Csatolt rezg´ esek

Z

−∞

F(ω)e^iωtdω , (9.27)

ahol az F(ω) f¨uggv´eny a (komplex) frekvenciaspektrum, ipedig a k´epzetes egys´eg.

A frekvenciaspektrumot az id˝of¨uggv´enyb˝ol a Fourier-transzform´aci´o seg´ıts´eg´evel le-het el˝o´all´ıtani. [46] V´eges sok m´er´esi pontb´ol ´all´o f¨uggv´eny Fourier-transzform´aci´oj´ahoz a legt¨obb adatkezel˝o programban rendelkez´esre ´allnak numerikus eszk¨oz¨ok (FFT: Fast Fourier Transform).

9.3. Csatolt rezg´ esek

Ha k´et vagy t¨obb rezg˝o rendszer k¨oz¨ott k¨olcs¨onhat´as van, akkor csatolt rezg´esekr˝ol besz´el¨unk. Ilyen rendszer p´eld´aul a 9.18(a)´abr´an l´athat´o csatolt inga, ahol k´et egyforma fon´aling´at egy rug´o k¨ot ¨ossze. A csatol´as azonban nagyon sokf´ele lehet: a 9.18(b)´abr´an l´athat´o Oberbeck-f´ele ing´an´al rug´o helyett egy fon´alra akasztott kis test biztos´ıtja a csa-tol´ast [47]. ´Ujabb rug´o k¨ozbeiktat´as´aval csatolhatjuk rug´ok k¨oz¨ott f¨ugg˝olegesen mozg´o testek rezg´es´et is, aWilberforce-f´ele ing´aban pedig maga a csavarrug´o hoz l´etre csatol´ast a f¨ugg˝oleges rezg´es ´es a torzi´os rezg´es k¨oz¨ott (mindk´et k´ıs´erletr˝ol r´eszletesebben a 9.3 szakasz v´eg´en). Tov´abbi ´erdekes p´elda a kvarc´ora, ahol a piezoelektromos hat´as csatolja a mechanikai ´es az elektromos rezg´est.

(a) Rug´os csatol´as (b) Oberbeck-f´ele csatol´as

9.18. ´abra. Csatolt ing´ak

K´ıs´erlet: Csatolt ing´ak

A k´ıs´erletben k´et egyforma ing´at egy gyenge rug´o kapcsol ¨ossze. T´er´ıts¨uk ki az egyik ing´at, ´es engedj¨uk el – mik¨ozben a m´asik nyugalomban marad.

Megfigyelhetj¨uk, hogy a leng˝o inga a gyenge csatol´ason kereszt¨ul mozg´asba hozza a m´asik ing´at, amely egyre nagyobb amplit´ud´oval leng. Ek¨ozben a kit´ e-r´ıtett inga rezg´es´enek amplit´ud´oja folyamatosan cs¨okken, m´ıg v´eg¨ul teljesen meg´all. Ekkor a szerepek felcser´el˝odnek, a csatol´ason kereszt¨ul megmozgatott inga leng´es´enek amplit´ud´oja ´ujra cs¨okken, a m´asik´e pedig ism´et n¨ovekszik.

Eg´eszen addig, am´ıg ism´et az eredetileg kit´er´ıtett inga leng maxim´alis amp-lit´ud´oval, a m´asik pedig meg´all, ´es az eg´esz kezd˝odik el¨olr˝ol (vide´o[8]).

A csatolt ing´akat azonban m´ask´epp is el lehet ind´ıtani. Ha a k´et ing´at azo-nos ir´anyban, azonos amplit´ud´oval t´er´ıtj¨uk ki ´es engedj¨uk el, akkor a csatol´o rug´o mindv´egig v´altozatlan hossz´us´ag´u marad. Ekkor a k´et inga azonos amp-lit´ud´oval ´es azonos f´azisban, egym´ast´ol f¨uggetlen¨ul leng a csatolatlan inga peri´odusidej´evel (vide´o[8]).

Ha az ing´akat azonos amplit´ud´oval, de ellent´etes ir´anyban t´er´ıtj¨uk ki, akkor a k´et inga ism´et egyforma ´es ´alland´o amplit´ud´oval, de ellent´etes f´azisban leng.

