A merev test modell

Az eddigiekben a testeket a lehet˝o legegyszer˝ubben, t¨omegpontk´ent ´ırtuk le. Ez a modell azonban semmit se mond a testek m´eret´er˝ol, alakj´ar´ol ´es bonyolultabb mozg´ as-form´air´ol. A merev test a val´odi testek bonyolultabb modellje: figyelembe veszi, hogy a testnek alakja, kiterjed´ese, t¨omegeloszl´asa is van. Ugyanakkor a testek deform´aci´oj´aval ebben a modellben sem foglalkozunk: ´ugy tekintj¨uk, hogy az alakja – a val´os´agos testek-kel szemben – nem v´altozhat. Ezt ´ugy is megfogalmazhatjuk, hogy a merev test b´armely k´et pontj´anak egym´ashoz viszony´ıtott t´avols´aga id˝oben ´alland´o.

A merev test helyzet´et h´arom (nem egy egyenesen fekv˝o) pontj´anak helyzete

egy-´

ertelm˝uen meghat´arozza. (Ha csak egy pontj´at r¨ogz´ıten´enk, akkor k¨or¨ul¨otte szabadon foroghatna. Ha egy m´asik pontot is r¨ogz´ıt¨unk, akkor m´ar csak a k´et pontot ¨osszek¨ot˝o egyenes k¨or¨ul fordulhat el. Egy harmadik, az ¨osszek¨ot˝o egyenesen k´ıv¨uli pont r¨ogz´ıt´ese m´ar semmilyen mozg´ast nem enged meg.)

Egyetlen pont megad´asa t´erben h´arom f¨uggetlen param´eter (p´eld´aul h´arom der´ ek-sz¨og˝u koordin´ata) r¨ogz´ıt´es´et jelenti. Ezt szok´as ´ugy is megfogalmazni, hogy a t¨omegpont szabads´agi fokainak sz´amaf = 3. H´arom pont megad´as´ahoz teh´at kilenc adat sz¨uks´eges.

Ezek azonban a merev test eset´eben nem f¨uggetlenek egym´ast´ol, hiszen a h´arom pont k¨oz¨otti h´arom t´avols´ag adott, nem v´altozhat! ´Igy a merev test szabads´agi fokainak sz´ama f = 9−3 = 6, azaz a test helyzete hat f¨uggetlen adattal jellemezhet˝o.

Ha a test nem mozoghat teljesen szabadon, akkor a szabads´agi fokok sz´ama a k´ eny-szerekt˝ol f¨ugg˝oen cs¨okkenhet. P´eld´aul egy r¨ogz´ıtett fel¨uleten g¨ord¨ul˝o goly´o szabads´agi fokainak sz´ama f = 5, mert k¨oz´eppontj´anak t´avols´aga a fel¨ulett˝ol nem v´altozhat. A p¨orgetty˝u egyetlen pontja r¨ogz´ıtett, k¨or¨ul¨otte teljesen szabadon foroghat, ´ıgy szabads´agi fokainak sz´ama f = 3. A r¨ogz´ıtett tengely k¨or¨ul forg´o merev test szabads´agi fokainak sz´ama viszont mind¨ossze f = 1.

6.1.1. Halad´ o ´ es forg´ omozg´ as

A merev test ´altal´anos mozg´asa nagyon bonyolult lehet, azonban mindig le´ırhat´o elemi elmozdul´asok ´es elfordul´asok egym´asut´anjak´ent.

A halad´o mozg´as, m´as n´even transzl´aci´o eset´eben a merev test minden pontj´anak ugyanakkora az elmozdul´asa (6.1(a) ´abra). Ez´ert a merev test transzl´aci´oja le´ırhat´o b´ ar-mely pontj´anak transzl´aci´ojak´ent: ugyan´ugy kezelhet˝o, mint egyetlen t¨omegpont.

A forg´omozg´as, m´as n´evenrot´aci´o eset´eben egy pillanatnyi forg´astengely (k´et dimen-zi´oban forg´ascentrum) k¨or¨ul fordul el a test (6.1(b)´abra). Minden pontj´anak ugyanakko-ra a sz¨ogelfordul´asa. A forg´astengely (forg´ascentrum) azonban a mozg´as sor´an ´altal´aban v´altozik (h´arom dimenzi´oban nemcsak a helye, hanem az ir´anya is).

