Szabad forg´ as

A 6.3 szakaszban a r¨ogz´ıtett tengely k¨or¨uli forg´ast vizsg´altuk. Akkor csak a perd¨ulet tengelyir´any´u komponens´evel foglalkoztunk, ´es megeml´ıtett¨uk, hogy az erre mer˝oleges perd¨uletkomponensek v´altoz´asait a tengely forgat´onyomat´eka biztos´ıtja. Miel˝ott ´att´ er-n´enk a szabad tengelyek t´argyal´as´ara, vizsg´aljuk meg, milyen er˝ohat´asok ´erik a test forg´asa miatt a tengelyt! Ez a probl´ema a gyakorlatban is fontos, emiatt kell a kerekeket kiegyens´ulyozni.

6.15. ´abra. Statikusan kiegyens´ulyozatlan forg´o test

A 6.15 ´abr´an l´athat´o test a statikusan kiegyens´ulyozatlan forg´o test modellje. Itt a tengely nem megy ´at a test t¨omegk¨oz´eppontj´an. Ha a test forog, a t¨omegpont k¨orp´aly´an tart´as´ahoz F =mω²r er˝ore van sz¨uks´eg, amit a csap´agyak fejtenek ki. A test forg´as´aval egy¨utt v´altozik a csap´agyakra hat´o er˝o ir´anya, ami a csap´agyak gyors t¨onkremenetel´et okozhatja. Ezt a hib´at k¨onnyen fel lehet ismerni, ha a tengelyt v´ızszintes helyzetben tartjuk: ekkor a test a stabil egyens´uly k¨or¨ul fizikai ingak´ent leng´eseket v´egez.

6.16. ´abra. Dinamikusan kiegyens´ulyozatlan forg´o test

A6.16´abr´an l´athat´o test a dinamikusan kiegyens´ulyozatlan forg´o test modellje. Itt a tengely ´atmegy a test t¨omegk¨oz´eppontj´an, de a test t¨omegeloszl´asa nem szimmetrikus.

Ha a test forog, a t¨omegpontok k¨orp´aly´an tart´as´ahoz M =F d=mω²rd forgat´ onyoma-t´ekra van sz¨uks´eg, amit a csap´agyak fejtenek ki. A forgat´onyomat´ek hat´as´ara v´altozik a test perd¨ulete is: a perd¨uletvektor a testtel egy¨utt forog, egy k´uppal´ast ment´en mozog (nagys´aga ´alland´o, de ir´anya folyamatosan v´altozik). A test forg´as´aval egy¨utt most is v´altozik a csap´agyakra hat´o er˝o ir´anya, ami szint´en a csap´agyak t¨onkremenetel´ehez ve-zethet. Ezt a kiegyens´ulyozatlans´agot nem lehet statikus vizsg´alattal ´eszrevenni, a testet meg kell forgatni a felismer´es´ehez. Ez t¨ort´enik a gumiszerel˝o m˝uhelyekben: a kereket meg-p¨orgetik, az er˝ohat´asokat m´erik, ´es a kereket a felnire r¨ogz´ıtett kis t¨omegek seg´ıts´eg´evel statikusan ´es dinamikusan is kiegyens´ulyozz´ak.

6.5.1. A perd¨ ulet ´ es a sz¨ ogsebess´ eg ´ altal´ anos kapcsolata

A6.3.1szakasz alapj´an a merev test ∆m_i t¨omegpontj´anak perd¨ulete egy tetsz˝olegesen kiv´alasztott pontra vonatkoz´oan:

∆N_i =r_i×∆p_i = ∆m_ir_i×v_i = ∆m_ir_i ×(ω×r_i) .

Most azonban a perd¨uletvektorra vagyunk k´ıv´ancsiak, nem csak a tengelyir´any´u kompo-nens´ere, ´es a sz¨ogsebess´egvektor ir´anya is tetsz˝oleges lehet. A ∆mit¨omegponthoz mutat´o r_i helyvektor ´es az ω sz¨ogsebess´egvektor fel´ırhat´o Descartes-koordin´at´ak seg´ıts´eg´evel:

ri =xii+yij+zik, ω=ω_xi+ω_yj+ω_zk.

A vektori´alis szorzatot az A.1 f¨uggel´ekben le´ırt m´odon fejezhetj¨uk ki a koordin´at´ak se-g´ıts´eg´evel:

A merev test teljes perd¨uletvektor´at az elemi perd¨uletvektorok ¨osszegz´es´evel kapjuk meg: Ennek alapj´an a merev test perd¨ulet´enek Descartes-koordin´at´ai:

N_x =ω_xX

A n´egyzetes tagokat tartalmaz´o ¨osszegek ´eppen a merev test x-, y- ´es z-tengelyre vonatkoz´o tehetetlens´egi nyomat´ekai:

Θ_xx =X

a vegyes szorzatok ¨osszegei pedig az ´ugynevezett devi´aci´os nyomat´ekok, melyeket a te-hetetlens´egi nyomat´ekhoz hasonl´oan a test koordin´atatengelyekhez viszony´ıtott t¨ omeg-eloszl´asa hat´aroz meg:

ahol Θ a merev test tehetetlens´egi tenzora:

A tehetetlens´egi tenzor meghat´aroz egy tehetetlens´egi ellipszoidot, melynek seg´ıt-s´eg´evel a merev test tehetetlens´egi nyomat´eka b´armely, a kiv´alasztott ponton ´atmen˝o tengelyre vonatkoz´oan meghat´arozhat´o [11].

