A dinamika feladatok megold´as´anak ´altal´anos menete: megkeress¨uk a testekre hat´o er˝oket, fel´ırjuk a mozg´asegyenleteket ´es a k´enyszerfelt´eteleket megad´o ¨osszef¨ugg´eseket, az egyenletek megold´as´aval meghat´arozzuk a testek gyorsul´as´at, majd v´eg¨ul a gyorsul´ a-sokb´ol ´es a kezdeti felt´etelekb˝ol a kinematika ¨osszef¨ugg´esei alapj´an meghat´arozzuk a test sebess´eg´enek ´es helyvektor´anak id˝of¨ugg´es´et.
K´et test csig´an ´atvetett k¨ot´elen
K´et testetk¨onny˝u,s´url´od´asmentes csig´an ´atvetettelhanyagolhat´o t¨omeg˝u,ny´ ujthatat-lan k¨ot´ellel k¨otj¨uk ¨ossze, ´es a rendszert nyugalmi helyzetben mag´ara hagyjuk (2.2´abra).
2.2. ´abra. K´et test csig´an ´atvetett k¨ot´elen
Mit jelentenek a sz¨ovegben szerepl˝o kiemelt szavak? A csiga k¨onny˝u ´es s´url´od´ as-mentes: ´ıgy forgat´as´ahoz elhanyagolhat´oan kicsi er˝o sz¨uks´eges, teh´at a csiga k´et oldal´an ugyanakkora a k¨ot´eler˝o. A k¨ot´el elhanyagolhat´o t¨omeg˝u: a r´a hat´o neh´ezs´egi er˝ot elha-nyagolhatjuk, ´es gyors´ıt´as´ahoz se sz¨uks´eges er˝o. A k¨ot´el ny´ujthatatlan: ´ıgy a k´et test elmozdul´asa egyforma nagys´ag´u (b´ar ellent´etes ir´any´u), ´es emiatt sebess´eg¨uk ´es gyorsu-l´asuk nagys´aga is megegyezik.
Ezek alapj´an berajzoltuk az ´abr´ara a testekre hat´o er˝oket ´es a testek gyorsul´as´anak ir´any´at (m1 > m2 felt´etelez´essel), majd ennek megfelel˝oen fel´ırhatjuk a testekre vonat-koz´o mozg´asegyenleteket:
m1a=m1g−FK m2a=FK−m2g . Az egyenletrendszer megold´asa:
a= m1−m2 m1+m2g FK= 2m1m2
m1+m2g . Lejt˝o s´url´od´assal
A 2.3 ´abr´an l´athat´o, α hajl´assz¨og˝u lejt˝o ´es a r´a helyezett m t¨omeg˝u test k¨oz¨otti s´url´od´asi egy¨utthat´o µ. A testet nyugalmi helyzetben a lejt˝ore helyezz¨uk.
2.3. ´abra. Lejt˝o s´url´od´assal
A testre a neh´ezs´egi er˝o, a nyom´oer˝o ´es a s´url´od´asi er˝o hat. C´elszer˝u az er˝oket lejt˝ore mer˝oleges ´es lejt˝ovel p´arhuzamos komponensekre bontani. A test nem mozoghat a lejt˝ore mer˝oleges ir´anyban, ´ıgy a lejt˝ore mer˝oleges er˝ok ered˝oje nulla (k´enyszerfelt´etel):
FN=mgcosα .
A testet a lejt˝oir´any´u er˝ok gyors´ıtj´ak. A gyorsul´as ir´any´at vegy¨uk fel a lejt˝ovel p´ arhuza-mosan lefel´e pozit´ıvnak! Ekkor a mozg´asegyenlet:
ma=mgsinα−FS.
A s´url´od´asi er˝o nagys´aga att´ol f¨ugg, hogy a test megcs´uszik-e. Tegy¨uk fel, hogy igen!
(Ezt a v´eg´en majd ellen˝orizn¨unk kell!) Ekkor:
FS=µFN. Az egyenletrendszer megold´asa:
a= (sinα−µcosα)g .