(a) Transzl´aci´o (b) Rot´aci´o

6.1. ´abra. Transzl´aci´o ´es rot´aci´o

A merev test tetsz˝oleges mozg´asa le´ırhat´o elemi transzl´aci´ok ´es rot´aci´ok egym´ as-ut´anjak´ent. Ennek bizony´ıt´asak´ent vizsg´aljuk egy merev test tetsz˝oleges Pi pontj´anak helyvektor´at a K koordin´ata-rendszer mellett a test tetsz˝oleges C pontj´ahoz r¨ogz´ıtett K^C koordin´ata-rendszerben is. Ekkor a helyvektorok k¨oz¨ott fel´ırhat´o az

r_i =r_C+r^C_i

¨osszef¨ugg´es, aholr_i ´esr^C_i a P pont helyvektora a K, illetve a K^C koordin´ata-rendszerben, rC pedig a C pont helyvektora a K rendszerben. Ha a P pont elmozdul, akkor elemi elmozdul´asa szint´en fel´ırhat´o

dr_i = dr_C+ dr^C_i

alakban. A P pont t´avols´aga a C pontt´ol azonban nem v´altozhat (hiszen mindkett˝o a merev test egy-egy pontja), ´ıgy az r^C_i vektor csak foroghat. Ekkor viszont elemi megv´ al-toz´asa fel´ırhat´o a dϕ elemi sz¨ogelfordul´as vektor seg´ıts´eg´evel:

dr^C_i = dϕ×r^C_i .

Ezt be´ırva az el˝oz˝o egyenletbe megkapjuk, hogy

dr_i = dr_C+ dϕ×r^C_i ,

azaz a merev test elemi elmozdul´asa val´oban felbonthat´o a C pont elemi transzl´aci´oj´ara

´es a test C pont k¨or¨uli elemi rot´aci´oj´ara. Mivel ´altal´anos esetben a dϕ vektor ir´anya v´altozik a mozg´as sor´an, a felbont´ast csak elemi mozg´asokra lehet elv´egezni.

A C pont megv´alaszt´asa tetsz˝oleges. A 6.2(a) ´es 6.2(b) ´abr´akon k´et k¨ul¨onb¨oz˝o fel-bont´as l´athat´o. K´es˝obb l´atni fogjuk, hogy a forg´as k¨oz´eppontj´anak sokszor hasznos a t¨omegk¨oz´eppontot v´alasztani. Ilyenkor teh´at a merev test mozg´as´at a t¨omegk¨oz´eppont halad´o mozg´as´anak ´es a t¨omegk¨oz´eppont k¨or¨uli forg´omozg´asnak a szuperpoz´ıci´ojak´ent

´ırjuk le.

A6.2(c)´abr´an l´athat´o, hogy s´ıkmozg´as eset´en – a tiszta transzl´aci´ot kiv´eve – mindig tal´alhat´o olyan C pont, hogy az elemi mozg´as tiszt´an rot´aci´ok´ent ´ırhat´o le. Feladatok megold´as´an´al ez is sokszor hasznos v´alaszt´as. Az elfordul´as k¨oz´eppontja a pillanatnyi forg´ascentrum. Term´eszetesen a mozg´as sor´an ´altal´aban ez is v´altozik.

(a) Tetsz˝oleges transzl´aci´o ´es rot´aci´o (b) Transzl´aci´o ´es rot´aci´o egy bels˝o pont k¨or¨ul

(c) Rot´aci´o a pillanatnyi forg´ascentrum k¨or¨ul

6.2. ´abra. Mozg´as felbont´asa transzl´aci´ora ´es rot´aci´ora

6.1.2. A merev test mint pontrendszer

A merev test felfoghat´o speci´alis pontrendszerk´ent, ´ıgy alkalmazhatjuk r´a a pontrend-szerekre megfogalmazott t¨orv´enyeket ´es ¨osszef¨ugg´eseket.

Ha a merev testet kicsi ∆V_i t´erfogat´u darabokra osztjuk, akkor teljes t´erfogata ´es t¨omege:

t´erfogati integr´allal adhat´o meg. Homog´en test eset´eben term´eszetesen m=ρV.

A merev test t¨omegk¨oz´eppontj´aba mutat´o helyvektort a pontrendszerekn´el megismert defin´ıci´o alapj´an ugyan´ıgy t´erfogati integr´alokkal ´ırhatjuk fel:

r_TKP =

A merev test akkor lehet egyens´ulyban, ha impulzusa ´es perd¨ulete se v´altozik. ´Igy a pontrendszerekre levezetett (5.5) ´es (5.14) megmarad´asi t´etelek alapj´an az egyens´uly felt´etele:

XF= 0 ´es X

M= 0. (6.1)

(A k¨uls˝o er˝okre utal´o _K indexet elhagyjuk, hiszen itt eleve csak a k¨uls˝o er˝okkel foglal-kozunk. A bels˝o er˝ok – amelyek egyben tartj´ak a testet – munk´at se v´egeznek, hiszen a merev testen bel¨ul nincs relat´ıv elmozdul´as.)

A forgat´onyomat´ekok ¨osszege egy tetsz˝oleges P pontra vonatkoztatva:

X

i

M^P_i =X

i

r^P_i ×F_i, egy m´asik tetsz˝oleges Q pontra vonatkoztatva pedig:

X

azaz ha az er˝ok ered˝oje 0, akkor a forgat´onyomat´ekot b´armely pontra fel´ırhatjuk, ugyan-azt az eredm´enyt kapjuk.