A peri´odusid˝o ´erezhet˝oen kisebb, mint az el˝oz˝o esetben (vide´o [8]).

(a) Azonos f´azis (b) Ellent´etes f´azis

9.19. ´abra. Csatolt ing´ak norm´alrezg´esei

A 9.19(a) ´es 9.19(b) ´abr´akon csatolt inga k´et, a k´ıs´erleti vide´okon is l´athat´o

speci-´

alis mozg´asa (norm´alrezg´ese) l´athat´o. Az egyik esetben a k´et inga azonos f´azisban leng (x₁ = x₂), ´ıgy a rug´o v´egig ny´ujtatlan (olyan, mintha ott se lenne). Ekkor a rezg´es k¨orfrekvenci´aja megegyezik a fon´alinga k¨orfrekvenci´aj´aval:

ω₁ = rg

l .

A m´asodik esetben a k´et inga ellent´etes f´azisban leng (x₁ =−x₂). Ekkor a szimmetria mi-att a rug´o k¨oz´eppontja nyugalomban van, mindk´et inga harmonikus rezg˝omozg´ast v´egez (azonos frekvenci´aval ´es amplit´ud´oval, de ellent´etes f´azisban). A rezg´es k¨orfrekvenci´aja ekkor a 2D direkci´os erej˝u f´elrug´ok miatt nagyobb, mint az el˝oz˝o esetben:

ω₂ = rg

l + 2D m .

L´atni fogjuk, hogy a csatolt ing´ak ´altal´anos mozg´asa el˝o´all´ıthat´o ennek a k´et norm´ alrez-g´esnek a line´aris kombin´aci´ojak´ent.

A csatolt ing´ak mozg´asegyenlet´enek fel´ır´as´ahoz felhaszn´aljuk a fon´alinga (kis kit´er´ e-sekre levezetett) mozg´asegyenlet´et: Ezek alapj´an a mozg´asegyenlet:

d²x₁

Ez egy (m´asodrend˝u homog´en line´aris) csatolt differenci´alegyenlet-rendszer, hiszen mind-k´et v´altoz´o mindk´et egyenletben szerepel.

A megold´ashoz adjuk ¨ossze ´es vonjuk ki a k´et egyenletet:

d²(x₁+x₂)

ezeket behelyettes´ıtve m´ar k´et k¨oz¨ons´eges (nem csatolt) differenci´alegyenletet kapunk:

d²y₁

Ezek megold´as´at m´ar ismerj¨uk. A szok´asos jel¨ol´essel:

ω₁ = rg

l ´es ω₂ = rg

l +2D m , y₁(t) = 2A₁cos (ω₁t+ϕ₁) y₂(t) = 2A₂cos (ω₂t+ϕ₂).

Ebb˝ol az ing´ak mozg´as´at le´ır´o id˝of¨uggv´enyeket m´ar k¨onnyen megkaphatjuk:

x₁ = y₁+y₂ 2 x₂ = y₁−y₂

2 ,

x₁(t) = A₁cos (ω₁t+ϕ₁) +A₂cos (ω₂t+ϕ₂)

x₂(t) = A₁cos (ω₁t+ϕ₁)−A₂cos (ω₂t+ϕ₂) . (9.29) Az ω₁ ´es ω₂ k¨orfrekvenci´akat a rendszer fizikai fel´ep´ıt´ese hat´arozza meg, az A₁, A₂, ϕ₁ ´es ϕ₂ param´eterek viszont a kezdeti felt´etelekt˝ol f¨uggenek (k´et kezdeti kit´er´es ´es k´et kezdeti sebess´eg, ¨osszesen n´egy szabads´agi fok).

Ha A₂ = 0, akkor a k´et test egy¨utt mozog (els˝o norm´alrezg´es), ha A₁ = 0, akkor pedig t¨uk¨orszimmetrikusan (m´asodik norm´alrezg´es). ´Altal´anos esetben a mozg´as a k´et norm´alrezg´es line´aris kombin´aci´oja.