Az eredm´eny nem lehet negat´ıv, hiszen a test nem indulhat el mag´at´ol felfel´e. Ebb˝ol a param´eterekre a
µ≤tgα
felt´etel ad´odik. Ha a s´url´od´asi egy¨utthat´o nagyobb, akkor a test nem cs´uszik meg, gyor-sul´asa nulla lesz, nyugalomban marad. Akkor viszont a cs´usz´asi s´url´od´asra vonatkoz´o egyenl˝os´eg helyett a tapad´asi s´url´od´asra vonatkoz´o egyenl˝otlens´eget kell fel´ırnunk, ´es a feladatot ´ıgy megoldanunk. Ezt az olvas´ora b´ızzuk.
Sok esetben azonban a testekre hat´o er˝ok a test sebess´eg´et˝ol vagy helyzet´et˝ol is f¨ ugge-nek – amelyeket viszont csak a mozg´asegyenletek megold´asa ut´an tudn´ank meghat´arozni.
Ilyen esetben a mozg´asegyenlet fel´ır´asa differenci´alegyenlethez vezet, azaz olyan f¨ ugg-v´enyegyenlethez, amelyben az ismeretlen f¨uggv´eny ´es annak deriv´altjai is szerepelnek.
Erre p´elda a k¨ozegellen´all´assal es˝o test mozg´asa.
Es´es k¨ozegellen´all´assal
A nyugalmi helyzetb˝ol elengedett testre a neh´ezs´egi er˝on k´ıv¨ul hat az azzal ellent´etes ir´any´u k¨ozegellen´all´as. Ha a test s˝ur˝us´ege ¨osszem´erhet˝o a k¨ozeg s˝ur˝us´eg´evel, akkor a k¨ozeg felhajt´oerej´et is figyelembe kell venni, azt le kell vonni a neh´ezs´egi er˝ob˝ol. A test mozg´asegyenlete (a felhajt´oer˝ot most elhanyagolva):
ma=mg−FK.
Az FK k¨ozegellen´all´asi er˝o azonban f¨ugg a test k¨ozeghez viszony´ıtott sebess´eg´et˝ol.
Tegy¨uk fel, hogy az er˝o ar´anyos a sebess´eggel (viszk´ozus f´ekez˝od´es):
FK =kv . Ezt behelyettes´ıtve a mozg´asegyenlet:
ma=mg−kv . (2.9)
Azonban az egyenletben a´esv is id˝oben v´altoz´o mennyis´egek! A k´et mennyis´eg azonban nem f¨uggetlen:
a= dv dt ,
amit behelyettes´ıtve a mozg´asegyenletbe (´es m-mel ´atosztva) a k¨ovetkez˝o differenci´ al-egyenletet kapjuk:
dv(t)
dt =g− k
mv(t), v(0) = 0.
A differenci´alegyenlet megold´as´ahoz a differenci´alh´anyadost form´alisan t¨ortk´ent ke-zelj¨uk, ´es az egyenletet ´ugy rendezz¨uk ´at, hogy az egyik oldalon csak v, a m´asik oldalon csak tszerepeljen (v mell˝ol a (t) v´altoz´o ki´ır´as´at az ´attekinthet˝os´eg kedv´e´ert elhagyjuk):
dv az integr´al´ast elv´egezve:
majd az integr´al´asi hat´arokat behelyettes´ıtve:
−m o-sult sebess´eg ´ert´ek´et a (2.9) mozg´asegyenletb˝ol k¨ozvetlen¨ul is megkaphatjuk az a = 0 helyettes´ıt´essel.)
A test gyorsul´asa ´es elmozdul´asav(t) deriv´al´as´aval, illetve integr´al´as´aval m´ar k¨onnyen megkaphat´o:
Ha a k¨ozegellen´all´asi er˝o a sebess´eg n´egyzet´evel ar´anyos (turbulens ´araml´as), akkor a differenci´alegyenlet hasonl´oan fel´ırhat´o ´es megoldhat´o, de m´as id˝of¨uggv´enyeket kapunk.
(Term´eszetesen a sebess´eg ekkor is egy ´alland´osult ´ert´ekhez tart.) Ennek v´egigsz´amol´as´at az olvas´ora b´ızzuk. Ha az integr´al´as neh´ezs´eget okoz, haszn´aljon internetes seg´ıts´eget!
M´as feladatokban azt keress¨uk, hogy milyen er˝ok sz¨uks´egesek ahhoz, hogy a test a megadott p´aly´an, a megadott m´odon mozogjon. N´ezz¨unk erre is n´eh´any p´eld´at!