6.5.2. Szabad tengelyek

A (6.10) kifejez´esekb˝ol l´athat´o, hogy a perd¨uletvektor ´altal´aban nem p´arhuzamos a sz¨ogsebess´egvektorral, ´es az egyes perd¨ulet-koordin´at´ak az ¨osszes sebess´eg-koordin´at´at´ol f¨uggenek. Ugyanakkor minden test eset´eben lehet tal´alni egy olyan koordin´ata-rendszert, ahol a tehetetlens´egi tenzor diagon´alis lesz, azaz a f˝o´atl´on k´ıv¨uli elemek (a devi´aci´os nyomat´ekok) null´av´a v´alnak. Ezeket a tengelyeket a test f˝otehetetlens´egi tengelyeinek nevezz¨uk.

A f˝otehetetlens´egi tengelyek a tehetetlens´egi ellipszoid tengelyei. A f˝otehetetlens´egi tengelyekhez ´altal´aban h´arom k¨ul¨onb¨oz˝o f˝otehetetlens´egi nyomat´ek tartozik (egy ma-xim´alis, egy minim´alis ´es egy k¨ozb¨uls˝o). Speci´alis esetekben a tehetetlens´egi ellipszoid (lapult vagy ny´ujtott) forg´asi ellipszoid, illetve g¨omb. Ilyenkor k´et vagy h´arom f˝ otehetet-lens´egi nyomat´ek megegyezik.

F˝otehetetlens´egi rendszerben a (6.10) kifejez´esek egyszer˝ubb´e v´alnak:

N_x = Θ_xxω_x N_y = Θ_yyω_y Nz = Θzzωz.

(6.11)

Ha a test valamelyik f˝otehetetlens´egi tengelye k¨or¨ul forog, akkor a perd¨ulete p´ arhu-zamos lesz a sz¨ogsebess´eggel. P´eld´aul, ha ω = ω_zk, akkor ω_x = ω_y = 0, N_x = N_y = 0,

´

es N_z = Θ_zzω_z, azaz N = Θ_zzω. Ilyenkor ´alland´o sz¨ogsebess´egvektor eset´en a perd¨ ulet-vektor is ´alland´o, nincs sz¨uks´eg a csap´agyak ´altal kifejtett forgat´onyomat´ekra, a merev test ak´ar r¨ogz´ıtett tengely n´elk¨ul is egyenletesen foroghat. Az ilyen forg´astszabad tengely k¨or¨uli forg´asnak nevezz¨uk.

Szabad tengely eszerint csak t¨omegk¨oz´epponton ´atmen˝o f˝otehetetlens´egi tengely le-het. Ha a tengely nem menne ´at a t¨omegk¨oz´epponton, akkor sz¨uks´eg lenne egy k¨uls˝o er˝ore, ha pedig nem f˝otehetetlens´egi tengely k¨or¨ul forogna, akkor egy k¨uls˝o forgat´onyomat´ekra (l´asd 6.5 szakasz 6.15´es6.16 ´abra). Stabil forg´as csak a maxim´alis vagy minim´alis tehe-tetlens´egi nyomat´ek´u tengely k¨or¨ul alakulhat ki (a maxim´alis tehetetlens´egi nyomat´ek´u tengely stabilabb).

K´ıs´erlet: Szabad tengely

Ez ut´obbi ´all´ıt´ast igazolja a vide´okon [7] l´athat´o k¨ovetkez˝o k´et k´ıs´erlet.

Egy hossz´uk´as fa t´eglatestet (melynek egyik oldala sokkal hosszabb, mint a m´asik kett˝o) a legkisebb lapja k¨ozep´en csukl´osan felf¨uggeszt¨unk egy dr´otra, majd a felf¨uggeszt˝o dr´otot megforgatjuk. Kezdetben a test f¨ugg˝oleges hely-zetben, a hossz´u oldal´aval p´arhuzamos tengely k¨or¨ul forog (´ıgy van t¨omegk¨ o-z´eppontja a legalacsonyabban), de a sz¨ogsebess´eget n¨ovelve hirtelen v´ızszintes helyzetbe ugrik ´at, ´es a legr¨ovidebb oldallal p´arhuzamos szimmetriatengely k¨or¨ul forog tov´abb (Szabad tengely I.).

Ezut´an hurok alak´u ker´ekp´arl´ancot f¨uggeszt¨unk fel egy dr´otra. A dr´otot meg-forgatva a l´anc kezdetben f¨ugg˝olegesen l´ogva, ¨osszecsuk´odva forog. A sz¨ og-sebess´eg n¨ovel´esekor hirtelen v´ızszintes helyzetbe ugrik ´at, ´es a hurok a for-g´astengelyre mer˝oleges s´ık´u k¨orr´e t´agul, melynek k¨oz´eppontj´an megy ´at a forg´astengely (Szabad tengely II.).

Magyar´azat:Kezdetben mindk´et test a legalacsonyabb helyzeti energi´aj´u ´ alla-potban van, ´es a legkisebb tehetetlens´egi nyomat´ek´u f˝otehetetlens´egi tengelye k¨or¨ul forog. Nagyobb sz¨ogsebess´egen a legnagyobb tehetetlens´egi nyomat´ek´u (t¨omegk¨oz´epponton ´atmen˝o) tengely k¨or¨uli forg´as v´alik stabill´a (annak elle-n´ere, hogy ´ıgy a t¨omegk¨oz´eppont magasabbra ker¨ul).

Ha egy test mindh´arom f˝otehetetlens´egi nyomat´eka egyenl˝o (tehetetlens´egi ellipszo-idja g¨omb), akkor b´armely t¨omegk¨oz´epponton ´atmen˝o tengelye k¨or¨ul szabadon foroghat.

Ilyen a g¨omb¨on k´ıv¨ul p´eld´aul a kocka ´es a t¨obbi szab´alyos test is.