ≈6·1024kg, ρF = mF
VF = mF 4
3R3Fπ ≈5,5 kg/dm3.
2.4. K¨ ul¨ onb¨ oz˝ o k¨ olcs¨ onhat´ asok
A k¨ovetkez˝okben ´attekintj¨uk a mechanika feladatokban el˝ofordul´o k¨olcs¨onhat´asokat.
Neh´ezs´egi er˝o
Minden testre hat a F¨old gravit´aci´os vonz´asa. A neh´ezs´egi er˝o a F¨old forg´asa miatt kicsit elt´er ett˝ol (ezt r´eszletesen megvizsg´aljuk a 3.5.1 szakaszban).
A neh´ezs´egi er˝o nagys´aga mg, ir´anya f¨ugg˝olegesen lefel´e mutat. (A f¨ugg˝oleges ir´anyt
´
epp a neh´ezs´egi er˝o ir´anya defini´alja.) Nagys´aga ´es ir´anya nem f¨ugg m´as er˝okt˝ol, a ne-h´ezs´egi er˝oszabad er˝o.
A neh´ezs´egi er˝o t´erfogati er˝o: egy kiterjedt test teljes t´erfogat´aban, minden r´esz´ere elosztva hat. Sz´am´ıt´asokn´al viszont ´ugy vehetj¨uk figyelembe, mintha koncentr´altan a test t¨omegk¨oz´eppontj´aban hatna (5.1 szakasz).
Nyom´oer˝o
A szil´ard testek nem hatolhatnak egym´asba: ezt a k¨ozvetlen¨ul ´erintkez˝o testek fel¨ulete k¨ozt fell´ep˝o nyom´oer˝o akad´alyozza meg.
A nyom´oer˝o mer˝oleges az ´erintkez˝o fel¨uletre, ´es ahogy neve is mutatja, mindig nyom´o ir´any´u. A nyom´oer˝o egy k´enyszerer˝o: nagys´ag´at a testekre hat´o egy´eb er˝ok hat´arozz´ak meg a k´enyszerfelt´etel (a testek nem hatolhatnak egym´asba) alapj´an.
A nyom´oer˝ofel¨uleti er˝o: kiterjedt testek eset´en a teljes ´erintkez˝o fel¨uleten elosztva hat.
Ha egyetlen er˝ovel akarjuk helyettes´ıteni, akkor a k´enyszerfelt´etelekn´el a test forg´as´ara, az er˝oforgat´onyomat´ek´ara is figyeln¨unk kell (6.2 szakasz).
K¨ot´eler˝o
Ak¨ot´eler˝o vagyfon´aler˝oszint´en k´enyszerer˝o. Ha k´et testet egy k¨ot´el kapcsol egym´ as-hoz, akkor a testek nem t´avolodhatnak el tetsz˝olegesen egym´ast´ol – ez a k´enyszerfelt´etel.
A k¨ot´eler˝o p´arhuzamos a k¨ot´ellel, ´es mindig h´uz´o ir´any´u. Nagys´ag´at, a nyom´oer˝oh¨oz hasonl´oan, a testekre hat´o er˝ok hat´arozz´ak meg a k´enyszerfelt´etel alapj´an.
S´url´od´as
Egym´ashoz nyom´od´o fel¨uletek k¨oz¨ott a fel¨uletre mer˝oleges nyom´oer˝on k´ıv¨ul a fel¨ u-lettel p´arhuzamos er˝o is hathat. Ez az er˝o a s´url´od´as. A s´url´od´asi er˝o oka a fel¨uletek k¨ozti adh´ezi´o, valamint a fel¨uletek egyenetlens´ege. Megk¨ul¨onb¨oztet¨unk nyugalmi (vagy tapad´asi) ´es mozg´asi (vagycs´usz´asi) s´url´od´ast.