Geostacion´arius p´alya
A t´avk¨ozl´esi m˝uholdaknak olyan p´aly´an kell mozognia, hogy a forg´o F¨oldh¨oz viszo-ny´ıtva nyugalomban legyenek, ´es ´ıgy r¨ogz´ıtett parabolaantenn´akkal lehessen a m˝ uhol-dakra jeleket k¨uldeni, ´es azokr´ol jeleket fogadni. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen a p´alya az Egyenl´ıt˝o s´ıkj´aban l´ev˝o k¨orp´alya, ´es a m˝uhold kering´esi ideje megegyezik a F¨old (´all´ocsillagokhoz viszony´ıtott) forg´asi idej´evel. Ez a geostacion´arius p´alya. Milyen magasan keringenek ezek a m˝uholdak?
A F¨old gravit´aci´os ter´eben mozg´o m t¨omeg˝u test mozg´asegyenlete:
ma=−γmmF r3 r,
ahol mF a F¨old t¨omege. A mozg´asegyenlet ´altal´anos megold´asa k´upszelet (k¨or, ellipszis, parabola vagy hiperbola) alak´u p´alya [11].
A k¨orp´alya speci´alis eset´eben a mozg´asegyenlet skal´ar alakban ´ırhat´o, a test gyorsu-l´asa a centripet´alis gyorsul´as:
mω2Fr=γmmF r2 ,
ahol ωF = 2π/TF a k¨ormozg´as – ´es ´ıgy egyben a F¨old forg´as´anak – sz¨ogsebess´ege, r a k¨orp´alya keresett sugara. Ebb˝ol
r3 = γmF
ω2F ≈ grF2 ωF2 , ahol felhaszn´altuk, hogy γmF ≈grF2 (rF a F¨old sugara).
A p´alya sugara az adatok (TF = 23h560400 = 86154 s ´es rF = 6,37·106m) behelyette-s´ıt´es´evel
r ≈ 3 s
gr2F
ω2F = 4,2·107m≈6,6rF.
Ebb˝ol a geostacion´arius p´alya magass´aga h=r−rF ≈35800 km.
Harmonikus rezg˝omozg´as
A harmonikus rezg˝omozg´ast v´egz˝o test kit´er´ese az id˝o f¨uggv´eny´eben:
x(t) =Asin (ωt+ϕ) . Ebb˝ol a gyorsul´asa k´etszeri deriv´al´assal:
a(t) = −Aω2sin (ωt+ϕ) . Fel´ırva Newton II. t¨orv´eny´et:
F(t) = ma(t) = −Amω2sin (ωt+ϕ) = −mω2x(t) =−Dx(t),
teh´at a harmonikus rezg˝omozg´ashoz a kit´er´essel ar´anyos, azaz line´aris visszat´er´ıt˝o er˝ore van sz¨uks´eg.
2.4. ´abra. Rug´ohoz r¨ogz´ıtett test
L´attuk, hogy – nem t´ul nagy deform´aci´o eset´en – a rug´oer˝o ilyen. Ha egy m t¨omeg˝u testet a 2.4 ´abr´an l´athat´o m´odon egy D direkci´os erej˝u rug´ohoz r¨ogz´ıt¨unk (a test ´es a talaj k¨oz¨ott a s´url´od´as elhanyagolhat´o), akkor a mozg´asegyenlet:
ma=−Dx ,
az egyenletet null´ara rendezve, bevezetve az ω2 = D/m jel¨ol´est, valamint felhaszn´alva, hogy a gyorsul´as az elmozdul´as id˝o szerinti m´asodik deriv´altja, a k¨ovetkez˝o differenci´ al-egyenletet kapjuk:
d2x
dt2 +ω2x= 0.
Ennek a differenci´alegyenletnek ´altal´anos megold´asa a feladat legelej´en fel´ırt x(t) = Asin (ωt+ϕ)
id˝of¨uggv´eny. Mint l´attuk ω ´ert´ek´et a fizikai rendszer param´eterei (m ´es D), azA ampli-t´ud´o ´es a ϕkezd˝of´azis ´ert´ek´et viszont a kezdeti felt´etelek (a test helyzete ´es sebess´ege a t = 0 id˝opillanatban) hat´arozz´ak meg.