A 9.20 ´abr´an az A₁ =A₂ esetet ´abr´azoltuk gyenge csatol´as eset´eben. L´athat´o, hogy mindk´et inga mozg´asa lebeg´es, de a burkol´og¨orb´ek negyedperi´odussal el vannak tolva egym´ashoz k´epest.

9.20. ´abra. Csatolt ing´ak mozg´asa

Kezdetben az els˝o inga leng maxim´alis amplit´ud´oval, a m´asodik ´all. A lebeg´es els˝o ne-gyed peri´odus´aban az els˝o inga amplit´ud´oja folyamatosan cs¨okken, energi´at ad ´at a m´asik ing´anak, amely egyre nagyobb amplit´ud´oval mozog. Negyed peri´odus ut´an az els˝o inga meg´all, ´es a m´asodik leng maxim´alis amplit´ud´oval. Ekkor a szerepek felcser´el˝odnek, ´es negyedperi´oduson kereszt¨ul a m´asodik inga ad ´at energi´at az els˝onek. (Az energia´atad´as ir´any´at a nyilak jelzik.)

A csatolt rezg´esekben teh´at k´et k¨ul¨onb¨oz˝o peri´odusid˝ovel t¨ort´enik energia´atad´as. Egy-r´eszt az egyes rezg´eseken bel¨ul a mozg´asi ´es helyzeti energia alakul ´at k¨olcs¨on¨osen egy-m´asba a rezg´es egy peri´odusa alatt k´etszer, m´asr´eszt a csatolt rezg´esek k¨oz¨ott cser´el˝odik ki a teljes mechanikai energia a lebeg´es peri´odusideje alatt oda-vissza k´etszer.

K´ıs´erlet: Csatolt rezg´esek

A vide´on [8] bemutatott k´ıs´erletben k´et goly´o mozoghat f¨ugg˝oleges ir´ any-ban kifesz´ıtett rug´ok k¨oz¨ott. A csatol´ast a goly´ok k¨oz¨otti (gyeng´ebb) rug´o biztos´ıtja.

Megfelel˝o ind´ıt´assal a goly´ok egy¨utt vagy egym´assal ellent´etesen mozoghat-nak – ez a k´et norm´alrezg´es. Megfigyelhet˝o, hogy a rezg´es frekvenci´aja a m´asodik esetben nagyobb.

Ha a csatolt rezg˝o rendszert a kor´abban megismert m´odon motor ´es excen-ter seg´ıts´eg´evel egyre nagyobb frekvenci´aval gerjesztj¨uk, akkor el˝osz¨or a ki-sebb frekvenci´aj´u (egy¨utt mozg´o) norm´alrezg´es ker¨ul rezonanciahelyzetbe, ´es n˝o meg az amplit´ud´oja. A frekvenci´at tov´abb n¨ovelve az amplit´ud´o el˝osz¨or cs¨okken, majd ´ujra n˝oni kezd, de ekkor m´ar a m´asodik (ellent´etesen mozg´o) norm´alrezg´es gerjeszt˝odik.

K´ıs´erlet: Wilberforce-inga

A Wilberforce-f´ele inga egy laza csavarrug´ora r¨ogz´ıtett merev test, melynek tehetetlens´egi nyomat´ek´at – ´alland´o t¨omeg mellett – ´all´ıt´ocsavarok seg´ıts´ e-g´evel v´altoztatni lehet. Az inga f¨ugg˝oleges ir´any´u rezg˝omozg´ast ´es torzi´os rezg´est is v´egez. A k´et rezg´esi m´od k¨oz¨ott a csavarrug´o hoz l´etre csatol´ast:

hosszv´altoztat´as hat´as´ara kicsit elcsavarodik, ´es ford´ıtva, csavar´as hat´as´ara megv´altozik a hossza. A tehetetlens´egi nyomat´ek megfelel˝o be´all´ıt´as´aval a k´etf´ele rezg´es peri´odusideje egyenl˝ov´e tehet˝o, ilyenkor nagyon j´ol megfigyel-het˝o a k´et m´odus k¨oz¨ott kialakul´o lebeg´es (vide´o[8][48]).

10. fejezet