A nyugalmi s´url´od´asn´al a k´et test egym´ashoz k´epest nyugalomban van. Ilyenkor a s´url´od´asi er˝o nagys´aga ´es ir´anya olyan, hogy a k´et test egym´ashoz k´epesti nyugalm´at lehet˝oleg fenntartsa. Ugyanakkor a s´url´od´asi er˝o nem lehet b´armilyen nagy:
FS ≤µ0FN,
ahol FS a s´url´od´asi er˝o,FN a fel¨uletek k¨ozti nyom´oer˝o, µ0 pedig a testek anyag´at´ol ´es a fel¨uletek min˝os´eg´et˝ol f¨ugg˝otapad´asi s´url´od´asi egy¨utthat´o.
Mozg´asi s´url´od´asn´al a k´et test egym´ashoz k´epest mozog. Ekkor a s´url´od´asi er˝o ir´anya olyan, hogy a k´et test egym´ashoz k´epesti mozg´as´at akad´alyozza, teh´at a relat´ıv sebes-s´eggel ellent´etes ir´any´u. Nagys´aga:
FS=µFN,
ahol µ a cs´usz´asi s´url´od´asi egy¨utthat´o. ´Altal´aban µ≤µ0.
A s´url´od´as jelens´ege nagyon bonyolult, nagyon sok t´enyez˝o befoly´asolja. A s´url´od´asi egy¨utthat´ok jelent˝osen megv´altozhatnak p´eld´aul a fel¨uletek szennyez˝od´es´et˝ol (olaj, v´ız, stb.). Ugyanakkor a fel¨uletek nagys´aga ´es a testek egym´ashoz k´epesti sebess´ege csak kis m´ert´ekben befoly´asolja a fell´ep˝o er˝ot, ´ıgy azt egyszer˝ubb feladatokban ´altal´aban ezekt˝ol f¨uggetlennek tekintj¨uk.
K¨ozegellen´all´as
G´azokban ´es folyad´ekokban mozg´o testek k¨olcs¨onhat´asban vannak az ˝oket k¨or¨ulvev˝o k¨ozeggel. A fell´ep˝o er˝ok a mozg´as ir´any´ara mer˝olegesek is lehetnek (l´asd a8.4 szakaszt), de itt most csak a mozg´ast akad´alyoz´o er˝or˝ol, a k¨ozegellen´all´asr´ol besz´el¨unk.
Kisebb sebess´egekn´el a k¨ozegellen´all´as f˝o oka a k¨ozeg viszkozit´asa: ilyenkor a fell´ep˝o er˝o a test (k¨ozeghez viszony´ıtott) sebess´eg´evel ar´anyos: F ≈ v. Nagyobb sebess´egekn´el a k¨ozegben kialakul´o ¨orv´enyek okozz´ak a k¨ozegellen´all´ast, ilyenkor az er˝o a sebess´eg n´egyzet´evel ar´anyos:F ≈v2. Az er˝o mindk´et esetben a k¨ozeghez viszony´ıtott sebess´eggel ellent´etes ir´any´u.
Rug´oer˝o
Rugalmas testekben a deform´aci´o hat´as´ara olyan er˝o l´ep fel, amely ellent´etes ir´any´u a deform´aci´ot l´etrehoz´o er˝ovel (7. fejezet). Kis deform´aci´o eset´en a legt¨obb anyagn´al az er˝o ar´anyos a deform´aci´o m´ert´ek´evel. (Ezt felhaszn´altuk az er˝o m´er´es´en´el is, l´asd a 2.1 szakaszban.)
A rugalmas testben a deform´aci´o hat´as´ara fell´ep˝o, a deform´aci´o ir´any´aval ellent´etes ir´any´u er˝o a rug´oer˝o. Ha teljes¨ul a linearit´as felt´etele, akkor
Fr =−Dx , (2.8)
aholFra rug´oer˝o,xa rug´o deform´aci´oja,Dpedig adirekci´os er˝o (ami nev´evel ellent´etben N/m m´ert´ekegys´eg˝u, a rug´ora jellemz˝o mennyis´eg, szokt´ak rug´o´alland´onak is nevezni).