Kanyarod´as ´es f´ekez´es
V´ızszintes ´uton halad´o j´arm˝ure (a k¨ozegellen´all´ason k´ıv¨ul, amivel ebben a feladatban most nem foglalkozunk) v´ızszintes ir´anyban csak a kerekek ´es a talaj k¨ozti tapad´asi s´ ur-l´od´asi er˝o hat. A f¨ugg˝oleges ir´anyban hat´o neh´ezs´egi er˝o ´es a talaj nyom´oereje kiegyenl´ıti egym´ast (FN =mg). Gyors´ıt´askor a talaj ´altal kifejtettFSs´url´od´asi er˝o gyors´ıtja, f´ekez´ es-kor ez az er˝o lass´ıtja a j´arm˝uvet. Kanyarod´askor a s´url´od´asi er˝o biztos´ıtja a centripet´alis gyorsul´ast (´es egyenletes, egyenesvonal´u halad´askor a s´url´od´asi er˝o egyenl´ıti ki a k¨ ozeg-ellen´all´asi er˝ot).
Vizsg´aljuk most meg azt a k´enyes esetet, amikor kanyarban kell f´ekezni! Az r sugar´u kanyarban v sebess´eggel mozg´om t¨omeg˝u j´arm˝u mozg´asegyenlete:
ma=FS,
a gyorsul´asvektor a centripet´alis ´es a tangenci´alis gyorsul´as ered˝oje:
a=acp+at. A k´et komponens mer˝oleges, ´ıgy:
a=q
a2cp+a2t, ahol acp=v2/r.
A tapad´as (´es a j´arm˝u ir´any´ıthat´os´ag´anak) felt´etele:
FS ≤µFN=µmg , ebb˝ol:
ma≤µmg a≤µg a2cp+a2t ≤µ2g2
|at| ≤ r
µ2g2− v4 r2 .
Az utols´o kifejez´es megadja a maxim´alis lassul´ast, amivel m´eg megcs´usz´as n´elk¨ul f´ekezni lehet a j´arm˝uvet. Az els˝o tag az ´utviszonyokt´ol ´es a gumi min˝os´eg´et˝ol f¨ugg, a m´asodik a sebess´egt˝ol ´es a kanyar
”´eless´eg´et˝ol”. Ha nagyon gyorsan ´erkez¨unk a kanyarba, akkor a gy¨ok alatt negat´ıv ´ert´ek lesz: ilyenkor a kanyarban egy´altal´an nem tudunk f´ekezni, s˝ot a kanyart se tudjuk
”bevenni”. Teh´at m´ar a kanyar el˝ott le kell f´ekezni annyira, hogy a kanyarban sz¨uks´eg eset´en m´eg f´ekezni is tudjunk.
M´eg kritikusabb a helyzet, ha a kanyarod´o ´ut lejt is, ´es emiatt a j´arm˝u f´ekez´es n´elk¨ul folyamatosan gyorsul. Ennek az esetnek a vizsg´alat´at az olvas´ora b´ızzuk.
3. fejezet
Mozg´ asok le´ır´ asa k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o vonatkoztat´ asi rendszerekben
A 2.2.4 szakaszban m´ar l´attuk, hogy k¨ul¨onb¨oz˝o vonatkoztat´asi rendszerekb˝ol n´ ez-ve a testek mozg´asa k¨ul¨onb¨oz˝onek l´atszik. A k¨ovetkez˝okben megvizsg´aljuk a mozg´asok le´ır´as´at k¨ul¨onb¨oz˝o vonatkoztat´asi rendszerekben. A vonatkoztat´asi rendszerek k¨oz¨ul k¨ u-l¨on¨osen fontosak azinerciarendszerek, hiszen ezekben a rendszerekben alkalmazhat´ok a Newton-t¨orv´enyek. ´Igy a k¨ul¨onb¨oz˝o vonatkoztat´asi rendszereket egy ´altalunk v´alasztott inerciarendszerhez viszony´ıtjuk. El˝osz¨or k´et egym´ashoz k´epest egyenesvonal´u egyenletes mozg´ast v´egz˝o vonatkoztat´asi rendszert, majd egym´ashoz k´epest gyorsul´o (egyenesvona-l´u gyorsul´o mozg´ast v´egz˝o ´es forg´o) rendszereket fogunk vizsg´alni.